книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

т е. приращение циркуляции скорости по жидкому контуру при перемещении контура за единицу времени, условно называется

ускорением циркуляции.

Наряду с вектором скорости в каждой точке потока в данный момент времени можно определить вектор ускорения соответствую­ щей частицы и тем самым выделить поле ускорения. При этом цир­ куляция ускорения по контуру в данный момент времени опреде­ лится выражением

0)

Теорема Томпсона. Ускорение циркуляции равно циркуляции ускорения.

Для доказательства произведем дифференцирование в правой части равенства (5.10):

Первое слагаемое правой части выражает собой вклад в из­ менение циркуляции, обусловленный исключительно изменением проекции V[ скорости. Второе слагаемое представляет собой часть изменения, обусловленную удлинением (в алгебраическом смысле)

элементов контура при его перемещении. Производная — б/ вы- d t

ражает собой величину удлинения отрезка б/ за единицу времени. Легко видеть, что это удлинение может произойти лишь в резуль­ тате различия касательных составляющих скорости на концах элемента (рис. 5.9). За малый отрезок времени А/ начало элемента

70

дю

жется равным — - Ы:\1 . За единицу времени удлинение составит

д!

величину — L. Ы, Таким образом,

д/.

ill dl

случае, когда под интегралом находится полный дифференциал, дает нуль. Поэтому

что и доказывает теорему. Итак,

(п

ГЛАВА VI

ФУНКЦИЯ ТОКА И ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

Для определения поля скорости в общем случае нужно найти три скалярные функции координат и времени vx, vu и vz. Однако в некоторых случаях движения существует такая скалярная функ­ ция, производные которой по координатам равны проекциям ско­ рости. В этих случаях для определения поля скорости достаточно найти одну лишь эту функцию, что значительно упрощает задачу. Такой функцией в одних случаях служит функция тока, в других— потенциал скорости.

§ 1. ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

1. Понятие и важнейшие свойства функции тока. Рассмотри плоско-параллельное движение. Функцией тока будем называть такую скалярную функцию координат и времени, градиент кото-

71

рой равен по модулю скорости, но повернут относительно вектора скорости па 90°, в одном п том же направлении во всех точках

(рис. 6.1 ).

Располагая осп Ох н Оу так, чтобы поворот от первой осп ко

—►

второй происходил бы в том же направлении, что поворот от о к grad Чг, имеем:

gradx 4J’ = —vlh grady 4r= yv.

Иначе говоря, функция тока определяется с точностью до аддитив­ ной произвольной постоянной.

Если известна функция тока, то равенство (6.1) позволяет без труда найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определе­ ние функции тока по полю скорости, разрешима не всегда, так как функция тока существует не во всех случаях движения. Действи­ тельно, для существования функции Ч', удовлетворяющей усло­ виям (6.1), необходимо и достаточно, чтобы имело место равен­ ство

аdvx

(—■»*)= дх

72

Учитывая (6.1), легко выразить Q. через Чг. А именно,

Эта задача сводится к отысканию функции по известным частным производным. В интересах последующего изложения напомним путь решения подобных задач на следующем конкретном примере

d-F

гак как только в этом случае, смешанные вторые производные------

дх ду

и -—— будут равны. Легко убедиться в том, что в нашем случае

ду дх

это условие выполняется и, значит, функция F существует.

Для отыскания ее используем сначала первое из условий (6.2). Из него получим

F = \ 'Ixifclx = х2у3+ С , {у),

где о величине Ci(y) можно сказать лишь то, что она не зависит от х, но, вообще говоря, может зависеть от у. Действительно диф­

условий (6.2 ), которое требует, чтобы имело место равенство

[* V + C i(0 )l = 3х2у2+2у.

ду

Отсюда находим С\' (у) =2у, Ct(y) = у 2-\-С, где С — произволь­ ная постоянная, и окончательно

F = x 2y3-\-y2~\-C.

7-1

При отыскании функции тока задача сводится к определению

несжимаемой, производим определение Чг в указанном выше порядке. Приведем примеры отыскания ЧТ

Q.v

а. Плоский источник. Так как в этом случае 0* = - 2— ,

Условие существования 'F при этом выполняется, так как вы­ ражения для vx и vy получены с помощью допущения о несжимае­ мости жидкости. Используя теперь первое из равенств (6.3), находим

Для определения С\{у) используем второе из равенств (6.3):

вчем легко убедиться непосредственно.

