книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Кроме коэффициента вязкости р, большое применение в теории вязкой жидкости находит так называемый кинематический коэф­ фициент вязкости v. Под этим понимают отношение коэффициента вязкости жидкости к ее плотности:

Как известно, ц характеризует собой величину касательного напряжения вязкости, создающегося при данном поле скорости. Пели поставить вопрос о том, какое ускорение может вызвать это напряжение, будучи приложенным к одной из гранен единичного кубика жидкости, то для получения ответа следует р > разделить

на плотность жидкости. В результате ускорение оказывается рав-

вязкости характеризует собой ускорение частиц жидкости, вызы­ ваемое напряжением вязкости.

V см 2/сек

700

720

740

760

780

100

Как видно нз этих данных, с ростом температуры v возрастаем

Отсюда и следует, что с возрастанием температуры, вызыва­ ющем увеличение с, v возрастает, а с возрастанием давления, вы­ зывающем уменьшение /, v убывает.

Рис. 8.3

Приведем значения v для воды, взятой при различных темпе­ ратурах:

Сравнение с данными для воздуха обнаруживает, что у воды v значительно меньше, чем у воздуха, хотя р у воды и больше. Это связано, очевидно, с тем, что плотность воздуха в несколько сот

101

раз меньше плотности воды, и кинематический эффект от прило­ жения напряжения вязкости в случае воздуха оказывается боль­ шим, хотя сами напряжения здесь являются меньшими.

Убывание v с возрастанием температуры объясняется темп же. причинами, что и соответствующее изменение р, поскольку влияние температуры па плотность жидкости, очевидно, является весьма малым в сравнении с ее влиянием на коэффициент вязкости.

§ 2. УРАВНЕНИЕ НАВЬЕ — СТОКСА

Ввиду малой изменчивости р в интересующем нас диапазоне температур (для большинства метеорологических задач -50°С-ь -j-50°C), в дальнейшем будем полагать p = const, что по­ зволяет выносить ее из-под знака дифференцирования.

где Avx — оператор Лапласа.

102

Проведя аналогичные выкладки, получи,vi

2. Различные формы представления уравнения Навье — Стокса. Подставляя (8.5), (8.5'), (8.5") в (7.21), получим уравнения дина­ мики вязкой жидкости в проекции на осп координат. Именно:

Умножая уравнения (8.6) соответственно на i, j и k и склады­ вая результаты, получим уравнение движения в векторной форме

dv

(v ■v)t' = grad p + F-\- yAl4- — orpaddivL'. (8.8)

dt

В итоге имеем запись второго закона Ньютона для жидких сред. Сила инерции dv равна сумме внешних массовых сил гра-

диента давления — grad/; и вязкости v | Дц-f-— graddivf J .

Напомним, что все они отнесены к единице массы.

103

—>

Для случая несжимаемой жидкости (div t>= 0) они упрощают­ ся и вместо (8.8) будем иметь

В заключение заметим, что наличие вязких членов в уравне­ ниях движения обуславливает необратимость процессов, проте­ кающих в жидкости при ее движении. Действительно, если мы по­ пытаемся вернуть систему в исходное положение, подставив вместо

/, .V, у, z, vx, vu, v: значения —t, —х, — у, —z, —vx, —ty —vz, то получающиеся при этом уравнения не будут тождественны систе­ ме (8.6), ибо перед вязкими членами появится знак минус.

ГЛАВА IX

УРАВНЕНИЕ ПРИТОКА ТЕПЛА

§ 1. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

Внутреняя энергия есть функция состояния, которая для слу­ чая однокомпонентной среды однозначно определяется двумя тер­

модинамическими параметрами, например и— и(а,Т), где а = ------

Р

удельный объем.

Рассмотрим вид этой функции для совершенного газа. Как известно, эта модель предполагает, что молекулы совершенного газа имеют сферическую форму и взаимодействие между ними сво­ дится к столкновениям, подчиняющимся закону абсолютно упру­ гого удара. Определяющим фактором в этом процессе является кинетическая энергия молекул и, следовательно, температура. Поскольку других энергетических переходов между молекулами нет, расстояние между ними а, следовательно, и удельный объем на величине внутренней энергии совокупности молекул не отражается.

Ввиду того, что кинетическая, а, следовательно, для рассматри­ ваемого случая и внутренняя энергия, зависит только от темпера­

ди

дТ объемной теплоемкости или, иначе, изохорной теплоемкостью.

