Учебник

6. Скалярное произведение векторов

Теперь можно соотношение (6.6 б) преобразовать следующим образом:

Этот лаконичный вывод стоит того, чтобы запомнить его

èприменять при решении различных векторных задач.

6.7.Длина вектора. Угол между векторами. Направляющие косинусы

Теперь у нас есть метод вычисления скалярного произведения векторов, не использующий значения длин векторов и углы между ними. Значит, с помощью скалярного произведения мы можем находить эти величины.

Для вычисления длины вектора применим формулу (6.5), которая после использования соотношения (6.12) примет вид:

i=1

Ñпомощью похожего соотношения можно вычислять и расстояние между точками в пространстве, если определить это расстояние как длину направленного отрезка, соединяющего эти точки:

i=3

AB = rB −rA = (rB −rA ) (rB −rA ) = ∑(riB − riA )2 . i=1

Так как в декартовой системе координат используются общепринятые обозначения для координат (r1, r2 , r3 ) = (x, y, z), то последнее соотношение можно переписать в следующем виде:

i=3

AB = ∑(riB −riA )2 = (xB − xA )2 +( yB − yA )2 + (zB − zA )2 . (6.14)

i=1

93

I. Векторная алгебра

Соотношения (6.13) и (6.14) являются, по сути, обобщением теоремы Пифагора на трехмерный случай. Само же соотношение (6.13) в свою очередь, также обобщается на любые векторные или более сложные функциональные пространства, где оно служит определением длины.

Для того, чтобы выразить угол между двумя векторами через их декартовы координаты, достаточно использовать определение скалярного произведения a b = ab cos( (a,b)). Из этого соотношения получаем:

Зададим в пространстве с декартовой системой координат точку M , радиус-вектор которой равен rM = OM . С помощью скалярного произведения можно найти расстояние от начала от- счета до точки M :

Однако, скалярное произведение может помочь нам численно определить и направление радиус-вектора. Для этого введем орт

94

того, что все они неотрицательны, а их сумма равна единице. Значит, каждой из этих величин можно приписать значения косинуса какого-то угла. Если сделать графическое построение, то можно определить о каких углах идет речь. Мы же попробуем

Мы получили соответствующие орту координаты. Теперь разделим каждое из этих соотношений на длину радиус-вектора

Но левые части этих соотношений — это не что иное, как скалярное произведение векторов базиса на вектор eM , а с учетом того, что все орты имеют единичную длину, это косинусы углов между ортами:

exeM = cos( MOX ) = rx ,

eyeM = cos( MOY ) = ry è ezeM = cos( MOZ ) = rz .

Таким образом, координатами орта радиус-вектора являются косинусы углов α = MOX , β = MOY è γ = MOZ между ра- диус-вектором и базисными векторами:

95

I. Векторная алгебра

Эти углы определяют направление радиус-вектора, поэтому их косинусы называются направляющими косинусами. Из соотношения (6.17) получаем основное соотношение для направляющих косинусов:

В случае двумерного декартового пространства это соотношение упростилось бы и содержало бы только два угла α — между радиус-вектором и осью абсцисс и β — между радиус-вектором и осью ординат:

cos2 α +cos2 β =1.

Но тригонометрически можно показать, что угол β дополняет угол α до прямого угла β = π2 −α , а, следовательно, из этого

соотношения получается хорошо известное тригонометрическое равенство cos2 α +sin2 α =1. Таким образом, можно считать, что соотношение (6.20) обобщает это равенство для трехмерного случая.

Наглядное представление о направляющих косинусах можно увидеть на рис. 6.4.

Ðèñ. 6.4. Направляющие косинусы

96

6. Скалярное произведение векторов

6.8. Определение проекции одного вектора на другой

В заключение раздела решим задачу на использование скалярного произведения.

Задача 6.1. Представить вектор b в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен заданному ненулевому вектору a, а другой перпендикулярен.

Решение

1. В задаче требуется представить вектор b в следующем виде: b = b|| +b ,

ãäå b|| — параллелен вектору a, à b — перпендикулярен a. 2. Äëÿ b|| в силу его параллельности ненулевому вектору a

следует существование такого числа β , ÷òî b|| = βa. Тогда вектор b оказывается равным b = b −βa.

ab = a(b −βa) = ab −βaa = 0.

3.Из этого уравнения уже можно найти величину β :

β= abaa .

4.Теперь можно выписать искомое выражение для вектора b|| :

= (ab) b|| (aa) a.

Для перпендикулярной составляющей пока (до следующего раздела) получаем следующее выражение

= − (ab) b b (aa) a.

