Учебник

3.ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

3.1.Линейная зависимость векторов

Одной из задач аналитической геометрии является перевод геометрических понятий на язык чисел. Другими словами, различные геометрические соотношения, которые мы привыкли воспринимать визуально, например, пересечение прямых, могут быть выражены с помощью числовых соотношений. В идеале, аналитическая геометрия позволит решать геометрические зада- чи без единого графического построения. Одним из таких примеров является пример параллельности.

Для того чтобы описать параллельность на алгебраическом языке, можно использовать понятие произведения векторов на числа. Согласно определению произведения, при умножении вектора на число мы получаем вектор, параллельный исходному. Таким образом, если нам даны два параллельных ненулевых

чтобы линейная комбинация λ a + μ b была равна нулю. Можно также использовать уже найденные коэффициенты, например: λ =1 è μ = −α èëè λ = −β è μ =1, а также многие другие.

33

I. Векторная алгебра

Теперь представим, что векторы a è b не коллинеарны. Тогда после умножения на любые ненулевые числа λ ≠ 0 è μ ≠ 0 получающиеся векторы λ a è μ b также будут неколлинеарными, и поэтому в сумме никогда не смогут дать нуля:

нулю только при λ = 0 è μ = 0.

Понятие параллельности векторов несет в себе еще один смысл. В случае, если векторы параллельны, мы можем выразить один вектор через другой (например b = β a). Другими словами, можно сказать, что один вектор зависит от другого. Но в той же мере можно сказать, что первый вектор зависит от второго. Поэтому о таких векторах говорят, что они линейно зависимы. Два непараллельных вектора не могут быть выражены друг через друга, поэтому их называют линейно независимыми векторами.

Как мы только что показали, понятие линейной зависимости (параллельности для двух векторов) может быть описано алгебраиче- ским выражением λ a + μ b. Необходимо только выяснить, равна ли нулю эта комбинация только при λ = 0 è μ = 0 или существуют ненулевые значения коэффициентов λ и μ, зануляющие эту линейную комбинацию. В первом случае векторы a è b являются линейно независимыми векторами, а во втором — линейно зависимыми.

Использование алгебраических выражений типа (3.1) хорошо тем, что они позволяют обобщить понятия, практически очевидные в простых случаях, на более сложные ситуации. Например, понятия параллельности и линейной зависимости двух векторов интуитивно связаны соотношением (3.1). В то же время, соотношения типа (3.1) позволяют обобщить понятие линейной зависимости на случай любого количества векторов, причем даже на такие системы векторов, в которых понятие параллельности не может быть наглядно представлено.

Дадим общее определение линейной зависимости векторов.

34

3. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса

Определение 7

Векторы ai ( i =1...N ) называются линейно независимыми, если линейная комбинация ∑ii==1N αiai = 0 только в случае, когда все коэффициенты αi = 0 ( i ).

Из этого определения следует, что если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через другие. То есть мы не можем подобрать такие коэффициенты, чтобы можно было, например, первый из векторов выразить через другие:

Если бы такая запись была возможна, то такая система векторов была бы уже линейно зависимой, так как õîòÿ áû îäèí вектор зависит (линейно) от других. Дадим теперь определение линейной зависимости системы векторов.

Определение 8

Векторы ai ( i =1...N ) называются линейно зависимыми, если из них можно составить линейную комбинацию ∑ii==1N αiai = 0, в которой хотя бы один из коэффициентов не равен нулю αi ≠ 0.

Замечательным свойством обладает нулевой вектор 0. Его можно представить в виде линейной комбинации любых векторов. Для этого достаточно в качестве коэффициентов взять нули:

i=1

Такое равенство справедливо для любых векторов ai и при любом их количестве. Отсюда можно делать вывод, что если система векторов содержит нулевой вектор, то эти векторы — линейно зависимы, так как один из них, а именно нулевой вектор, всегда можно выразить через другие с помощью соотношения (3.4). Представим этот результат в виде следующей теоремы.

35

I. Векторная алгебра

Теорема 3

Если один из векторов ai ( i =1...N ) равен нулю, то эта система векторов — линейно зависима.