Кинетическую энергию можно представить себе состоящей из энер­ гии поступательного, вращательного и колебательного движений молекул, в соответствии с чем и величина сг разлагается на три составляющих: cv= c uU-j- cvB-|- cvK. Как показывают эксперименты,

для газов, близких по своим свойствам к совершенным, из трех слагаемых лишь величина, связанная с колебаниями (с„к), зависит

104

от температуры, да и то, если 7>2000°К. К тому же она мала в сравнении с первыми двумя слагаемыми, так что ею, а с ней и

Возьмем интеграл от обеих частей этого уравнения в пределах

Теперь ясно, что изменение внутренней энергии эквивалентно изменению количества тепла в единице массы и связано с измене­ ниями ее температуры.

Атмосфера по своим свойствам, п это подтверждается много­ численными экспериментами, является совершенной смесыо совер­ шенных газов. В силу этого выведенное соотношение (9.1) приме­ нимо к ней в полной мере. В дальнейшем мы будем использовать именно это выражение для внутренней энергии тем более, что оно применимо и ко многим другим средам.

Молекулярный поток внутренней энергии для случая u — cvT представляет собой поток тепла, который будет определяться эмпирическим уравнением Фурье (о нем говорилось в вводной части):

Приток тепла:

§ 2. ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ВЯЗКОЙ ж и д к о с т и

1. Диссипация в жидкости. Прежде всего, опираясь на вывед ные в предыдущей главе формулы (8.3), получим явный вид функ­ ции Е. Как установлено (см. 7.24), она представляет собой сумму скалярных произведений вида

Раскрывая его, получим:

105

Ё промсжуточнь1х выкладках здесь использовалось свойство взаимности касательных напряжений, выражаемое полуденными

ходит в тепло за счет следующих факторов. Во-первых, иод дей­

ствием сил давления (член ■fullv v) происходит изменение объе­

ма, что ведет при его уменьшении (divc<;0) к возрастанию тем­

пературы. а при возрастании (divy>0) к ее понижению. Во-вто­ рых, из-за наличия сил вязкости, действие которых проявляется

— Li(divu)2); при изменении длины жидких линий п перекосе силы

О

грения совершают работу, которая полностью переходит в тепло (два последних члена).

Величина

носит название диссипативной функции. Еще раз подчеркнем, что она представляет собой отнесенную к единице объема и единице времени часть кинетической энергии потока, затраченную на пре­ одоление сил вязкости и переходящую в тепло *.

Очевидно, что в случае несжимаемой жидкости выражения (9.3)

для идеальной несжимаемой жидкости справедливо D= E —0.

* Здесь вновь имеет место эффект необратимости процессов за счет действия сил вязкости, ибо кинетическая энергия переходит п тепло, а обратное не имеет места.

106

§3. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

I.Различные формы представления. По сути дела уравнение (9.5) представляет собой форму записи 1-го начала термодина­ мики. Обозначив

где а — удельный объем.

Подставив этот результат в последнее уравнение п помножив обе его части на dt, получим первое начало в классической форме записи

Таким образом, изменение внутренней энергии слагается из ра­ боты внешних сил и притока извне.

Как известно, уравнение состояния совершенных газов имеет вид (формула Клапейрона)

модифицировать. Для этого сначала, в соответствии со вторым равенством соотношения (9.12), перепишем его в виде

р d[

cvd T --------------= d Q .

О о

Подставляя р из (9.14) иделя обе части получаемого выраже­ ния па Г, будем иметь

Прологарифмировав и продифференцировав (9.1-1), можем по­ лучить

ственно равно затратам тепла на изменение температуры одного грамма массы жидкости на один градус при постоянном объеме, а с,, при постоянном давлении. Но в последнем случае для сохра­ нения давления внутри объема жидкость должна расширяться, совершая при этом работу на преодоление сил внешнего давления. Поэтому и необходимо для того, чтобы изменить ее температуру на один градус затрачивать соответственно большее количество энергии.

Подчеркнем еще раз, что все выведенные выше формулы суть различные случаи и формы первого начала термодинамики.

2. Политропические процессы. Адиабатический случай. Если предположить, что приток тепла к частице пропорционален темпе­

Важным частным случаем политропического является адиаба­ тический процесс, протекающий в частице без теплообмена со

109