Учебник

6. Скалярное произведение векторов

произведение параллельных векторов. Значит, в силу определения (6.4), они содержат произведения координат соответствующих векторов.

UE = 81π DE ≡ 81π DE è UM = 81π BH ≡ 81π BH.

Определение (6.4) наглядно демонстрирует полезность скалярного произведения при переводе геометрии на алгебраический язык. Так как любой вектор параллелен сам себе, то произведение любого вектора на себя дает квадрат длины этого вектора:

a a = (a1 ) (a1) = a1 a1 = a1 2 .

Таким образом, мы получаем алгебраическое выражение для длины любого вектора:

a = a a.

Произведение параллельных векторов поможет нам ввести понятие скалярного произведения произвольных векторов. Этому вопросу будет посвящен следующий подраздел.

6.3. Определение скалярного произведения

Дадим два определения скалярного произведения. Первое использует понятие угла между ненулевыми векторами.

Определение 16 а

Скалярным произведением двух векторов a è b называется величина

a b = ab cos( (a,b)).

Если среди векторов a, b есть нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Во втором определении воспользуемся понятием ортогональных проекций.

83

I. Векторная алгебра

В остальных случаях скалярным произведением двух

проекцию вектора d на ненулевой вектор c.

Особенностью этого определения является то, что оно сводит скалярное произведение произвольных векторов к произведению параллельных векторов. А скалярное произведение параллельных векторов, в свою очередь, определяется как произведение обычных чисел, являющиеся координатами этих векторов в одномерном пространстве, к которому эти векторы принадлежат. Поэтому можно предложить еще одно определение скалярного произведения.

Определение 16в

Åñëè a = (a1) || b = (b1 ), ãäå a1 , b1 — координаты этих векторов, то

a b = a1b1,

В остальных случаях скалярным произведением двух

проекцию вектора d на ненулевой вектор c .

84

6. Скалярное произведение векторов

Это определение, с одной стороны, позволяет свести скалярное произведение векторов к привычному произведению обычных чисел, а с другой, помогает привести лаконичное доказательство некоторых свойств скалярного произведения, в частности — его распределительного свойства.

Из определений видно, что скалярное произведение содержит информацию, как о длинах, так и о направлениях векторов. Так, если векторы направлены перпендикулярно друг другу, то их скалярное произведение равно нулю. Знак скалярного произведения говорит о том, какой угол между векторами — острый (тогда a b > 0) или тупой ( a b < 0). Если один из векторов равен нулю, то скалярное произведение также равно нулю. Выпишем отдельно частные значения скалярного произведения.

Частные значения скалярного произведения

1. a b = 0 (a,b) = 90°, åñëè a ≠ 0 è b ≠ 0.

2.a b > 0 (a,b) < 90° — острый угол.

3.a b < 0 (a,b) > 90° — тупой угол.

4.a = 0 èëè b = 0 a b = 0.

6.4. Свойства скалярного произведения

Для того чтобы скалярное произведение векторов помогло нам при решении задач, необходимо перечислить и освоить его основные свойства:

Основные свойства скалярного произведения

1. Коммутативность (переместительное свойство):

a b = b a.

85

I.Векторная алгебра

2.Ассоциативность (сочетательное свойство):

λ(a b) = (λa) b.

3.Положительная (неотрицательная) определенность:

a a = a 2 ≥ 0, причем a 2 = 0 a = 0.

4. Дистрибутивность (распределительное свойство):

a (b +c) = a b +a c.

Для обычных векторов, которые мы можем представить как направленные отрезки, эти свойства имеют наглядный смысл. Для более сложных векторных пространств, таких как, например, трехмерное цветовое пространство или бесконечномерное пространство волновых функций в квантовой механике, эти свойства уже вводятся как аксиомы, характеризующие свойства конкретного пространства. Поэтому аналитическая геометрия служит мощным подспорьем для придания наглядности сложным абстрактным понятиям, которые вводятся в последующих математических и физических курсах.

Коммутативность (переместительное свойство) и ассоциативность (сочетательное свойство) могут быть доказаны элементарно, исходя из определения скалярного произведения.

Дистрибутивность скалярного произведения не сложно доказать. Однако простота этого доказательства зачастую приводит к тому, что основная идея рассуждений ускользает от внимания, и доказательство оказывается неверным.

Доказательство дистрибутивности скалярного произведения векторов (1)

1. Возьмем три ненулевых вектора a, b, c, сумму b +c и от заданной точки O отложим поочередно направленные отрезки, соответствующие этим векторам:

86

6. Скалярное произведение векторов

Проекции векторов b, c, b +c на вектор a можно выразить

Ðèñ. 6.3. К доказательству дистрибутивности скалярного произведения

2. Исходя из теоремы 10, проекция суммы равна сумме проекций, следовательно:

3. Теперь рассмотрим отдельно правую и левую часть соотношения, которое требуется доказать:

87

I. Векторная алгебра

Исходя из определения скалярного произведения, для левой части этого соотношения имеем:

Последнее преобразование справедливо вследствие ассоциативного свойства скалярного произведения. Для правой части соотношения (ДС 6) аналогично получаем:

a b +a c = a Prab +a Prac = a (βa) +a (γ a) = βa2 +γ a2. (ÄÑ 9)

Приведенное доказательство все-таки довольно громоздкое, поэтому и студенты, и преподаватели пытаются упростить его, упуская при этом детали, без которых доказательство становится неверным. Здесь мы приведем еще одно доказательство, которое использует третье определение скалярного произведения.

Доказательство 2

По определению скалярного произведения

a (b +c) = a Pra (b +c), à a b +a c = a Prab +a Prac.

