книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

в котором произведем замену: ах = о, ии = v„ = 0, vz — 0. Заме­ ним, что хотя в начале координат vr. = 0, по производные от v„, вообще говоря, нулю не равны. Так,

11-

Величина -^- представляет собой конвективную производную от

нормальной составляющей скорости, обусловленную поворотом вектора скорости при смещении вдоль.линии тока и называемую, как известно, центростремительным ускорением.

ГЛАВА Г

ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ

§ 1. ПОНЯТИЕ И ФИЗИЧЕСКИЙ смысл ц и р к у л я ц и и

СКОРОСТИ

1 . Циркуляция вектора скорости. Пусть в поле вектора

а— {х, у, г} проведена замкнутая кривая /, не пересекающая саму себя и не содержащая особых точек. Будем называть ее конту-

ром /, если дополнительно задано направление обхода, т. е. ориен­

тация кривой. В каждой точке контура определен вектор а и, еле-

->

довательно, его проекция на /.

Циркуляцией вектора по контуру называется криволинейный

интеграл от проекции вектора на контур, т. е. ф afiL Он считается

/

положительным, если направление интегрирования совпадает с ориентацией контура, п отрицательным, если контур ориентиро­ ван противоположно. (Напомним, что положительная ориентация соответствует случаю, когда внешняя нормаль при обходе остав­

61

2. Примеры определения Г. Чтобы нагляднее помять смысл Г можно представить себе, что с контуром совпадает лента, на ко­ торой имеется большое число лопастей (рис. 5.1). Если циркуля­ ция скорости положительна, то лопасти будут двигаться в на­ правлении ориентации контура, причем скорость перемещения ше Г; если же она отрицательна, то лопасти будут двигаться в на­

правлении, противоположном ориентации контура.

П р и м е р 1. Поток представ­ ляет собой вихрь с радиусом ядра г0 и угловой скоростью

вращения жидкости в ядре а, причем вращение происходит против часовой стрелки (рис. 5.2).

Найдем циркуляцию скорости по контуру ABCDA, лежащему внутри ядра и ограниченному двумя дугами AD п ВС, радиусы ко­ торых Г1< г 2< г 0, и отрезками АВ и DC радиусов, угол между ко­ торыми равен а. Направление обхода контура полагаем про­ тивоположным движению часовой

стрелки.

(32

Если изменить ориентацию контура, т. е. производить обход в направлении движения часовой стрелки, то циркуляция изменит

.так, сохранив свою абсолютную величину.

П р и м е р 2. Найдем в том же потоке циркуляцию скорости но

Пр и м е р 3. Найдем в том же потоке циркуляцию скорости но контуру /, представляющему собой окружность радиуса г5, охва­

6o

поскольку на участках ВС п DA v, = 0, а на участке CD V, — —kyD .

Таким образом,

фv,dl = kt]ЛАВ—kyDCD = km ( у , — yD) = kmn.

iЛ ВСDA)

Если известно распределение скорости по контуру, то цирку­ ляция скорости по этому контуру определяется однозначным образом. Однако обратное не имеет места: знание величины цир­ куляции по данному контуру не позволяет однозначно судить о распределении скорости вдоль контура. Так, в последнем при­ мере величина циркуляции ктп будет получаться п в том случае,

когда на фигурирующее там поле скорости будет наложен общин

> > ->

перенос со скоростью Vo- Тогда скорость станет равной у+ оо н

поскольку циркуляция постоянного вектора и0, как легко видеть, равна нулю. На рис. 5.-1 показаны различные поля скорости, при которых циркуляция скорости по контуру ABCDА имеет одно и то

же значение kmn. Под каждым чертежом указан вектор v0, при­ бавление которого к скоростям примера 4 дает показанные на чертеже скорости.

Т

и' ip

v 0 = o

Рис. 5.1

В частности, из того факта, что циркуляция по данному кон­ туру имеет положительный знак, вовсе не следует, что векторы скорости во всех точках контура ориентированы в направлении обхода контура или имеют слагающую в этом направлении.

