Учебник

10. Трехмерная природа цвета

машинной графике отображают так называемые черно-белые рисунки или фотографии. Правильнее такие серые цвета в системе со сложением называть разбелами черного цвета, так как они получа- ются из черного с добавлением белого цвета. Такое добавление выглядит точно так же, как суммирование векторов и их координат:

Аналогичным образом получаются разбелы любого цвета. При этом к исходному цвету прибавляем белый с каким-то коэффициентом. Например, из пурпурного (magenta) magenta = a(1,0,1) можно получить розовый (pink) цвет, если к нему добавить белый:

pink = magenta + Nb white = a(1,0,1) +b(1,1,1) = (a +b,b, a +b). (10.7)

Здесь числа a è b определяют количества пурпурного и белого в смеси. В зависимости от их относительного значения можно получать розовый цвет разных тонов. Если к этому цвету еще добавлять красный и уменьшать количество синего, то мы из розового постепенно получим оранжево-розовый цвет, а в конце концов — чистый оранжевый цвет как смесь красного и желтого:

orange = c red + d yellow = c(1,0,0) + d(1,1,0) = (c + d, d,0). (10.8)

Такую же богатую гамму цветов можно получить, если смешивать между собой синий и зеленый в разных пропорциях:

При непрерывном изменении относительного количества этих цветов мы получим большое цветовое многообразие — от цвета морской волны до бирюзового.

Однако, все эти преобразования для большинства людей не являются наглядными, а порой кажутся неправильными. Например, если мы смешаем желтый и синий цвета в одинаковых пропорциях

163

I. Векторная алгебра

то мы получим белый цвет. В то же время многие из нас знают, что смешение желтого и синего дает зеленый.

Все дело в том, что мы сейчас обсуждали смешение световых потоков, а в обыденной жизни мы чаще имеем место со смешиванием красок. Поэтому людям проще представлять себе смеси цветов как смеси красок.

Ðèñ. 10.2. Сложение красок

Здесь мы в очередной раз сталкиваемся с тем, что одна система координат, удобная, например, для вычислений, является при этом очень неудобной для наглядного представления об изучаемой системе. Так, для хранения цветных изображений в компьютере, для их обработки и показе на мониторе пользуются RGB-систе- мой, а для отображения на бумаге такая система оказалась не просто неудобной, а вообще неприменимой. Поэтому в цветовом пространстве, как и в различных математических и физических пространствах, вводят другие системы координат.

Одной их таких систем в цветовом пространстве является система красок. Эта система основана на том, что если рассматривать непрозрачные цветные изображения, например напечатанные на бумаге фотографии или цветные плакаты, то здесь краску нужного цвета можно получить, смешивая краски трех основных цветов: голубого, пурпурного и желтого. Дело в том, что цветом краски является цвет светового потока, отраженного от покрашенной поверхности, если на нее падает световой поток чистого

164

10. Трехмерная природа цвета

белого цвета. То есть краска поглощает из падающего потока определенный цвет, отражая оставшиеся цвета. Поэтому такая система называется системой с вычитанием.

На рис.10.2 показан пример с желтой краской. Желтая краска — это краска, которая при освещении белым цветом поглощает световой поток синего цвета, а отражает красный и зеленый, которые воспринимаются человеком как желтый цвет. Если мы теперь добавим голубую краску, которая поглощает световой поток красного цвета, то смесь желтой и голубой краски поглотит соответственно синий и красный световой потоки, и в итоге от покрашенного листа бумаги отразится световой поток, как и ожидалось, зеленого цвета. Для запоминания таких цветовых преобразований были введены так называемые таблицы смешения цветов и понятия дополнительных цветов.

Ðèñ. 10.3. Смешение цветов. Дополнительные цвета

Дополнительными называются цвета, смесь которых дает белый цвет. В таблице смешения цветов дополнительные цвета находятся друг напротив друга. Если мы будем смешивать краски, имеющие дополнительные цвета, то мы получим черную краску.

Но гораздо проще все эти смешения красок выглядят на математическом языке. Для этого достаточно ввести новую систему координат в цветовом пространстве. В этой системе координатами

165

I. Векторная алгебра

точки (цвета) будет количество той или иной краски, необходимое для создания данного цвета. В качестве основных красок выбирают голубую краску (cyan), оттенок пурпурной краски (magenta), и желтую (yellow) краски. Поэтому эта система называется CMY-системой.

Чтобы отличать описания в старой системе от новой системы, давайте координаты в новой системе отсчета обозначим большими буквами и заключим их в фигурные скобки:

colour = Ac cyan + Am magenta + Ay yellow ={Ac , Am , Ay}. (10.11)

Если на лист белой бумаги не нанесено никакой краски, что, естественно соответствует белому цвету, то в системе отсчета CMY эта точка будет иметь координаты (0,0,0). Поэтому ее выбирают в качестве начала отсчета в новой системе отсчета. Зна- чит, нам для перехода в эту систему отсчета понадобится сделать параллельный перенос старого начала отсчета (черный цвет) в начало отсчета новой системы (белый цвет):

начала отсчетов старой и новой систем координат. Напомним, что его координаты соответствуют максимально возможной для данного прибора яркости. В частности, если вы храните цветные картинки, выделяя каждому из основных цветов один байт в памяти компьютера, то N = 255.

