книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

( J L А.) —У ( дх< \

( Б .7 )

\ dqj ‘ dqj I ~

£

, \ dq, 1

П о д с т а в л я я (Б . 7) в ( Б . 6 ) , н а х о д и м

Л,

/

дх1

t^\

\

dq.

Э л е м е н т

п о в е р х н о с т и da,- с у ч ет о м (Б . 4) м о ж н о за п и с а т ь

в в и д е

dai= dsJdsi,— Hj ■Hhdqj dqu

( Б .9)

г д е i, j, к о б р а з у ю т

ц и к л и ч е ск у ю п е р е с т а н о в к у чисел 1, 2,

3.

Э л е м е н т

о б ъ е м а

dr:

dr=ds\-ds2-ds3= Н \H2H3dq,dq2dq3.

(Б . 10)

в о р т о г о н а л ь н ы х к р и в о л и н ей н ы х к о о р д и н а т а х .

1.

Г р а д и е н т ск а л я р н о й

величины .

С о г л а с н о

о п р е д е л е н и ю

г р

ди ен т а

ск а л я р н о й

величины

<р

ег о

проекции

па

к о о р д и н а т н ы е

л и ­

нии

вг

\

г)а

1

в<я

( Б . 11)

дп

~

Ж

~

~Щ

'

2.

Д и в е р г е н ц и я

п о ток а .

П о

с в о е м у

ф и зи ч е с к о м у с м ы сл у

д и в е

ген ц ия

— эт о

р а зн о с т ь

поток ов

с в о й с тв а

а,

п е р е н о с и м о г о

ж и д к о с т ь ю , в т е к а ю щ и х

в

ед иничны й

о б ъ е м и

в ы т е к а ю щ и х

из него

з а е д и н и ц у

вр ем ен и .

Р а с с м о т р и м

эл е м е н т а р н ы й

о б ъ е м

dr

(рис . Б.

1) Ч е р е з

п л о щ а д к у

dai=ds2ds3 в те к а ет —

av,ds2ds3, а

вы-

,

.

d(av,ds2ds3) ,

'

(Знак

минус в первом

потоке

текает av,ds2ds3-\-

- - —

-----

dq,.

появляется за

dq j,

против

внешней нор-

счет того, что он направлен

.

тт

d(av,ds2ds3)

или ,

с уч етом

.,

d(av,H2H3)

X

м а л и ) .

И х с у м м а — — ^---------- --

(Б . 4 ) , — =— ----------

d q I

'

dq,

X.dq,dq2dq3. А н а л о ги ч н о ,

д л я

п л о щ а д о к ds,ds3 н

ds,ds2< ео о т в ет -

ственно :

d(av2H,H3)

,

,

,

d(av3H,H2)

,

,

,

О б щ а я

—

----------— dq,dq2dq3 и

— i—^

dq,dq2dq3.

d q2

dq3

■+

1

д(аУ\Н2Н г)

d(av2H i H 3)

div аи= н Ш Ь

dqv

+

9q 2

+

д (av3H x Н 2)

( Б .1 2 )

9q3

3.

О п е р а т о р Л а п л а с а с к а л я р н о й ф у н к ц и и <р. Н а о с н о в а н и и ф о

м улы в ек т о р н о го

а н а л и з а

Д с р = d iv

g r a d

ср, учиты!вая

( Б . 11) и

( Б .1 2 )

м о ж н о за п и с а т ь ,

что

Д с р = div

J ___ jd_

,

J _

1

Н 2

dq,

г

Н3

9q3

НI н 2н 3 х

Я г

( Я 3Н3 9<о \ J

/ И хН 3 дср Ч

д / Н хН2 д<в

( Б - 13)

dqx \

Hx

dqx j ' d q 2 [

Н2

dq2J

d q?\

Н3

д qz

З д е с ь

р оль ciVj и гр а ю т

к о м п о н ен т ы

гр а д и ен т а

1 дш

77“ ~dq~’

4.

В ихр ь

( р о т о р )

ск о р о ст и

( Q = r o t o ) . Н а

о с н о в а н и и

ф о р м у л

С то к са $

vsd s =

j‘f rot„

vda,

и с п о л ь зу я

т е о р е м у о

с р е д н е м ,

м о ж н о

,v

а

за п и с а т ь ,

что Qn - a = §

vsds. Д л я

эл е м е н т а р н о й

к о о р д и н а т н о й по-

в ер х н о ст и (рис .

