книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Физический смысл последнего равенства очевиден: при затор­ маживании частиц газа их кинетическая энергия переходит в по­ тенциальную энергию в поле сил давления, т. е. в теплосодержа­ ние. Из (14.29) находим

Для скорости порядка скорости советских искусственных спут­ ников Земли (28 000 км/час) ДГл>30 000°С.

Как видно из формулы (14.30), динамический добавок к темпе­ ратуре не зависит от плотности воздуха, т. е. при данной скорости полета _\Г будет одним и тем же на любой высоте. Нетрудно найти элементарное объяснение этого кажущегося вначале стран­ ным факта. Если, например, плотность воздуха на высоте в и раз меньше приземной плотности, то и кинетическая энергия данного объема воздуха будет в и раз меньшей, и таково же будет отноше­ ние между количествами тепла, выделяющимися при торможении. Но на высоте выделившееся тепло идет на нагревание массы в п раз меньшей, чем у земли, поэтому температурный эффект про­ цесса будет здесь таким же, как и в приземном воздухе.

В аэродинамике часто пользуются выражением температуры торможения, получающимся из формулы (14.30) в результате вве­ дения в нее величины скорости звука, в невозмущенном воздуш­

ном потоке a= ']fxRT0 = 2000 фГо:

Го(1+0,2 М2).

170

Г Л А В А X V

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ЦИРКУЛЯЦИИ

Положения, рассматриваемые в этой главе, имеют особо важ­ ное значение для понимания вопросов динамики атмосферы. Дей­

воздуха. При вихревом движении ротор скорости, вообще говоря, не равен нулю и, значит, не равна нулю циркуляция скорости но тому или иному контуру. Условия возникновения и развития вихре­ вых движений будем исследовать, оценивая изменения этой цирку­ ляции во времени.

§ 1. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ДЛЯ АБСОЛЮТНОГО ДВИЖЕНИЯ

триваемого в системе координат, не вращающейся вместе с Землей вокруг ее оси. Как доказывалось ранее (гл. V, § 3), приращение циркуляции Га этой скорости за единицу времени определяется циркуляцией вектора ускорения в данный момент времени. Но вы­ ражение ускорения, как следует из уравнения движения, при на­ личии только потенциальных сил, имеет вид

171

Полученный результат можно прсдсташпъ и различных фор

мах. Простейшая пз них получится, если учесть, что — —а.

Выражение (15.2) позволяет представить теорему о циркуля­ ции во второй, особенно наглядной форме. Представим себе, что в пространстве, занимаемом жидкостью, определены изобариче­ ские поверхности, соответствующие значениям давления, различа­

мы уже знаем, не параллельны друг другу, а пересекаются. По­ верхность, образованная двумя соседними изобарическими и пе­ ресекающими их двумя соседними изостернческнми поверхно­ стями, представляет собой трубку, называемую нзобиро-изостери-

ческим соленоидом (рис. 15.1)

Рис. 15.1

Допустим вначале, что контур L составлен из кривых, лежа­ щих на двух изобарических поверхностях р = Ро и р = р0-\-пг и на двух нзостерическнх поверхностях а и а — ао+ я (рис. 15.2). Будем полагать, что контур ориентирован в направлении кратчай­ шего поворота от grad а к —grad р. Необходимо помнить, что здесь речь идет о градиентах в математическом смысле, т. е. о век­ торах, направленных в сторону роста соответствующей величины.

172

будет иметь ту же величину N, но окажется величиной отрица­ тельной, т. е. мы будем иметь

c l l \

—/V.

И Г

Общий итог сводится к следующему: ускорение циркуляции для абсолютного движения равно числу единичных нзобаро-пзостерн- ческнх соленоидов, охватываемых контуром, взятому со знаком плюс, если контур ориентирован в направлении кратчайшего пово­ рота от grad а к —grad р, и со знаком минус, если контур ориенти­ рован противоположным образом. Кратко это будем записывать так

at

Всамом общем случае, когда в разных частях пространства,

Рис. 15.3

(рис. 15.3). Ускорение циркуляции в этом случае равно алгебраи­ ческой сумме чисел соленоидов в каждом контуре, взятых с соот­ ветствующим знаком.

Третью форму теоремы о циркуляции получим, применив к пра­ вой части равенства (15.1) теорему Стокса:

1 7 4

(Л

Интеграл, стоящий в правой части (15.5), является положи­ тельным в том случае, когда нормали к поверхности составляют острый угол с векторным произведением

— |gradccX(—g'radp)!.

Учитывая ориентацию этого векторного произведения и усло­ вие о направлении нормалей, принимаемое в теореме Стокса, при­ ходим к выводу, что положительная величина ускорения циркуля­ ции имеет место лишь в том случае, когда контур ориентирован в направлении кратчайшего поворота от grad а к —gradр. Тем самым мы приходим к результату, полученному выше путем непо­ средственного интегрирования.

Подводя итог рассмотрению теоремы о циркуляции для абсо­ лютного движения, мы можем записать теорему в следующем виде:

§ а М = ф п Я = § в', = 0 '

где ЬР — дифференциал функции давления, взятый в направлении контура. Тот же результат получим, учитывая, что в оаротропнои среде изобарические и изостерическне поверхности не пересекают­ ся и, значит, число соленоидов, охватываемых контуром, всегда равно нулю. Наконец, к тому же выводу мы придем, исходя из того, что векторы grad р и grad/; в каждой точке баротропнои сре­ ды лежат на одной прямой и их векторное произведение обращает­ ся в нуль. Таким образом, в идеальной баротропнои жидкости,

175

если массовые силы имеют потенциал, то ускорение циркуляции для абсолютного движения всегда равно пулю, т. е. циркуляция абсолютной скорости по жидкому контуру при перемещении кон­ тура остается постоянной.

