книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

их фильтрации, то в соответствии с конкретно намечаемой целью намечаются и пути фильтрации.

Ниже мы обращаемся к методике исследования волновых дви­ жений и выявлению физического механизма, соответствующего каждому из указанных типов.

§ 2. МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ. ПАРАМЕТРЫ ВОЛН

Обычно волновые возмущения характеризуются весьма малой амплитудой, так что их исследование целесообразно вести мето­ дом малых возмущений, которые накладываются на основное дви­ жение. При этом все характеристики движения могут быть пред­ ставлены в виде суммы:

Здесь величины со знаком тильда ( ~ ) относятся к среднему дви­ жению, а отмеченные штрихом соответствуют малым возмуще­ ниям. При этом:

Подставляя (16.1) в уравнения движения (13.1) будем иметь

Прежде всего. преобразуем член с давлением в правой Для этого учтем, 1что

(Здесь использовано разложение в ряд функцпи вида

= 1—а' + л'2+ . .., где мы ограничились линейным приближением). 11оэтому

190

Подставим последнее выражение в полученное выше уравнение и опустим члены второго порядка малости, представляющие собой произведение малых величин. Тогда будем иметь

Уравнения для основного движения запишутся как обычно

Вычитая это уравнение из предыдущего, получим уравнение для возмущений в виде

Если характеристики основного движения нам известны, то (16.3) представляет собой линейные уравнения относительно не­ известных v/, // р'. Мы добились этого отбрасыванием нелинейных членов второго порядка малости. Такого рода процедура носит название линеаризации, а сами уравнения являются линеаризиро­ ванными по отношению к исходным.

Аналогичным образом можно получить линеаризированные уравнения неразрывности (13.2) п притока тепла (13.3), которые соответственно принимают вид:

как но времени, так и в пространстве, то естественно искать их ре­ шение в виде периодических функций, например синусоиды. Тогда следует записать:

191

В (16.6) величины, отмеченные индексом «О», представляют собой амплитуду соответствующей характеристики.

Из условия периодичности вытекает, что:

— расстояние по различным осям между одинаково расположен­ ными па профиле волны точками, например между двумя, наибо­ лее удаленными от осп х точками А и В (рис. 16.1), лежащими на соседних гребнях (точка С лежит на подошве волны)

Z

рис. Ifl.l

А’.- именуются волновыми числами. Общий аргумент Лулу - о/ на­ зывается фазой. Форма волнового возмущения какого-либо эле­ мента в (16.6) может быть получена приравниванием ее постоян­ ной. Например, для давления, если обозначить // = /(.V|. ,\-2, .г3, О

Скорость перемещения волны называется фазовой скоростью. Следует подчеркнуть, что это не скорость движения частиц жидкости, а именно скорость перемещения формы поверхности. Наглядным примером является скорость распространения коле­ баний (бегущая волна) вдоль упругой нити, один конец которой колеблется по гармоническому закону.*

* Ясно, что таким образом мы залаем только форму поверхности, а вели­ чины а также амплитуды нам неизвестны.

192

Составляющие фазовой скорости с,- легко найти через посред­

получаемого дифференцпроваппем (16.8) по времени. Поскольку

dx;

СУТЬ производные от координат профиля по времени, то они находятся как результат дифференцирования неявной функ­

Формула (16.9) утверждает, что фазовая скорость равна отно­ шению длины волны к периоду. Отметим, что в силу специфики за­ дач часто существует зависимость сг = сг (ки k2, k3), именуемая

дисперсионным уравнением.

До сих пор мы рассматривали одиночную волну. Однако факти­ чески этот случай является исключительным, ибо в реальных усло­ виях наблюдается обычно система волн, отличающихся друг от друга всеми своими параметрами. По отношению к ним спра­ ведлив принцип суперпозиции, т. е. наложения друг на друга.

Любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье, представляющий собой сумму бесконечного числа гармо­ ник с различными амплитудами и частотами, и изучать процесс с этих позиций. Разумеется, практически рассматривается конеч­ ное число членов этого ряда, исходя при этом из заданной точ­ ности. Так или иначе, практически мы, как правило, имеем дело с совокупностью волн, так называемым волновым, пакетом. Тогда для любой функции / в (16.6) следует записать

Установим фазовую скорость группы волн, иначе именуемую

групповой скоростью.