Вслучае плоского стока функция тока имеет вид

75

б. Безвихревое вращение жидкости. В случае вращения протип

Условие существования Ч1' выполняется, так как жидкость является несжимаемой. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, находим:

женнй со скоростями щ и v2, для определения Чг имеем уравнения:

Очевидно, что если Мг| и Чг9 -■ функции тока каждого из дви­ жений, то сумма их + будет удовлетворять написанным уравнениям, т. е. будет являться функцией тока сложного движе­ ния.

Если сложное движение складывается из движения в плоском источнике и безвихревого вращения по часовой стрелке, как это можно было бы представить, моделируя движение в антициклоне, то функция тока получится путем сложения выражения (6.4) и (6.7)

х

4F = —Q arc l g --- рС In (x2-pу2) 4-const. (6 .8 )

Уравнение линий тока в этом случае имеет вид

-Q arc tg х , С 1п (х24-у2) = const.

У

76

нии, соответствующие этому уравнению, представляют собой лога­ рифмические спирали.

Движение в стационарном циклоне можно моделировать как сумму движения в стоке и безвихревого вращения против часовой стрелки. Путем рассуждении, подобных предыдущим, получим вы­

а линии тока будут определяться уравнением вида (6.9), т. е. будут представлять собой логарифмические спирали.

Таким образом, линии тока в стационарном циклоне и в ста­ ционарном антициклоне близки к логарифмическим спиралям. Определяя функцию тока для сложного движения: плоский сток+безвихрсвое движение против часовой стрелки+равномерный перенос, можно без труда найти линии тока для случая рав­ номерно перемещающегося циклопа. Аналогичным образом можно моделировать движение п определить функцию тока и линии тока в ряде других случаев движения в атмосфере.

§2. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

1.Понятие и важнейшие свойства потенциала скорости. Потенциалом скорости называется скалярная функция ср, гра­

диент которой равен скорости:

77

потенциал скорости определяется с точностью до аддитивной про­ извольной постоянной.

Эквнскалярные поверхности функции ср называются эквипотен­ циальными поверхностями.

Если потенциал скорости известен, то равенства (6.12) позво­ ляют тотчас же найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определение ср по известному полю скорости, разрешима не всегда, так как потенциал скорости существует лишь при выполнении опре­ деленных условий. В самом деле, в математике показывается, что для существования функции ср, удовлетворяющей условиям (6.12 ) плп условию (6.13), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

(очевидно, что лишь в этом случае смешанные вторые производ­ ные от ср нс будут зависеть от порядка дифференцирования).

пли условию

rot 0 = 0.

С учетом этих равенств, пз теоремы Стокса следует, что

Г = ф p,dl — 0 .

Таким образом, для существования потенциала скорости необ­ ходимо и достаточно, чтобы движение было безвихревым. Отсюда вытекает, в частности, что в случае потенциального движения ли­ нии тока не могут быть замкнуты. Действительно циркуляция по замкнутой линии тока не может быть равна нулю, ибо суммирова­ ние проекции скорости идет по всему контуру с одним и тем же знаком. С другой стороны, в нашем случае Г = 0. Полученное про­ тиворечие и доказывает высказанное выше утверждение.

Укажем важнейшие свойства ср.

а. Эквипотенциальные поверхности и линии тока взаимно ортогональны, так как в каждой точке поверхности ср = const век-

тор gradcp — v нормалей к поверхности и в то же время совпадает

78

но направлению с касательной к линии тока. (Очевидно, что в на­ правлении движения гр растет). Это же означает, что изолинии ф

пвзаимно ортогональны.

б. В случае несжимаемой жидкости потенциал скорости являе ся гармонической функцией. В самом деле, условие несжимае­ мости означает, что проекции скорости удовлетворяют равенству

Вводя в него выражения vx, v,„ v: из равенства (6.12), полу­ чаем

т. е. потенциал скорости представляет собой решение уравнения Лапласа (является функцией гармонической).

Поэтому задачи отыскания поля скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости сводятся к отысканию решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям, которыми одна задача собственно и отличается от другой.

2. Примеры определения потенциала скорости. Задача об опр делении потенциала скорости по заданному полю скорости сво­ дится к отысканию функции по ее частным производным. В слу­ чае плоско-параллельного движения задача решается подобно тому, как находится функция тока. Приведем примеры определе­ ния ф.

а. Плоский источник. В этом случае движение является безвих­ ревым, т. е. потенциал скорости существует и для его определения служат уравнения:

Эквипотенциальные поверхности (p = const определяются урав­ нением x2+ « /2= const, т .е. представляют собой семейство соосных круговых цилиндров, ось которых совпадает с осью Oz.

В случае плоского стока

79