Б. 2) с!а3 п о с л е д н е е с о о т н о ш е н и е

£^зс1(1з——

•1

vmds,n.

т=:I

З н а к о с р е д н е н и я о п у щ е н , и б о

в

п р е д е л е мы и м еем

т о ч н о е р а в е н ­

ство.

П р и у к а з а н н о м на р и су н к е

н а п р а в л е н и и о б х о д а

и с к о р о ст и это

И м ея в в иду , что d s , =

Яд/<7 ,- и

cla-, — H -Hkdqjdqh,

п о л у ч а е м

Q3=

1

~д(УоН2)

д{У\Н\)'

Я , Я 2

dq |

dq*

А н а л о г и ч н о м огут

бы ть

получ ен ы

Qi

и Q 2, т а к что,

о б о б щ а я , м о ж н о

з а п и с а т ь

\

У, :

1

д К Нк)

д (vjHj)l

( Б . 14)

HjH,

dqj

ЭЧь

У

г д е /, /,

к о б р а з у ю т

ц и к л и ч е ск у ю

п е р е с т а н о в к у

чисел

1, 2 , 3.

5.

О п е р а т о р Л а п л а с а д л я в е к т о р а с к о р о ст и . Д л я о т ы ск а н и я е

в ы р а ж е н и я с л е д у е т

в о с п о л ь з о в а т ь с я

и зв е с т н о й

ф о р м у л о й век тор -

->

->

->

н о го а н а л и з а Ar' =

d rad

div v — rot rot и. В ы в е д е н н ы х

вы ш е с о о т н о ­

ш ен и й

в п ол н е д о с т а т о ч н о

д л я

т о го ,

чтобы

н ай ти

п р о е к ц и и А а н а

оси к о о р д и н а т . О п у с к а я

э л е м е н т а р н ы е , но в есь м а

д л и н н ы е в ы к л а д ­

ки с р а з у за п и ш е м

1

d

1

£

d ( Я,Я2Я3от \

- Н; д q\ |я ,Я 2Я3

Ит

)

Н,

Ъ—

Н„

h —

— — (у- //,)

Я,Я2Я3

Й 7 Г

К 1

d q j [ H i H j \ d q i

’ ’

dq}

Kl

"

д

Н,

( д

О

(Б.15)

dTk

6. К о н в ек т и в н а я п р о и з в о д н а я с к о р о ст и .

В в ек т о р н о м а н а л и з е

в ы во д и т ся ф о р м у л а

vx

-»

->

(и-A)

v = g ra d

-уЧ-ОЭХо),

(а )

ил и в к о о р д и н а т н о й ф о р м е

dvi

_ _

д

(б)

dqд

”

dSi

—^

П о с к о л ь к у с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е { v - v ) = v 2 д о л ж н о бы ть

н е и з м е н н о в л ю б о й

с и с т е м е

к о о р д и н а т , то , н а п р и м е р , п р и г= 1

м о ж н о за п и с а т ь

д

j _ Л _ ( V* + vl -I- v\

(А,

Нх dqx \

2

dv,

d V.,

,

d v<>

Н х

dqx

+ v-+ d q x

V* dqx

(в)

С о о т в е т ст в ен н о

при

i — 1 д в а п о с л е д н и х

с л а г а е м ы х в с о о т н о ш е ­

нии ( б )

б у д у т Q 2i>3— Q 3u2.

Раскрывая

Q2 11 £2з на основании

(Б . 14),

получим

О 1,

v.A

д

*3

д ?л,- L.

г;,

д Н х

Но

д <7:.

н х

д Я\

НгНл

c)q3

Vl

дНя

Vo

dv2 1

Го д г;.

vl

д Но . v,v.2 дН,

н хн .

dqx

Н\1

d q 1

•'Ь

Но

д q2

НХН

’* r)qx

Н^Н,

С к л а д ы в а я

П о сл ед н ее

в ы р а ж е н и е

с

( в ) , б у д е м

им еть

А н а л о ги ч н о

м о гу т бы ть

получен ы

ф о р м у л ы д л я

i = 2 , 3.