Теперь нам нужно базисные краски (базисные векторы нового базиса) выразить через базисные векторы старого базиса в систе-

Чтобы найти эти соотношения, проводим координатные оси в новой системе отсчета. Для этого соединяем начало отсчета, соот-

166

10. Трехмерная природа цвета

ветствующее белому цвету, с точками, соответствующими основным цветам в системе CMY: голубому, пурпурному и желтому. Орты направляем согласно их определению в сторону увеличения координат.

Теперь подставим соотношения (10.13) в выражение (10.12) для радиус-векторов:

+Ac cyan + Am magenta + Ay yellow =

=N red + N green + Nblue − Ac red − Am green − Ay blue.

Ðèñ. 10.4. Простейшие — RGB- и CMY-системы координат в цветовом пространстве

Сравнивая коэффициенты перед одинаковыми базисными векторами, получаем искомые формулы преобразования координат в цветовом пространстве:

167

I. Векторная алгебра

Отсюда легко можно найти и закон обратного преобразования:

На рис.10.4 изображены обе эти системы координат, орты, нача- ла отсчета и пример точки, соответствующей определенному цвету.

Рассмотрим уже известный нам пример краски зеленого цвета green = (0, a,0) как смеси желтой и голубой. В системе CMY этот цвет будет передаваться следующими координатами:

Ðèñ. 10.5. Цилиндрическая система отсчета в пространстве цветов

Мы получили искомые количества каждой из красок, необходимые для создания зеленого цвета и с точки зрения математики решили задачу. Но теперь представьте, что число a малое, а N, наоборот, большое. Тогда вам придется использовать большое количество âñåõ трех красок, чтобы воспроизвести практически черный цвет. Напомним, что черный цвет в системе CMY имеет три одинаковых координаты black ={N, N, N}. Такая ситуация оказывается очень неэкономной, потому что для передачи од-

168

10. Трехмерная природа цвета

ного цвета расходуются в больших количествах все три краски. По этой причине в цветных принтерах часто добавляют дополнительные (более дешевые, чем цветные) чернила черного цвета. С одной стороны, они используются при печати однотонных рисунков и текстов. С другой стороны, черная краска помогает передавать цвета, в которых не равны нулю все три компоненты в системе CMY. Давайте для примера выделим черный цвет в зеленом цвете (10.17):

Таким образом, зеленый цвет при печати будет передаваться как смесь черной краски и краски с координатами (a,0, a), то есть смеси голубой и желтой краски, как мы и ожидали. Мы видим, что второе слагаемое соответствует цвету, который имеет смесь, если в ней вообще нет черной краски, то есть чистому тону данного цвета. В этом примере чистым тоном является зеленый цвет. Добавление черной краски к основному зеленому цвету создает так называемые оттенки основного чистого тона.

Таким образом, черная краска наравне с остальными основными красками используется при передаче цветов. Поэтому общепринятое название такой системы состоит из четырех букв — CMYK. Буква K здесь означает своеобразную аббревиатуру слова, обозначающего черный цвет — blacK.

В качестве более сложного примера рассчитаем, из каких красок можно составить оранжевую краску. Рассмотрим оранжевый цвет, составленный из равных количеств красного и желтого (10.8):

orange = a red + a yellow = a (1,0,0) + a (1,1,0) = (2a, a,0). (10.19) Координаты этого вектора в системе CMY находятся по фор-

169

11. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ

11.1. Прямая и одномерное множество точек

В первой части учебника мы изучили векторы и векторные пространства. При этом мы использовали понятия параллельных, или коллинеарных, векторов — векторов параллельных одной прямой. Аналогичным образом мы использовали понятие компланарных векторов, называя так векторы, параллельные одной плоскости. Понятия прямых и плоскостей мы не рассматривали, так как они понятны и изучались в школьном курсе геометрии.

Теперь поступим, в некотором смысле, наоборот. Давайте сделаем векторы основным «орудием» геометрии, с помощью которого мы будем вводить и изучать другие понятия.

Для этого мы предположим, что векторы являются некоторыми исходными понятиями со своими свойствами, которые подчиняются некоторым исходным аксиомам. Эти аксиомы определяют свойства сложения векторов и умножения векторов на число. Такие векторы будут составлять некоторые векторные пространства с определенным базисом и размерностью. Полностью такая теория разрабатывается в курсе векторной алгебры. Мы же изучим геометрические приложения и некоторые частные случаи.

Например, мы можем задать в пространстве с произвольной размерностью точку и ненулевой вектор и построить множество точек, которые являются концами направленных отрезков, вы-

172