3. Циркуляция в плоском движении. В приведенных выше пр мерах рассматривалась циркуляция скорости в ряде конкретных случаев плоско-параллельного движения, причем брались контуры, лежащие в плоскости движения. Установим важное для дальней­ шего свойство циркуляции при плоском движении: в случае плоско-параллельного движения циркуляция скорости по любому

04

этой поверхности вектор у определен п непрерывен вместе со своими частными производными, то справедлива теорема Стокса (см. сноску на стр. -14), которую мы перефразируем по отношению

к скорости. Именно: циркуляции скорости по контуру / равна по­ току ротора скорости через поверхность, натянутую на этот кон­ тур, т. е.

При этом ориентация нормалей к поверхности связана с. ориента­

Для того, чтобы дать физическое истолкование связи между циркуляцией и потоком вихря, рассмотрим произвольную поверх­ ность ст, ограниченную контуром /. Разобьем эту поверхность на малые площадки Дсг, ограниченные элементарными контурами г//, которые мы будем считать ориентированными так же, как и кон­ тур /. В этом случае

где с1Г — циркуляция по контуру, ограничивающему площадку da.

Действительно, как видно из рис. 5.6, линейные интегралы по общим участкам соседних контуров будут иметь одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки. Поэтому при суммировании циркуляции по всем элементарным контурам в ре-

66

зультате останутся лишь линейные интегралы по участкам, лежа­

щим на контуре /, сумма которых дает (f>v,dl=Г. (О

Таким образом можно констатировать, что наличие циркуляции обусловлено завихренностью жидкости или, иначе говоря, враще­ нием жидкости в каждой точке

Легко видеть, что этой же величине будет равна циркуляция по любому контуру, охватывающему ядро вихря.

Наконец, в примере 4 ротор скорости направлен в глубь чер­ тежа и по модулю равен /г. Поэтому

(ABCDA) (i)

Как видно, с помощью теоремы Стокса мы пришли к тем же результатам, что и при непосредственном вычислении циркуляции скорости.

2. Интенсивность вихревой трубки. Прежде всего, определим интенсивность вихревой трубки как величину потока вихря, про­ ходящего через какое-либо ее сечение и далее выявим ее основное

свойство. Для этого рассмотрим объем т, заключенный внутри вихревой трубки и ограниченный двумя произвольно выбранными основаниями а, и о2 (см. рис. 5. 7). В соответствии с формулой (3.2), можно записать

ция непрерывна п дифференцируема, что мы предполагаем, то это

В этом равенстве перед первым интегралом взят знак минус, ибо мы считаем, что поток втекает через r>i, т. е. направлен про­

ний, вошедших через одно сечение, равно количеству пошедших

после подстановки в него значений проекций ротора (2.11).

68

Поскольку циркуляции по любому контуру, охватывающему

Следовательно циркуляция по любому контуру, охватываю­ щему вихревую трубку, равна одной п той же величине. Это означает, например, что если в сосуде с небольшим отверстием жидкость, в силу каких-либо причин, начала вращаться, то при истечении она будет резко закручиваться. (Стенки сосуда можно трактовать как вихревую поверхность).

§ 3. УСКОРЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ (1 ТЕОРЕМА ТОМПСОНА)

Будем называть жидким контуром непрерывный ряд одних и тех же частиц жидкости, образующих замкнутую линию, на кото­ рой задано направление обхода (ориентация). Во время переме­ щения эта линия деформируется, растягивается или укорачивает­ ся, по можно показать, что в непрерывном скоростном поле она все время остается замкнутой. Приращение тех пли иных величин при элементарном перемещении вдоль контура, положение кото­ рого в некоторый момент зафиксировано, будем обозначать бук­ вой 6. В соответствии с этим циркуляция скорости по контуру в данный момент времени определяется выражением

щ

При движении жидкости циркуляция скорости но данному жидкому контуру будет меняться. Это будет происходить как за счет изменения каждого элемента б/ длины контура, его растя­ жения пли укорачивания, так и за счет изменения щ. поскольку

меняется модуль вектора v и наклон вектора по отношению к эле­ менту контура. Это видно из рис. 5.8, где показано положение контура в два последовательных момента времени t\ и U .

Субстанциональная производная

(5.10)

69