Отсюда тотчас же следует, что В не равно нулю лишь в случае бароклинной среды, т. е. ускорение циркуляции абсолютного дви­ жения целиком определяется бароклпиностыо жидкости, отсут­ ствием потенциала у массовых сил, а также вязкостью жидкости.

§2. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.Циркуляция скорости относительного движения. Представим себе, что жидкая среда, под которой можно понимать либо воду

дое тело с угловой скоростью вращения Земли со. Скорость такого

видно, та скорость, которую в случае воздуха измеряют приборы на метеорологической станции и которая наносится на синоптиче­

ские карты.

>

Скорость иа «абсолютного» движения, т. е. движения относи­

тельно системы координат, связанной с земной осью, по не вра- •>*

щающейся около этой оси, будет складываться из скорости v отио-

>

сительного движения и скорости о1 переноса системы координат’

мени и определим для этого момента времени циркуляцию по за­ данному контуру L скоростей каждого из указанных движений.

Установим величину Г1, т. е. циркуляцию скорости при враще-

>

нпн жидкости как твердого тела с угловой скоростью w. При этом

будем полагать, что ориентация контура соответствует направле-

>

ншо вращения жидкости, т. е., если смотреть со стороны вектора ю, то направление обхода будет представляться происходящим про­ тивоположно часовой стрелке. Представим себе вначале, что кон ■

176

это площадь элементарного сектора, взятая со знаком «—» при

обходе его внутренней части. В таком случае интеграл (Т)-^- cos си//

нием, установленным ранее (см. гл. V, § 1). Как там показано, Г1 равно циркуляции скорости по проекции L' контура L на плоскость вращения. Но циркуляция скорости по контуру L1 равна 2(о5\ где 5' площадь, охватываемая контуром L.

щ

Таким образом, циркуляция скорости влечения по контуру, ориентированному соответственно направлению вращения Земли, определяется выражением

I ] 0 Э Т 0 М У

Таким образом,

!'«= г + г 1,

где Г1 циркуляция переносной скорости по рассматриваемому

контуру.

2. Вывод теоремы. Нели контур ориентирован в направлении вращения Земли, т. с. направление обхода, если смотреть со сто­ роны Северного полюса, представляется противоположным движе­ нию часовой стрелки (циклоническая ориентация), то I1' является величиной положительной, равной 2 т 5'. Если же контур ориенти­ рован противоположным образом (антпциклоничеекп); то Г1 пред­ ставляет собой величину отрицательную, равную — 2 m s 1. Итак,

где знак плюс соответствует аптнциклоннческоп ориентации кон­ тура, знак минус циклопической. Это равенство и выражает собой теорему о циркуляции для относительного движения. Мы видим, что ускорение циркуляции в этом случае складывается из

ееть ускорение циркуляции, обусловленное переносным движением, т. с. тем фактом, что система координат, относительно которой рас­ сматривается движение, вращается вместе с Землей, п появляю­ щаяся сила Кориолиса, в силу своей некоисерватпвноетн, обуслов­ ливает ускорение циркуляции, т. е.

Ii

3.Ускорение циркуляции, обусловленное бароклинносты

жидкости. Допустим, что ускорение циркуляции, обусловленное

dS' п

переносным движением, равно пулю, что имеет место при ^ - = 0 ,

т. с. в том случае, когда площадь проекции контура на плоскость экватора остается постоянной. Подобное допущение оправдано,

178

в частности, при таком выборе контура, когда векторы скорости во всех точках контура направлены по касательным и не дают сла­ гающих, способных изменить площадь охватываемую контуром.

При сделанном допущении имеем

t. e. ускорение циркуляции относительного движения целиком определяется бароклинпостыо среды.

Приведем примеры возникновения ускорения циркуляции, обусловленного бароклинпостыо, причем будем пользоваться тео­ ремой в виде

т. е. изменение циркуляции будем связывать с наличием нзобароизостернческих соленоидов, охватываемых контуром.

П р и м е р 1. Бризовая циркуляция. Бризами называются местные ветры, возникающие в прибрежных районах больших во­ доемов. например морей, озер и т. п., и объясняемые различиями в нагревании воздуха над сушен и над водой. Рассмотрим возник­ новение дневного бриза характеризующегося тем, что вблизи по­ верхности воды и суши ветер дует от воды к суше, а, начиная с не­ которой высоты, — в противоположном направлении.

Допустим, что первоначально воздух находится в покое относи­ тельно земной поверхности. Это возможно лишь в том случае, когда отсутствуют изменения давления по горизонтали, т. е. изо­ барические поверхности горизонтальны. При переходе от изобари­ ческой поверхности р к близкой изобарической поверхности p-\-dp давление всюду изменится на одну п ту же величину dp— —р gdz. Поскольку во всех точках изобарической поверхности gdz имеет

dp

одну и ту же величину, то и р = —gdz не должно меняться вдоль

изобарической поверхности и, значит, изостернческпе поверхности не пересекаются с изобарическими. В этом случае нзобаро-нзосте- рпческпе соленоиды не образуются, и ускорение циркуляции по любому жидкому контуру равно нулю.

Однако вскоре после восхода солнца вследствие различия в нагревании поверхности суши и воды воздух над сушей стано­ вится теплее, чем над водой. Так как с высотой плотность воздуха убывает, а, значит, удельный объем растет, то прогревание воздуха и соответствующий рост а сопровождается опусканием нзостерических поверхностей, которое над сушей будет большим, чем над водой. В результате этого изостернческпе поверхности оказывают­ ся наклоненными от воды к суше, так как над сушей возросший удельный объем равен теперь удельному объему более холодного