§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.

§ 2.5.1. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы.

Рассмотрим задачу о качелях. Это так же параметрическая колебательная система. В крайнем положении, когда качели остановились,приседая мы увеличиваем расстояние до точки подвеса. В момент, когда качели набрали максимальную угловую скорость мы встаем, преодолевая кроме силы тяжести еще центробежную силу, поэтому расстояние уменьшается и из соотношения mR²(t)ω(t)=const следует что должна увеличиться угловая скорость ω(t). Это модель параметрической системы для механической колебательно системы.

§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.

Рассмотрим параметрический колебательный контур.

Пусть у нас будет параметрически изменяющаяся емкость в колебательном контуре.

Если в некоторый момент времени, когда U_с максимальна, мы быстро уменьшим емкость, то это приведет к увеличению напряжение U(t). Это следует из формулы q(t)=C(t)U(t)=const, так как заряд быстро измениться не может (т.к. тогда бы ток равнялся бесконечно большой величине). Если в момент времени, когда U=0, мы снова увеличим емкость, то напряжение не изменится. Поэтому, изменяя емкость во времени (параметрически), мы можем добиться того, чтобы добавка энергии равнялась потерям в такой цепи, тогда у нас будут стационарные колебания (т.е. колебания с постоянной амплитудой). Если добавка энергии больше потерь, тогда можно добиться раскачки колебаний. Следовательно, когда ΔС<0 (т.е. отрицательное приращение емкости) этому соответствуем положительные приращения ΔU>0.

Рассмотрим режим стационарных колебаний в параметрическом контуре при самом оптимальном параметрическом возбуждении. Пусть емкость изменяется по такому закону:

∆C

С(t) =m – коэффициент модуляции параметра.

C₀ t W_c = = ; ΔW_c – приращение энергии в

системе за счет однократного изменения емкости.

ΔW_c = =

Пусть ΔС <<С₀ (а так на практике и выполняется) тогда,

ΔW_c = = m = 2m = 2W_cm

Изменение энергии в параметрических системах пропорционально величине накопленной энергии. Это свойственно только параметрических систем.

Предположим, что уменьшение емкости происходит в те моменты, когда величина заряда максимальная, а увеличение емкости когда q=0. Это можно делать два раза за период. Следовательно, приращение ΔW_c(T) за период равняется

ΔW_ст = 2m – эта энергия расходуется на активном сопротивлении.

Вычислим ΔW_R(T) для этого зададим закон изменения q(t) и i(t): q(t)=q_m Sin ω₀t i= = q ω₀ cos ω₀t

ΔW_R(T) = =R q_m² ω₀² =Rq_m²ω₀²

=½Rq_mω₀²T=;

Приравняем энергию потерь к вносимой энергии параметрическим элементом ΔW_С(Т)=ΔW_R(T); тогда получаем:

; , гдеd – это затухание.

Для контуров получить добротность равную 100 достаточно легко, поэтому

m_kp=0.015

d=1/Q=0.01 следовательно Т.е. модуляцию порядка не скольких %, можно осуществлять с помощью варикапа, который будет работать в линейной области своей характеристики.

Рассматриваемый режим является оптимальным:

1. Накачка энергии в контур производится с максимальной частотой – 2 раза за период.

2. Изменение емкости происходит скачком – это самое выгодное изменение параметра.

3. Использован самый выгодный режим фазировки, когда уменьшение емкости происходит при максимуме заряда q_m , а увеличение тогда когда q_m=0.

С помощью параметрической емкости можно как вносить энергию, так и отбирать её из колебательного контура.