Вначале рассмотрим две волны, имеющие одинаковую ампли­ туду п близкие по своим значениям величины волновых чисел k t, к-,' н частот о, о', т. с.:

Общая скорость перемещения обоих волн может быть охарак­ теризована как скорость точки с каким-либо постоянным значе­

Очевидно, что групповая скорость отлична от фазовой скорости отдельной волны.

В заключение заметим, что в математическом плане удобнее работать с экспонентами, а не с синусами или косинусами. Поэто­ му форму волны часто задают в виде

йс

т!

(Напомним, что согласно формуле Эйлера, еМ! = ао$ </+/ sin у, т. е. вещественная часть дает косинусоидальную волну, мнимая — си­ нусоидальную, i — комплексная единица).

194

На этом мы заканчиваем определение параметров, с помощью которых ведется описание волновых процессов и приступаем к рас­ смотрению наиболее распространенных форм волнового движения.

§ 3. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Упругие волны с диапазоном частот 20ч-20'103 герц, которые воспринимаются человеческим ухом, называются акустическими или звуковыми волнами. Существенно, что последовательные скач­ ки сжатия и разрежения, представляющие собой звуковую волну, происходят настолько быстро, что обмен теплом между областью волновых движении и средой происходить не успевает, и процесс протекает адиабатически. Таким образом, уравнение притока тепла имеет вид (9.21):

Кроме того, силой тяжести в данном случае можно пренебречь, что, как мы убедимся далее, связано с большими числами Фруда,

1

характерными для этого процесса. Таким образом -рг- <£. 1.

Если источник звуковых колебаний находится в покоящейся среде, то

а если игнорировать силу тяжести:

В этом случае (16.3) и 16.4) упрощаются и соответственно при­ нимают вид:

Поскольку адиабатическое течение соответствует случаю баротропной жидкости, то можно записать

Логарифмируя и дифференцируя выражение (16.14), в свою очередь получим

dp __ у. do

Опуская в последнем произпедеипп величины второго и третьего порядка малости, приходим к зависимости

положительно, ибо с увеличением давления плотность также воз­

растает и наоборот, так что -^£->0. Это обстоятельство и отмече­

196

Сравнивая оба последних выражения, мы видим, что нх левые части, а следовательно, и правые равны. Это дает возможность получить одно волновое уравнение, где в качестве неизвестной фигурирует только р', т. е.

(■‘1»1 = const).

В данном случае амплитуда обратно пропорциональна радиусу, ибо, помещая источник в начало координат, мы там должны иметь

С учетом (16.7) последнее равенство можно преобразовать и представить в виде

Из (16.9) следует, что фазовая скорость всех волновых гармо­ ник равна постоянной величине

Таким образом а представляет собой скорость распространения малых возмущений в сжимаемой жидкости и называется скоростью звука.

197

При a = 20 сек~', чему соответствует минимальное значение fr, оно

ние влиянием гравитации вполне оправдано.

§ 4. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

Этот тип волн существует на границе двух масс с различными свойствами, например вода— воздух или воздух — воздух. В по­ следнем случае может иметь место различие по скорости, плот­ ности, температуре или по совокупности всех этих характеристик Обращаясь к конкретному анализу рассматриваемого типа будем исходить из некоторых упрощающих предпосылок, которые, с одной стороны, позволяют выявить характерные особенности этих волн, а с другой -дают возможность избежать математи­ ческих осложиений.

Во-первых, будем полагать, что волна перемещается вдоль оси х и является плоской, т. е. ее характеристики не зависят от у. Из

р— р— const, f/ = 0. Последнее условие означает, что в получаю­ щихся при .этом упрощенных уравнениях не находят отражения акустические эффекты, ибо звук может распространяться только в сжимаемой среде. Тем самым мы отфильтровываем звуковые волны и рассматриваем интересующий пас процесс в чистом виде, без включения не интересующих пас в данный момент звуковых колебаний.

В результате этих предположений уравнения (16.3) и (16.4) упрощаются п принимают соответственно вид:

Рассмотрим теперь волны на границе раздела двух несжимае­ мых жидкостей, ограниченных снизу твердой стенкой, а сверху

свободной поверхностью. При этом будем считать, что два потока

с плотностями pi = pi и из—р2* движутся друг над другом, причем

* Индекс 1 относится к верхнему потоку, а 2 к нижнему.

199