книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

теплопроводности:

Мы видим, что система незамкнута, ибо для шести неизвестных оЛ., су с-, р, р, Т имеем пять уравнении. Шестым недостающим соотношением является эмпирическое уравнение состояния (иначе называемое характеристическим). Оно связывает плотность, давле­ ние, температуру и концентрацию тех или иных примесей (напри­ мер, водяной пар в атмосфере или соленость в океане), и в общем случае записывается как

Такая постановка требует привлечения системы уравнений диф­ фузии примесей*. Но мы будем рассматривать лишь однокомнонентиые среды, для которых уравнение состояния записывается в более простои форме

В некоторых задачах пет необходимости в решении всей систе­ мы в нелом. Это связано со спецификой поставленной задачи и вы­ бранной в соответствии с этим модели жидкости. Ниже мы разбе­ рем основные аспекты этого вопроса.

1. Бароклинная и баротропная жидкость. Жидкость, в которой плотность является функцией как давления, гак и других величин, называется бароклинной. Уравнение состояния для нее, если она является однокомпонентион, имеет вид (10.4). В этом случае при решении какой-либо конкретной задачи приходится использовать полную систему уравнений (10.1) —(10.4).

Жидкость, в которой плотность зависит лишь от одного давле­

Примером может служить выведенное выше уравнение Пуассо­ на (9.20). справедливое для адиабатических течении. В этом слу­ чае

i

n— kiр * (&i =const).

* Отдельно уравнения диффузии мы не рассматриваем, ибо отыскание ве­ личин c.j является более узком специальном задачей. Разумеется, для ее реше­

ния необходимо знать vx , v v , v., которые могут быть получены из решения общей системы.

1И

Пели изменение состояния газа происходит при постоянной температуре, то справедлив закон Бойля--Марнотта

n= k2p.

Жидкость в этом случае также баротропна.

Отметим одно весьма важное обстоятельство. В баротропной

ности /> = const р также постоянна, а следовательно, и а — —=consl.

fj

Легко видеть, что при наличии баротропности для определения a.v, vv, vz, р, р достаточно решить систему (10.1), (10.2), (10.5). Она замкнута и без уравнения теплопроводности. Если же нас интере­ сует поле температур, то (10.3) можно решать отдельно, опираясь на результаты решений системы (10.1), (10.2), (10.5).

2. Несжимаемая жидкость. Тривиальным случаем баротропноп жидкости является несжимаемая среда, в уравнении состояния ко­

торой р— крт показатель степени равен нулю, т. е. p= A’ = consl. Модель несжимаемой жидкости является наиболее важной для

геофизических проблем, ибо вода, а также воздух, движущийся со скоростями порядка скорости ветра ( —- 10 м/сек), практически не­ сжимаемы.

Поэтому соответствующие уравнения мы выпишем отдельно, тем более, что в дальнейшем мы будем к ним неоднократно обращаться. Очевидно, что все уравнения получаются как частный

112

в этом есть необходимость.

§ 2. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ

Выписанные системы уравнений в рамках использованной мо­ дели справедливы для любых течений жидкости. Это могут быть атмосферные движения, перемещение масс воды в океане, течение в реках, трубах и т. д. При решении же конкретного вопроса воз­ никает необходимость индивидуализировать постановку, т. е. сфор­ мулировать задачу таким образом, чтобы при этом была отражена ее специфика с точки зрения свойств конкретной жидкости, геоме­ трических форм потока, его исходного состояния и условий взаи­ модействия с окружающей средой. Это же даст возможность найти значения произвольных постоянных и функций, которые войдут

врешение после интегрирования системы уравнений.

1.Физические свойства. Прежде всего, нам необходимо знать среду, с которой мы имеем дело. Это означает, что нам должны быть известны физические свойства жидкости: капельная или сжимаемая, ее вязкость (ц, v), теплоемкость, теплопроводность,

плотность (в случае несжимаемости) и т. п. Если все эти пара­ метры меняются в зависимости от тех пли иных факторов, то вид и характер этой зависимости должен быть известен. Эти данные по­ лучаются экспериментально для каждой капельной жидкости или газа, а результаты представляются в виде таблиц пли эмпириче­ ских формул с. указанием диапазона применимости рекомендуемых данных. Сюда же примыкает и уравнение состояния.

2. Начальные условия. Искомые величины представляют собой функции координат и времени. Начальные условия сводятся к тре­ бованию, чтобы поля всех искомых гидродинамических величин были бы известны в некоторый момент времени t = t 0.