∑ii==1N αiai = 0. Так как нам удалось составить линейную комбинацию векторов ai , в которой хотя бы один из коэффициентов не равен нулю α j ≠ 0, то эта система векторов — линейно зависима. ■

Предположим, что мы имеем систему линейно зависимых векторов, для которой нам удалось подобрать равную нулю линейную комбинацию. Тогда добавление к этой системе любого другого вектора не «испортит» линейной зависимости этой системы. Действительно, мы всегда можем новый вектор умножить на ноль и прибавить полученный нулевой вектор к исходной линейной комбинации. Значение новой линейной комбинации опять будет равно нулю, а значит, новая система векторов также будет линейно зависимой. Этот результат может быть представлен с помощью следующей теоремы.

Теорема 4

Åñëè èç N векторов ai (i =1...N) подсистема K векторов (K ≤ N) линейно зависима, то и вся система из N векторов — линейно зависима.

Доказательство

Пусть первые K векторов линейно зависимы. Это значит, что существует равная нулю линейная комбинация этих векторов, среди коэффициентов которой есть не равный нулю:

∑i=K

i=1 αiai = 0, αi ≠ 0. (Ò 4.1)

36

3. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса

Коэффициенты при остальных N − K векторах выберем равными нулю:

Составим с этими коэффициентами линейную комбинацию всех векторов:

∑ii==1N αiai = ∑ii==1K αiai +∑ii==KN +1αiai = ∑ii==1K αiai +∑ii==KN +1αiai . (Ò4.3)

Используя соотношения (Т 4.1) и (Т 4.2) для ∑ii==1N αiai , получаем:

Так как нам удалось составить линейную комбинацию векторов ai , в которой хотя бы один из коэффициентов не равен нулю α j ≠ 0, то эта система векторов — линейно зависима. ■

Доказанные только что теоремы помогут нам при исследовании свойств самых разных векторных пространств — векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. В нашем курсе мы будем ограничиваться такими пространствами, для которых теоремы и определения имеют наглядное представление в виде, например, направленных отрезков или комбинаций цветов на оцифрованных изображениях. Это поможет в дальнейших курсах математики, физики или компьютерных наук обобщить практически все эти понятия и теоремы для пространств с большей размерностью и даже для бесконечно размерных пространств.

Начнем с самого простого геометрического пространства — прямой. Как мы уже отмечали, любые два вектора, параллельные одной прямой, могут быть выражены друг через друга. Докажем следующую теорему.

Теорема 5

Линейная зависимость двух векторов равносильна их коллинеарности. (Два параллельных вектора — линейно зависимы).

37

I. Векторная алгебра

Доказательство

Доказательство проводим в три этапа. Сначала докажем, что из линейной зависимости двух векторов следует их параллельность и что параллельные векторы — линейно зависимы. Оставшийся частный случай — случай, когда один из векторов равен нулю, доказывается тривиально с помощью теоремы 3.

1. Пусть два вектора a è b — линейно зависимы. Это значит, что существуют такие числа λ и μ, ÷òî

èпри этом, по крайней мере, одно из них не равно нулю (пусть

λ≠ 0). Òàê êàê λ ≠ 0, то вектор a можно представить следующим образом:

Тогда из определения произведения вектора на число получа- ем, что векторы a è b — параллельны.

Докажем обратное:

2. Пусть a || b и один из векторов, например b, не равен нулю ( b ≠ 0). Тогда, используя определение произведения вектора на число, мы можем записать вектор a в следующем виде:

Переписав это соотношение по-другому:

мы получаем равную нулю линейную комбинацию векторов a è b с хотя бы одним ненулевым коэффициентом. Следовательно, согласно определению 8, векторы a è b — линейно зависимы.

3. Если же оба вектора равны нулю, то они линейно зависимы, по крайней мере в силу теоремы 3. ■

38

3. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса

Из этой теоремы следует, что на прямой достаточно задать только один ненулевой вектор, и все остальные векторы могут быть выражены через него. Этот — основной — вектор будет задавать прямую, которой параллельны все векторы, а каждый вектор будет отличаться от других только своей длиной (и противоили сонаправленностью), то есть отличаться друг от друга только числом, на которое нужно умножить основной вектор, чтобы получить данный вектор. Таким образом, если на прямой задан некоторый основной (другими словами — базисный) вектор, то любые векторы на этой прямой можно однозначно задавать числами и, главное, обращаться с ними как с обычными вещественными числами. При этом даже применяют запись, в которой вектор представляется только числом, на которое надо умножить основной вектор, чтобы получить данный вектор.

