книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

При этих условиях углы будут удовлетворять следующим соот­ ношениям:

ю

Т Лл

а угловая скорость поворота

Д§, dv,,

Дt дх

Таким образом угловая скорость поворота отрезка, параллель­ ного Ох, в направлении от Ох к Оу определяется производной

dv,,

. Движение отрезка АС в направлении оси Ох может при­

вести к растяжению пли сжатию отрезка, но вклада в поворот отрезка около точки А не внесет. Точно так же не вызовет доба­ вочного поворота в плоскости хОу и движение отрезка в направле­ нии оси Oz (хотя оно и может вызвать поворот в плоскости xOz).

Подобным же образом нетрудно показать, что жидкий отрезок, параллельный оси Оу, поворачивается в плоскости хОу в направ-

d v x

лении от Оу к Ох с угловой скоростью ^ ■•

В результате этих рассуждений мы имеем:

Следовательно, получаем

Таким образом 0з есть величина перекоса прямого угла в ре­ зультате поворота отрезков навстречу друг другу с угловой ско­ ростью.

41

2. Расход жидкости. Поставим себе задачей установить физ ческий смысл потока вектора скорости через заданную поверх­ ность о:

Q— | vnda,

Ь)

Для этого представим себе сначала, что поверхность о является неподвижной «контрольной» поверхностью, через которую жидкость способна свободно протекать. Легко видеть, (рис. 3.2), что через площадку da за единицу времени' проходит объем

жидкости, заключенный в цилиндре с основанием da и образую­

щей V. Величина объема равна vnda. В силу этого vnda соответ­ ствует объему жидкости, протекающей через da, взятому со зна­ ком «+», если жидкость течет в сторону нормали, н со знаком «—», если жидкость течет в противоположном направлении. Интеграл

| vnda равен разности между объемом жидкости, протекающей

(з)

в сторону, куда направлены нормали, и объемом жидкости, проте­ кающей в противоположном направлении. Таким образом, поток скорости через поверхность представляет собой объемный расход, т. е. объем жидкости, протекающей через эту поверхность (счита­ ющуюся неподвижной) за единицу временц. Равенство потока нулю при наличии движения возможно лишь в том случае, когда объем жидкости, протекающей в сторону, куда направлены нор­ мали, равен объему жидкости, протекающему «внутрь» поверх­ ности.

Поток скорости через замкнутую поверхность Q— С\)unda (нор-

С

малп к которой, как указывалось, направлены вовне) выражает собой общий обьем жидкости, вытекающей за пределы простран­ ства, ограниченного поверхностью (или, наоборот, остающийся в нем), за единицу времени. Очевидно, что в случае несжимаемой

43

жидкости объем жидкости, текущей внутрь поверхности, должен быть равен объему жидкости вытекающей, так как только при этом условии плотность жидкости, заключенной внутри поверхности, может оставаться неизменной (объемный расход равен нулю). Не­ равенство нулю потока скорости через замкнутую поверхность возможно лишь в случае сжимаемой жидкости.

дает массовый расход т. е. массу, проносимую потоком через поверхность а за единицу времени. В случае замкнутой поверхности:

/VI = ф p v ndcst и м ы п о л у ч а е м м а с с у , в ы х о д я щ у ю ( в х о д я щ у ю ) и з

Объема, также за единичный интервал времени. Ясно, что в слу­ чае несжимаемой жидкости накопление массы в объеме т не имеет места.

§ 2. Д И В Е Р Г Е Н Ц И Я С К О РО С Т И

1. Физический смысл дивергенции скорости. В курсах матема-

тпческого анализа* дивергенция вектора а— {ах, а„, ог) опреде­ ляется как

или, через посредство оператора Гамильтона, как скалярное про­ изведение:

(I iVci— (V -а).

Там же выводится формула связи между потоком вектора и его дивергенцией (формула Гаусса-Остроградского):

ф a „ d a = \ div a dr,

где т — объем, ограниченный поверхностью о. Поэтому для вектора скорости следует записать:

* См., например, Смирнов В. И. «Курс высшей математики», т. II. ГИФМЛ,

М., 1958.

44

Последнее выражение расшифровывается следующим образом:

Таким образом, дивергенция скорости равна относительному изменению объема фиксированной частицы жидкости в единицу времени. Или, иначе говоря, она представляет собой разность входящих в единичный объем и выходящих из него потоков жидкости за единицу времени.

Все сказанное выше может быть перефразировано и по отно- ->

шенпю к секундной массе pv, для которой выражение для дивер­ генции должно иметь вид

15

2. Запись плоской дивергенции в натуральных координатах.

Дивергенцию двухмерного движения ciivui будем называть пло­ ской. Для горизонтального движения (параллельно хОу) она за­ пишется как

d v d v .

div сг

дх dv

Запишем ее в натуральных координатах, направив, как и ранее, ось Ох (/) вдоль горизонтальной линии тока, а ось Оу (п) по нормали к ней влево от направ­ ления движения. Тогда имеем

(рис. 3.3).

ращению модуля скорости при смещении вдоль линии тока на единицу длины, называется ди­ вергенцией модуля. Она является величиной положительной, если модуль скорости в направлении движения растет, и величиной

отрицательной, если модуль скорости в направлении движения

дп

(в радианах) вектора скорости при смещении по нормали к линии

п

гока па единицу длины. Величина v —— представляет сооои часть

дп

дивергенции, обусловленную непараллельностью линий тока, раз­ личием их направления; поэтому ее часто называют дивергенцией направления. Она является величиной положительной, если

дЬ

—> 0, т. е. лнинн тока в направлении движения расходятся, и

дп

величиной отрицательном, если д'? < 0, т. е. линии тока сходятся.

дп

В виде иллюстрации приведем примеры дивергенции модуля и дивергенции направления различных знаков (рис. 3 .4).

46

При горизонтальном движении, пользуясь натуральными коор­ динатами, будем иметь

Из последнего соотношения следует, что в случае плоско-па­ раллельного движения несжимаемой жидкости положительная дивергенция направления (расхождение линий тока в направле­ нии движения) сопровождается отрицательной дивергенцией мо­ дуля, т. е. убыванием модуля скорости вдоль линий тока (рис. 3.5, а). Напротив, при сближении линий тока в направлении движения имеет место возрастание скорости (рис. 3.5,6).

Остановимся на вопросе об оценке знака и величины скорости вертикальных движений в атмосфере. При грубых оценках воздух можно рассматривать как жидкость несжимаемую, т. с. можно

пользоваться равенством divo = ().

Если направить ось Oz по вертикали вверх, го поток можно представить в форме

,d v 2

ческих картах) сопровождается уменьшением вертикальной со­

48

Полагая начало координат находящимся на земной поверх­ ности и интегрируя последнее равенство от нуля до некоторой вы­

соты /г, имеем

Л

обусловлено действием сил трения. Этому соответствует v,(h) <сО,

Рис. 3.7

Приведем несколько примеров грубой оценки порядка вели­ чины иг.

Пр и м е р 1. В области антициклона с круговыми изобарами радиальная составляющая скорости на расстоянии г=500 км от центра в среднем равна 1 м/сек до высоты h — 1 км. Оценим сред­

нее значение скорости нисходящих движений на высоте 1 км.

—>

Определим сНущ , для чего достаточно объем воздуха, проте­ кающего в единицу времени через боковую поверхность цилиндра с радиусом основания г и высотой Л, разделить на объем этого цилиндра: