Учебник

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. Направленные отрезки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1. Направленные отрезки и их равенство . . . . . . . . . . . 12 1.2. Сложение направленных отрезков . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Произведение направленных отрезков на число. Нулевой направленный отрезок . . . . . . . . . 17

1.4. Недостатки определений операций с направленными отрезками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Понятие вектора. Операции над векторами . . . . . . . 22 2.1. Определение вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Равенство векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Длина вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Сумма векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5. Умножение вектора на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. Направление вектора. Орт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7. Задача на применение понятия орта . . . . . . . . . . . . . 29 2.8. Свойства линейных операций над векторами . . . . . 30

3. Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1. Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Размерность пространства. Понятие базиса . . . . . . . 45 4.1. Размерность пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2. Базис пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3. Упорядочение базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4. Координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5. Проекция вектора. Ортогональные проекции . . . . . 51

5. Системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1. Определение системы координат. Радиус-вектор . . . 55

3

Содержание

5.2. Декартов базис. Прямоугольные системы координат. Декартова система координат . . . . . . . . . 58

5.3. Полярная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3. Цилиндрическая система координат . . . . . . . . . . . . . 65 5.4. Сферическая система координат. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5. Базисы и системы отсчета различной ориентации. . 69 5.7. Типичные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.1. Угол между векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2. Произведение векторов

в одномерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3. Определение скалярного произведения . . . . . . . . . . . 83 6.4. Свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . 85 6.5. Скалярное произведение в декартовом базисе . . . . . 89 6.6. Символ Кронекера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.7. Длина вектора. Угол между векторами.

Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.8. Определение проекции одного вектора на другой. . 97 6.9. Сведения о скалярном произведении. . . . . . . . . . . . . 98

7. Векторное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.1. Понятие векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2. Определение векторного произведения . . . . . . . . . . 102 7.3. Свойства векторного произведения. . . . . . . . . . . . . . 104 7.4. Векторное произведение в декартовом базисе.

Тензор Леви-Чивита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.5. Векторное произведение в декартовом базисе.

Двумерные и трехмерные определители . . . . . . . . . 111 7.6. Сведения о векторном произведении . . . . . . . . . . . . 115

8. Смешанное и двойное векторное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

8.1. Определение смешанного произведения . . . . . . . . . 117 8.2. Свойства смешанного произведения . . . . . . . . . . . . 120 8.3. Смешанное произведение в декартовом базисе . . . 124 8.4. Примеры применения смешанного

произведения при решении задач . . . . . . . . . . . . . . 125 8.4. Двойное векторное произведение векторов . . . . . . 128 8.5. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9. Преобразования Системы координат . . . . . . . . . . . . 140 9.1. Вектор и точка в различных системах отсчета . . . . 141

4

Содержание

9.2. Связь между координатами точки в различных системах координат . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.3. Преобразования координат в пространстве . . . . . . 147 9.4. Преобразования векторов.

Новое определение вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.5.Преобразования координат при переходе в систему отсчета с другой ориентацией.

Собственные и несобственные преобразования . . . 151 9.6. Полярные и аксиальные векторы. Псевдоскаляры. 154

10. Трехмерная природа цвета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

II. Прямые и плоскости. Кривые и поверхности. . . . . . . 171

11. Прямые на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.1. Прямая и одномерное множество точек . . . . . . . . 172 11.2. Общее уравнение прямой на плоскости . . . . . . . . 175 11.3. Другие виды уравнения прямой . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.4. Взаимное расположение точки и прямой.

Нормальное уравнение прямой. . . . . . . . . . . . . . . . 180

12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. 185 12.1. Параметрическое задание плоскости . . . . . . . . . . . 185 12.2. Общее уравнение плоскости.

Уравнение в отрезках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 12.3. Векторные уравнения плоскости . . . . . . . . . . . . . . 189 12.4. Взаимное расположение точки и плоскости.

Нормированное уравнение плоскости . . . . . . . . . . 191 12.5. Уравнения прямой в пространстве . . . . . . . . . . . . 193

13. Задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

14. Кривые и поверхности в аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.1. Уравнение кривой и поверхности . . . . . . . . . . . . . . 215 14.2. Алгебраические кривые и поверхности . . . . . . . . . 222 14.3. Поверхности, составленные

из прямых. Цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.4. Поверхности, составленные из прямых.

Конусы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 14.5. Поверхности, составленные из окружностей.

Поверхности вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 14.6. Краткие сведения о кривых и поверхностях. . . . . 236

5

Содержание

III. Кривые и поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . 237

15. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 15.1. Определение и каноническое

уравнение параболы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 15.2. Свойства параболы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 16. Эллипс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 16.1. Каноническое уравнение эллипса . . . . . . . . . . . . . . 243 16.2. Основные свойства эллипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 16.3. Эллипс и окружность. Эксцентриситет эллипса . . 248

16.4. Определение эллипса с помощью директрисы и эксцентриситета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

17. Гипербола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 17.1. Каноническое уравнение гиперболы . . . . . . . . . . . . 254 17.2. Основные свойства гиперболы . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 17.3. Определение гиперболы

с помощью директрисы и эксцентриситета. . . . . . 260

18. Общие свойства эллипса, параболы и гиперболы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

18.1. Полярное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 18.2. Уравнение при вершине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 18.3. Оптические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 18.4. Конические сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

19. Кривые второго порядка.

Приведенные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 19.1. Общее уравнение кривых второго порядка . . . . . . 279

19.2.«Стандартное» упрощение уравнения кривой второго порядка. Поворот системы

координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 19.3. Понятие об инвариантах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 19.4. Параллельный перенос.

Кривые центрального типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 19.5. Параллельный перенос.

Кривые параболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 19.6. Центр кривой второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . 289

20. Кривые второго порядка.

Инварианты и типы кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 20.1. Инварианты кривых второго порядка . . . . . . . . . . 292 20.2. Классификация кривых второго порядка

с помощью инвариантов. Типы кривых. . . . . . . . . 299 20.3. Кривые гиперболического типа . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6

Введение

Курс аналитической геометрии входит в цикл фундаментальных дисциплин, изучение которых является обязательным для студентов прикладных физико-математических специальностей. В связи с этим основную цель данного учебного пособия автор видел не только в глубоком ознакомлении студентов с собственно аналитической геометрией, но и в подготовке их к дальнейшему использованию основных понятий и принципов этой науки — понятия векторов и векторных пространств, метода координат, преобразований систем координат, свойств кривых и поверхностей первого и второго порядка — в других физических и математических курсах.

Поэтому в курс добавлены разделы, не являющиеся разделами собственно аналитической геометрии и постоянно проводится мысль о важности и широкой применимости задач аналитического геометрии при решении целого ряда сугубо практических задач. Особенно роль геометрии возросла в последние годы с приходом цифровых технологий. Моделирование и создание трехмерных изображений, симуляторов, игр, а также цифрового кино требует решения многочисленных чисто геометрических задач, которые тоже нашли отражение в учебнике. Автор постоянно стремится показать, что геометрия должна рассматриваться, как одна из основополагающих наук в познании мира, поскольку многие математические и физические понятии «родом» из геометрии и могут быть поняты и представлены визуально только в таких простых пространствах, как двумерные плоскости или наше обычное трехмерное пространство. Многомерные векторные

8

1. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ

1.1. Направленные отрезки и их равенство

Одним из основных понятий геометрии является понятие отрезка — множества точек прямой, содержащего данные точки A è B [ AB], а также точки этой прямой, находящиеся между ними. Концы отрезка — точки A è B — абсолютно равноправны. Поэтому любую из этих точек можно выбрать в качестве первой, а, значит, отрезки [ AB] è [BA], как множества точек, совпадают:

Однако, в различных приложениях геометрии возникает необходимость определять, какой из концов отрезка является первым, а какой — вторым. Такие отрезки, у которых есть начало и конец, обладают не только определенной длиной, но и задают некоторое направление. Такие отрезки называются направленными. При обозначении направленных отрезков первой обозначают точку — начало отрезка, а второй — точку, являющуюся концом отрезка. Так, например, направленный отрезок AB начинается в точке A и заканчивается в точке B. Отсюда следует главное отличие обычных отрезков от направленных отрезков — это зависимость от порядка точек: направленный отрезок AB не равен направленному отрезку BA:

12