В о б щ е м в и д е

в ы р а ж е н и е д л я

к онвективной п р о и з в о д н о й

м о ж н о

п р е д ст а в и ть как

4Я'

vu

d v,

,

1

vuvi д_Н,

Нк

u ■

Hi

1

Hu 'dqи

1

3

f iT"

vl

дНк

(Б.16)

Hi

V

Hh

dqi

k^\

7. К о н в ек ти в н а я п р о и з в о д н а я д л я с к а л я р н о й ф у н к ц и и ф. К а к

дю

дю

(Б.17)

( о . ё гас1

ф) = £ v, тт: = /£ 1 Н;

dq,'

§ 3. УРАВНЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Т е п ер ь мы м о ж е м

п ри сту п и т ь к в ы в о д у

с ф о р м у л и р о в а н н ы х

1. У р а в н ен и я

н е р а зр ы в н о с т и .

П о л а г а я

в (Б . 12)

а = р, мы

м о ж е м с р а з у за п и с а т ь

dp ,

1

д (рГ0 1 # 2 # з)

, д(рь2Н хН3)

dt "и

H\H2HS[

dqx

'

dq2

.

d(pv3HiH2)

—■0 .

( Б . 18)

dq3

И л и

с уч ет о м

(Б .

17)

—

) +

_Р___v

~

Н\H2H3Vh

— 0- (Б.18')

ы

к

Н„

к

н ь

Н\Н2Н3

dqk

2. У р а в н ени я

д в и ж е н и я . У читы вая

ф о р м у л ы

( Б .

1 1 ),

(Б .

1 5 ),

(Б . 1 6 ), мы в м ес т о (8 .7) д о л ж н ы з а п и с а т ь у р а в н е н и е в и д а

'

д vi

vh

д v,

1

я

vkv,

д Н {

1

i ,

0% д Н к

"

~l

_I _ VI

_

Нк

"к’'!

"" “ i _

. _ X_ 1

_ к_\ —

dt

д Як

Н,

Д

Нк

д Як

Н, *■", Нк dq,

1

дР

и

4

1

д

1

з

д

i Hj H 2H svm

Н.

Щ

•

з

^ 777 ~дя,

У,

д(1,п \

Нт

Н ХН2Н3 n{i\

Н ,

f

д

*

Н хНаНа ' \ d q j

т Х

^

д

Г

Hj

+ ?Fie-

(Б-19)

йТк

\-Hl H k \ d q k

3.

У р а в н е н и е т е п л о п р о в о д н о с т и . О н о м о ж е т бы ть п о л у ч е н о н

о с н о в е

ф о р м у л

(Б .

1 3 ),

(Б . 17),

г д е

ц>= Т. Ф о р м у л у

д л я д и с с и п а ­

тивной ф у н к ц и и

д а д и м

б е з п р е д в а р и т е л ь н о г о

в ы в о д а ,

котор ы й

в

п р и н ц и п е п р о ст , но сл и ш к о м г р о м о зд о к . Т о г д а в м ес то (9 .1 1 )

п олучим

с , { К л. у А К

дР , A I l J p \ —

\

dt

1

н ,

dqt

' d t +

- ,

Ht d q , ) -

-

HxH2Hз

v

5 f HXH2HZ

dT \

_2

1

X

д

5

\

HI

< 4

)

3

Н\Н\Н\

■3

a

( U\H2H2vi \ i

2

]

3

3

Г

1

1

dvh

X L/2-»i ^

(

Hi

)j

2

[Hk

1

Щ

дН,

,

дНЛ .

+

,

_

®

vx

dHt

Н х Н к \

-5----- h vk

-5—5

8<* • 2

V

o—rr • a—f . (Б.20)

d q k

dqx

Уравнения для случая общих неортогональных

систем

координат могут

быть представлены в следующем виде:

неразрывности

V

—

(vk y rG ) = 0;

к“ х »Ч*

количества движения

/ 0 v ‘

.

.\

ik

up

I

од

1

д У G v>

( —

+

1

, 4 *t, ) -

-

дР

т

- г

g"' ~

k ■+

X'G

Tip

dqk

О qk

..

.

,

2р

V k - <»,. Vj);

+

\>gJ

V/ Vk V

+ Р Flg -

- r~

(<oy

Все они составлены для случая

контравариантных

компонент.