Справа в этих равенствах стоят скалярные произведения параллельных векторов. Их координаты в базисе с ортом ea = aa равны

Скалярные произведения этих параллельных векторов равны произведению их координат: a Pra (b +c) = a1 (b1 + c1 ), a b = a1b1 è a c = a1c1. Тогда распределительный закон скалярного произве-

88

6. Скалярное произведение векторов

Положительная, а точнее, неотрицательная определенность (свойство 3) позволяет находить длину вектора с помощью ска-

Это соотношение кажется совершенно бесполезным, так как при вычислении самого скалярного произведения мы уже использовали значение длины вектора, ведь a a = a 2 . Получается своеобразный замкнутый круг, когда мы длину вектора выражаем через его же длину. В то же время, если бы у нас был другой, независимый, метод вычисления скалярного произведения, то соотношение (6.5) приобрело бы важное значение для геометрии и даже могло бы быть использовано как определение длины. Такой метод может быть создан с помощью координатного представления векторов.

6.5. Скалярное произведение в декартовом базисе

Рассмотрим произведение двух векторов a è b, заданных своими разложениями в базисе (e1 ,e2 ,e3 ):

Вычислим скалярное произведение этих векторов, используя распределительное и сочетательное свойства:

a b = (a1e1 + a2e2 + a3e3 ) (b1e1 +b2e2 +b3e3 ) =

= a1b1e1 e1 + a1b2e1 e2 + a1b3e1 e3 +

89

I.Векторная алгебра

+a2b1e2 e1 + a2b2e2 e2 + a2b3e1 e3 +

Это громоздкое выражение может быть переписано с использованием знака суммы:

Мы видим, что скалярное произведение исходных векторов свелось к скалярному произведению векторов базиса. Значит, если задан базис, то достаточно раз и навсегда вычислить попарные произведения базисных векторов eiek , запомнить их, и тогда произведения любых векторов в этом пространстве находить че- рез координаты этих векторов с помощью формулы (6.6).

Особенно просто соотношение (6.6) выглядит в декартовом базисе, в котором базисные векторы перпендикулярны друг другу, а длины их равны единице. В этом случае скалярное произведение двух одинаковых ортов равно единице, а двух разных — равно нулю:

По этой причине в произведении (6.6) не равны нулю только слагаемые, у которых i = k, то есть слагаемые с одинаковыми индексами:

i=1

Соотношение (6.8) является тем искомым соотношением, которое позволит нам вычислять скалярное произведение, пользуясь координатами вектора. Это выражение в некотором смысле обобщает произведение обычных чисел, аналогию с которым мы рассматривали в подразделе 6.2. Более того, это соотношение дает возможность полностью отойти от геометрических свойств

90

6. Скалярное произведение векторов

векторов, таких как длины и углы, через которые определяется скалярное произведение. Выражение (6.8) настолько удобно, что

âдругих областях математики и физики, когда векторы изначально задаются набором координат и не имеют такого просто наглядного представления, как направленные отрезки, используется

âкачестве определения скалярного произведения.

Однако, здесь необходимо отметить, что векторы, как математические или физические объекты, существуют вне зависимости от того, задана или нет система координат, то есть заданы или нет его координаты. То есть вектор — это нечто большее, чем упорядоченный набор чисел. Мы уже говорили об этом, и еще не раз к этому вернемся. Но окончательно разобраться с этим вопросом мы сможем, изучая преобразования координат в последующих разделах.

Здесь же отметим, что скалярное произведение, согласно его определению, существует и без того, задана ли система координат и известны ли координаты векторов. Соотношение (6.8) является в нашем курсе всего лишь способом вычисления скалярного произведения. Хотя повторимся, что в других разделах науки исследователям зачастую приходится использовать выражения аналогичные (6.8) — в качестве определения.

Отметим, что далее в нашем курсе мы будем работать только в декартовых базисах.

6.6. Символ Кронекера

При переходе от выражения (6.6 а) к (6.6 б) мы использовали знак суммы и, безусловно, получили более лаконичное выражение. Однако, и дальнейшие преобразования можно записать в более простом и красивом виде. Давайте запишем соотношение (6.7) в компактном виде, введя для этого специальное обозначение:

91

I. Векторная алгебра

Этот символ называется символ Кронекера и он очень удобен при проведении различных вычислений. В частности, с помощью символа Кронекера можно компактно записать определение декартового базиса через скалярные произведения базисных векторов:

Такая запись свидетельствует о том, что базис — ортонормированный. То есть он одновременно является и ортогональным, òàê êàê ïðè i ≠ k произведение ei ek =δik = 0 (то есть разные векторы базиса ортогональны друг другу), и нормированным, òàê êàê ïðè i = k имеем ei ei =δii =1 (то есть длины базисных векторов равны единице).

Символ Кронекера полезен при работе со знаками суммирования. Предположим, что мы хотим вычислить сумму ∑ii==13 Aiδ i3 ,

по одному из индексов (например, первому), по которому ведется суммирование. Если мы распишем ее в явном виде, то получим

i=3

∑Aiδ i3 = A1δ13 + A2δ 23 + A3δ 33 = A3. i=1

Мы видим, что «выживает» только одно из слагаемых суммы, а именно слагаемое, индекс которого совпадает со вторым индексом символа Кронекера. Про это свойство символа Кронекера говорят, что он «убирает» знак суммы.

Правило применения символа Кронекера

Если под знаком суммы присутствует символ Кронекера, и по одному из его индексов ведется суммирование, то результатом суммирования является выражение под знаком суммы, в котором индекс суммирования заменяют на значение второго индекса символа Кронекера.

i=1

Если значение этого индекса не принадлежит области суммирования по первому индексу, то результат суммирования равен нулю.

92