Иными словами, выражения искомых функций должны удовле­ творять условиям:

vx(х, у, z, t.0) = / о (х, у, z ), vv(х, у, z, /0) = / 1(х, у, г) , р = р(х, у, z, t0)

и Т. д.

При установившемся движении элементы потока в любой точке его от времени не зависят, т. е. время в выражения искомых вели­ чин не входит. Поэтому при установившемся движении начальные условия отсутствуют, так как если бы они были заданы, то тече­ ние стало бы полностью известным в любой момент времени и интегрировать систему не было бы нужды.

3. Граничные условия. Под заданными граничными условиями мы понимаем следующее: во-первых, нам известна геометрическая конфигурация системы, т. е. форма изучаемого потока; во-вторых, на границах потока все искомые величины принимают определен-

верхность (например, величиной атмосферного давления). Направления этих напряжений, разумеется, противоположны.

Если жидкость баротропна, но сжимаема, и пас не интересуют вопросы теплообмена, то на границах должно быть известно зна­ чение также плотности, а при решении полной задачи еще и тем­ пературы. В случае бароклинности при отыскании любой характе­ ристики, наряду со скоростью и давлением, задаются одновремен­ но и плотность и температура.

Таким образом, если записаны уравнения и заданы вышеозна­ ченные ограничительные условия, задача сформулирована пол­ ностью. При этом не следует полагать, что всегда используются полные, уравнения *. В каждом конкретном случае уравнения упро­ щаются и подвергаются модификациям, которые приближают ма­ тематическую модель к реальному физическому процессу. На этом обстоятельстве мы остановимся подробно после того, как дадим ряд простейших примеров интегрирования уравнений.

§3. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ

Внижеследующих примерах мы будем ставить своей задачей отыскание поля скорости при следующих упрощающих предпосыл­ ках:

а) течение является плоским и ось .v направлена по линии дви­ жения. Таким образом,

Щ,= гд= 0, У =0, vx= vx (t, х, г), p — p[t, .v, z ) ;

б) процесс установившийся так, что

dvx

~яГ= °, = f.v(Т х) , р = р (х, z) ■

is) жидкость несжимаема и с учетом равенства v,, = Vz= 0 урав­ нение неразрывности сводится к виду

dvx

* Следует помнить, что при выводе самих уравнений использовались гипо­ тезы (см. гл. 8 § 1), и поэтому их применимость ограничена пределами спра­ ведливости этих аксиом.

С л е д о в а т е л ь н о , д л я р а с с м а т р и в а е м ы х с л у ч а е в у р а в н е н и я ( 1 0 . 6 ) , ( 1 0 . 7 ) , (10 .8) у п р о щ а ю т с я и с и с т е м а п р и н и м а е т вид :

Причем

vx= vx(z), р = р(х, г).

1. Движение жидкости между двумя параллельными пласти­ нами. Рассмотрим течение между двумя горизонтальными пласти­ нами, отстоящими друг от друга па расстоянии 2Л. Начало коор­ динат поместим в центре так. чтобы ось z была направлена против силы тяжести я (рис. 10.1).

Других массовых сил не имеется, так что А' = 0, Z — —g. Тогда исходные уравнения примут вид:

дЕ — ?ё■ дг

116

( С < 0, так как движение всегда происходит от области более вы­ сокого давления в сторону более низкого). Таким образом, полу­ чаем

d-vx _ 1 др

(10.14)

dzдх

Интегрируя это уравнение, получим

Произвольные постоянные легко найти из граничных условий, которые сводятся к равенству нулю скоростей на стенках (усло­ вие прилипания), так что

^ —0. Движение существует за счет того, что жидкость увлекает­

ся движущейся пластиной. При этом вместо (10.14) будем иметь d2v

UА." = ■ 0 -

117

граничные условия, а первое, естественно, является кинематиче­ ским.

Проинтегрировав второе из написанных выше уравнений, полу­ чим распределение давления в движущейся массе

р — С - - р£Г cos а ■z.

Поскольку при z = h р = ро, то С= /?о+рй cos ci• // и окончательно

P = Pa+pg{h -- г) cos а.

Условия (10.17) н (10.19) дают возможность определить про­ извольные постоянные С\ п Со, так что в итоге будем иметь

pgsin a-z(2h—z)

Да

Расход на единицу ширины потока

119