Учебник

12.Уравнения плоскости и прямой в пространстве

12.5.Уравнения прямой в пространстве

Âразделе 11 мы договорились, что прямой мы будем называть множество точек с радиус-вектором, который определяется уравнением

rM = r0 +qt

Здесь r0 — радиус-вектор заданной точки, через которую проходит прямая, q — заданный направляющий вектор, а t — параметр, в нашем случае вещественное число, пробегающее значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Такое введение прямой универсально тем, что оно применимо для пространств с любой размерностью.

Используем это уравнение и для описания прямых в нашем обычном трехмерном пространстве.

векторное параметрическое уравне- 1. rM = r0 +qt — ние прямой в пространстве

Если нам заданы не направляющий вектор, а две несовпадающие точки на прямой, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор, соединяющий эти две точки. Тогда мы получим векторное парметрическое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

векторное параметрическое уравнение прямой в простран-

2. rM = r0 +(r1 −r0 )t — стве, проходящей через две точки.

Оба приведенных векторных параметрических уравнения можно записать в координатном виде.

Чтобы избавиться от параметра, можно выразить его из каждого из трех уравнений в этих системах и приравнять получен-

193

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

ные выражения между собой. В результате мы получим канони- ческое уравнение прямой.

Заметьте, что каноническое уравнение представляет собой не одно равенства, а по крайней мере два.

В координатном виде можно записать и векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если мы избавимся от параметра в этой системе уравнений, то получим уравнение прямой, содержащее лишь координаты двух точек.

Заметьте, что это уравнение, так же как и каноническое уравнение, представляет собой не одно равенство, а по крайней мере, два, то есть, представляет собой систему двух уравнений. Например:

и тому подобные системы. В этом нет ничего удивительного, потому что мы начинали с системы из òðåõ параметрических уравнений для каждой из координат, а затем исключили одну переменную — параметр. Естественно, у нас осталась система двух уравнений.

194

12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

Каждое из этих уравнений является уравнением первой степени, а так как степень полиномов при преобразованиях координат не изменяется, то в любой системе отсчета каждое из этих уравнений будет полиномом первой степени. Таким образом, координаты точек прямой в пространстве подчиняются системе двух линейных уравнений.

Так как каждое из уравнений системы определяет собой некоторую плоскость, то общее уравнение прямой в пространстве задает эту прямую как линию пересечения этих двух плоскостей. Нормальные векторы этих плоскостей N1 = ( A1 , B1 ,C1 ) è N2 = ( A2 , B2 ,C2 ), перпендикулярны и самой прямой, следовательно, направляющий вектор прямой может быть выбран в виде

q = N1 ×N2 .

Такой вектор существует только в случае, если нормали к плоскостям не параллельны, то есть, если сами плоскости не параллельны друг другу. В противном случае, вектор q = 0 и прямая (однозначно) не определена.

Такой результат полностью соответствует и алгебраическому решению системы. Дело в том, что, в случае параллельных плоскостей, когда N1 || N2 , коэффициенты в уравнениях пропорциональны друг другу:

A1 : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 ≡ k.

Следовательно, эта система вообще не имеет решения, когда плоскости параллельны и не совпадают, то есть D1 : D2 ≠ k, или решением являются сами эти плоскости (когда они совпадают),

òî åñòü D1 : D2 = k.

Аналогии между геометрическими образами и алгебраическими уравнениями мы обсудим в следующем разделе.

195

II.Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

Âзаключение раздела заметим, что и для прямой на плоскости, и для плоскости в пространстве существуют чисто векторные уравнения, не содержащие параметров

N(r −r0 ) = 0

èотражающие в векторном виде их геометрические свойства. Аналогичное уравнение можно использовать и для прямой в

пространстве. Для этого нужно учесть, что любой направленный отрезок, лежащий на прямой, параллелен направляющему вектору, а векторное произведение параллельных векторов равно нулю.

векторное уравнение прямой, задан- 8. (r −r0 ) ×q = 0 — ной точкой и направляющим

вектором.

векторное уравнение прямой, 9. (r −r0 ) ×(r1 −r0 ) = 0 — заданной двумя точками.

Оба эти уравнения можно вывести из любого из первых шести способов записи уравнения прямой.

196

12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

197

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

Запомните!

Нормаль к плоскости:

N = ( A, B,C).

Выражение нормального вектора через направляющие:

N = p ×q.

Отрезки, отсекаемые на осях:

a = − DA , b = − DB , c = − CD .

Абсолютное значение величины:

определяет расстояние от точки до прямой, а ее знак — их взаимное расположение.

198

13.ЗАДАЧИ НА ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Âэтом разделе учебника приведены лишь несколько связанных с прямыми и плоскостями задач, которые либо вызывают трудности при решении, либо допускают иные решения.

Задача 13.1. Определить проекцию точки на прямую на плоскости, расстояние от этой точки до прямой.

Решение

1. Радиус-вектор точки K — проекции заданной точки M на прямую, представим как разность

rK = rM + MK.

Но вектор MK — это проекция вектора ML на вектор нормали, где точка L — произвольная точка на прямой:

MK = PrN ML = MLN2 N N = (ML n) n = ((rL −rM ) n) n.

Предположим, что прямая задана своим векторным параметрическим уравнением r = r0 +qt. Тогда, учитывая, что нормальный вектор и направляющий ортогональны (qn =0), äëÿ MK получаем такое выражение:

MK = ((rL −rM ) n)n = ((r0 +qtL −rM ) n)n = ((r0 −rM ) n)n.

Тогда для rK получаем:

200

13. Задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей

Это соотношение решает поставленную задачу, если задана нормаль и точка, через которую проходит прямая, то есть, если задано векторное уравнение прямой.

2. Расстояние от точки M до прямой равно длине вектора

MK = rK −rM :

MK = ((r0 −rM ) n)n = ((r0 −rM ) n) n = (r0 −rM ) n .

Это выражение можно свести к нормированному уравнению прямой.

Аналогичная задача в пространстве позволяет получить более интересные решения, так как в пространстве мы воспользуемся понятием векторного произведения.

Задача 13.2. Определить проекцию точки на прямую в пространстве, расстояние от этой точки rM до прямой r = r0 +qt. Получить уравнение перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Решение

1. Пусть точка K является проекцией заданной точки M на прямую:

rK = rM + MK, причем MK q.

Тогда вектор MK является компонентом вектора rL −rM перпендикулярным q :

MK ≡ (rL −rM ) = q ×(rL 2−rM ) ×q, q

ãäå L — любая точка заданной прямой.

Так как точка L принадлежит прямой, то ее радиус-вектор

201

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности

2. Можно найти расстояние от точки до прямой чисто геометрическим методом. Давайте соединим точку M с любой точкой на прямой, например, с точкой L. Выберем на прямой другую точку, не совпадающую с L, например Q (Q ≠ L), и отложим от точки Q отрезок [QP], параллельный отрезку [LM ] так, чтобы точки M è P оказались в одной полуплоскости.

Площадь полученного параллелограмма будет равна величине векторного произведения LQ × LM , а высота, проведенная из точки M к основанию LQ, является искомым расстоянием от точки M до прямой. Высоту параллелограмма можно найти, разделив его площадь на длину основания, к которому проведена эта высота:

В это равенство подставим выражения для радиусов-векторов точек K è L, принадлежащих прямой:

èсразу получить искомый результат, совпадающий с (13.2.2).

3.Однако полное решение этой задачи требует, чтобы мы нашли еще и местоположение точки K — проекции точки M на заданную прямую. Эту задачу решим чуть по-другому.

202