5. Во время решения задачи мы получили общую формулу для

97

I. Векторная алгебра

6.9. Сведения о скалярном произведении

Скалярное произведение и его свойства

1. Определение

a b = ab cos( (a,b)) = a Prab = b Prba.

2. Основные свойства.

2.1. Коммутативность (переместительное свойство):

a b = b a.

2.2.Ассоциативность (сочетательное свойство):

λ(a b) = (λa) b.

2.3.Положительная (неотрицательная) определенность:

a a = a 2 ≥ 0, причем a 2 = 0 a = 0.

2.4. Дистрибутивность (распределительное свойство): a (b +c) = a b +a c.

3. Частные значения

3.1. a b = 0 (a,b) = 90°, åñëè a ≠ 0 è b ≠ 0.

3.2.a b > 0 (a,b) < 90° — острый угол.

3.3.a b < 0 (a,b) > 90° — тупой угол.

3.4.a = 0 èëè b = 0 a b = 0.

98

7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

7.1. Понятие векторного произведения

Как мы уже неоднократно отмечали, одной из целей аналитической геометрии является перевод графических — геометрических и физических — представлений на язык чисел. Так, физическое понятие перемещения стало геометрическим объектом — направленным отрезком, который затем был обобщен до понятия вектора. Новый объект — вектор — в свою очередь используется при решении различных геометрических и физи- ческих задач. Например, при прямолинейном и равномерном движении скорость частицы v является постоянным вектором, у которого неизменны и направление, и величина. При этом радиус-вектор r такой частицы является функцией времени и записывается в следующем виде:

ãäå r0 — радиус-вектор начального положения частицы. Соотношение (7.1) как закон движения получается из фи-

зических законов, а как математическое выражение содержит введенные нами линейные операции над векторами — сложение и умножение на число. Однако чуть более сложные виды движения уже не могут быть описаны такими простыми формулами, как (7.1).

Рассмотрим, например, вращение какого-нибудь тела по окружности. Пусть радиус вращения будет равен R, а постоянная скорость вращения — V. Если мы знаем время одного оборота — пе-

100

7. Векторное произведение векторов

риод вращения T , то величины R è V могут быть выражены друг

количество оборотов в единицу времени, соотношением ω = 2π f и равна углу поворота (измеренному в радианах) в единицу времени.

Если понаблюдать за вращением тела, то мы увидим, что вектор скорости V и радиус-вектор R частицы меняются с те- чением времени, несмотря на постоянство их длины. Поэтому получить соотношение, связывающее аналогично (7.1) вектор скорости и радиус-вектор, сразу не удается.

Однако мы можем заметить интересную особенность вращения по окружности, с постоянным радиусом. Вектор скорости, направленный по касательной к этой окружности, всегда направлен перпендикулярно к радиус-вектору V R. Кроме того, вектор V перпендикулярен и оси вращения. Таким образом, мы видим, что вектор скорости однозначно определяется радиус-вектором частицы, направлением оси вращения, а его длина определяется выражением (7.2), содержащим длину радиус-вектора и угловую частоту вращения.

Для представления всех этих закономерностей в математическом лаконичном виде была предложена такая запись:

Здесь введена новая операция умножения векторов, которая позволяет из двух векторов получать третий. В нашем случае исходными являются радиус-вектор R и вектор угловой скорости ω , длина которого равна ω и который направлен по оси вращения так, чтобы с его конца вращение выглядело как происходящее против часовой стрелки.

Заметим, что соотношение (7.3) справедливо в любой момент времени и для равномерного вращения является аналогом выражения (7.1) для прямолинейного равномерного движения, то есть

101

I. Векторная алгебра

дает связь между вектором скорости и радиус-вектором движущегося тела.

Так как результатом такой операции является вектор, то такая операция была названа векторным произведением векторов. Эта операция оказалась важной как в физике, где она используется при определении, например, моментов сил и импульса, так и в геометрии, где с ее помощью можно сразу определять, в частности, перпендикуляр к двум неколлинеарным векторам.

В этом разделе мы займемся изучением этой операции, ее свойств и использования при решении геометрических задач.

7.2. Определение векторного произведения

Определение 17

Векторным произведением векторов a è b называется вектор c = a ×b =[ab], определенный следующим образом:

а) вектор c перпендикулярен и вектору a , и вектору b; б) длина вектора c равна произведению длин векторовсомножителей на синус угла между этими векторами; в) тройка векторов a, b è c является правой.

Коротко определение векторного произведения можно записать в следующем виде:

Наглядно представление векторного произведения приведено на рисунке 7.1 а), а на рисунке 7.1 б) показан один из простейших примеров векторного произведения: произведение двух ортов декартова базиса. Из рисунка видно, что в соответствии с определением векторного произведения векторное произведение двух ортов равно третьему орту: ex ×ey = ez .

102