Пусть, например, задана прямая λ и базисный вектор a || λ (напомним, что a ≠ 0). Тогда любые векторы b || λ , c || λ и тому подобное, и, например, d = 2a могут быть записаны в следующем виде:

ределяет заданный вектор и называется координатой данного вектора. Например, вектор h =α a может быть записан в виде h = (α ) и его координата равна, естественно, числу α.

Теперь мы можем перейти к более сложному, чем прямая, пространству — к плоскости.

Теорема 6

Линейная зависимость трех векторов равносильна их компланарности. (Три вектора, параллельных одной плоскости, — линейно зависимы).

Доказательство

1. Сначала докажем, что из линейной зависимости трех векторов следует их компланарность. Пусть три вектора a, b

39

I. Векторная алгебра

è c — линейно зависимы. Это значит, что существуют такие числа λ , μ и ν, ÷òî

èпри этом, по крайней мере, одно из них не равно нулю (пусть

λ≠ 0). Òàê êàê λ ≠ 0, то вектор a можно представить следующим образом:

Тогда из определения произведения вектора на число и суммы векторов получаем, что векторы a, b è c лежат в одной плоскости, а значит, компланарны.

Теперь докажем, что компланарности трех векторов достаточ- но для их линейной зависимости. Для этого рассмотрим сначала частные случаи, а затем и общий случай.

2.Если среди векторов есть нулевой, то система векторов является линейно зависимой в силу теоремы 3.

3.Если среди векторов есть коллинеарные векторы, то они — линейно зависимы в силу теоремы 6, а все три вектора линейно зависимы в силу теоремы 4, согласно которой система векторов, содержащая подсистему линейно зависимых векторов, сама является линейно зависимой.

Ðèñ. 3.1. Линейная зависимость трех компланарных векторов

40

3.Линейная зависимость векторов. Понятие базиса

4.Теперь мы имеем право рассмотреть систему из трех векторов a, b è c, среди которых нет ни нулевых, ни попарно коллинеарных векторов. Выберем на плоскости точку O и отложим от нее направленные отрезки, равные исходным векторам:

Проведем из точки A прямые α и β , параллельные прямым (OB) è (OC ) соответственно:

Так как прямые (OA), (OB) è (OC ) не параллельны между собой, то существуют точки пересечения прямой α || (OB) ñ (OC), и прямой β || (OC ) ñ (OB):

Из построения очевидно, что направленный отрезок OA является суммой направленных отрезков OF è OG :

В то же время, отрезок OF параллелен отрезку OC и, следовательно, согласно теореме 5 существует такое число μ, ÷òî OF = μOC. Таким же образом можно показать, что существует число λ , выражающее отрезок OG через отрезок OB : OG = λOB. Теперь мы можем переписать соотношение (Т 6.6) следующим образом:

непосредственно выразив отрезок OA через OB è OC. Это соотношение однозначно переносится на соответствующие векторы:

41

I. Векторная алгебра

Теперь нам остается перенести все векторы в левую часть соотношения для того, чтобы справа появился ноль:

Таким образом, нам удалось подобрать равную нулю линейную комбинацию векторов a, b è c, в которой один из коэффициентов, а именно единица перед вектором a, не равен нулю. Отсюда следует, что система векторов a, b è c линейно зависима. ■

Из этой теоремы следует, что если на плоскости заданы два ненулевых и неколлинеарных вектора a è b, то любой вектор c, параллельный этой плоскости, может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a è b :

Векторы a è b в этом случае можно так же, как и в одномерном случае, назвать базисными векторами, числа λ и μ — координатами вектора c = (λ , μ). Мы это сделаем чуть позже, когда убедимся в однозначности выбора самих координат. А сейчас обобщим предыдущую теорему о векторах в нашем обычном пространстве:

Теорема 7

Четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Доказательство

1. Рассмотрим четыре вектора a, b, c è d, среди которых нет компланарных. Выберем в пространстве точку O и отложим от нее направленные отрезки, равные исходным векторам:

42