Здесь

G — фундаментальный определитель метрического

тензора

||£;д[|; g ‘k — кон-

травариантные компоненты метрического

тензора;

у/ v k — ковариантная

про­

ским

и с ф е р и ч ес к и м к о о р д и н а т а м и

за п и ш е м

их с

п о м о щ ь ю у р а в ­

н ений

(Б . 1 8 '), (Б . 19)

и (Б . 2 0 ) *.

1. Ц и л и н д р и ч е с к и е

к о о р д и н а т ы .

q{ = r,

<7 2= c p ,

<7 з = 2 ; Vi = vr,

V2 = Vv, v3— vz (рис. Б.

3 ) .

П р и эт о м

д е к а р т о в ы

к о о р д и н а т ы св я за н ы с

ц и л и н д р и ч еск и м и

ф о р м у л а м и :

Xi =

rc o sc p ,

.v2= r s i n c p , x3= z

(x i= x ,

x2= y ,

x3= z ) .

П о ф о р м у л а м

(Б . 8)

л е гк о

н а й ти ,

что

Я i =

l , Я 2=

г , Н 3= 1.

П о д с т а в л я я

эти

зн а ч е н и я Я , в

(Б . 1 8 ),

(Б . 1 9 ),

(Б . 2 0)

с о о т в е т ­

ст в ен н о б у д е м иметь:

do .

Оь

,

Vo

dp

dp

1

d v9

t

,It + " ' *-

-

r

» t ’

dz + '

r da т

,

dz

j

Vr

\ — 0 •

(Б.21)

'

:

/•

-

- 0 ’

у р а в н е н и я

д и н а м и к и

в

п р оекции

па

оси

к о о р д и н а т

dvr

dv_r ■ v*

dvr

•

‘z

dvr

Vo

1

dp

„ (Б.22)

dt 4- V

dr

r

da

dz

r

p

dr

dvc

dv4 ,_ 1p

d V--

dv,, .

Vrv9

1

dp

Fy ,

(Б.2 2 ')

~dt -r vr Hr

7

r

da * "<Щ +

Г

pr

da

dv.

- 4- v

V9

dv,

d vz _

1

dp

,

(Б.22")

dt

r

---±

w ■

о

dz

- F-

dr

da

‘

dz

у р а в н е н и е т е п л о п р о в о д н о с т и

I дТ

д Т

Vo

дТ

дТ\

/ dp

dp

v9

dp

Cp^ \ d t

‘ Vf dr

r

da

'

V* dz J

\ d t

^

Vr dr

'

r

da ^

dp \

j d2 Г

1

d2 T

d2T

1

d T \

~

Vz~ t e )

=

4

(~dP

+

о ф

+

g^T +

— g f j -

(Б-23)

1

dp

2a> (vecos 0 +

vr sin 0);

(Б.25")

o r sin 0

an.+

h . —

/ дТ_ _l

дТ_

щ_ дТ_

дТ_

Ср? I\

dt

1

Vr ~дг

+

г

db +

г sin 6 д\

HL + V дР - . л . Л . dP

,

Vi

dp

)

>

(d°-T

_

_

dk

[dr-

1

dt '

r dr

'

r

db

T rsinS

j - 4

г-

db-

1

1

d2T

2

dT

Ctg0

dT '

( Б . 26)

"Г r2 Sin2 0

dk2

*

r

dr +

r2

db

§ 5.

ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

К р а н е е

в ы в е д ен н ы м

у р а в н е н и я м

(Б .

19)

и

(Б . 2 0 )

н а м н е о б х о ­

д и м о п о д к л ю ч и т ь

члены

о т р а ж а ю щ и е т у р б у л е н т н ы е

п о ток и к о л и ­

чества д в и ж е н и я

и

т е п л а * . П о э т о м у

п р е ж д е

в се г о о с т а н о в и м с я

на

в ы в о д е в ы р а ж е н и й д л я т е н з о р а с к о р о с т е й д е ф о р м а ц и й ,

г д е с к о ­

р о ст и п о н и м а ю т с я к ак о с р е д н е н н ы е .

Д л я э т о г о р а с с м о т р и м и н в а ­

р и а н т б s2 (6 s — э л е м е н т д у г и в п р о с т р а н с т в е ) .