§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях.

Рассмотрим цепь, в которой в момент времени t=0 возбуждаются свободные колебания. Они обусловлены напряжениями, до которых в момент t=0 заряжены емкости цепи – u_C(0) и токами протекающими в тот же момент через индуктивность – i_L(0). Совокупность значений u_C(0) и i_L(0) составляет начальные условия задачи, которые при записи системы уравнений в операторной форме определяет правые части уравнений. Видно, что определение свободных колебаний в цепи является по существу задачей Коши.

Пусть среди всех колебаний напряжений и токов в цепи нас интересует одно S_вых(t), находящееся, например, в k-й части цепи. Решая систему уравнений по правилу Крамера, получим решение для искомого изображения в виде

S_вых(p)= (1.29)

где ∆(p) и ∆_k(p) – определители системы, составленные по правилу Крамера; A(p) – сомножитель, присутствующий в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве исходных при составлении системы уравнений. Выражение для S_вых(p) является дробно-рациональной функцией

, (1.30)

причем m≤n, b_k и a_k – действительные числа.

V(p) – характеристический многочлен электрической цепи. Его корни полностью определяют характер решения – собственные колебания. M(p) – многочлен, определяющий конкретное свободное колебания, порожденное конкретными начальники условиями.

Искомое свободное колебание S_вых(p) находим, осуществляя обратное преобразование Лапласа.

Ограничимся важным для практики случаем, когда корни характеристического многочлена V(p) не имеют кратных корней, иначе решение получается более громоздким, но не содержащим принципиально ничего нового по сравнению с рассматриваемым случаем. Поскольку коэффициенты a₁, a₂ … a_n, многочлена V(p) вещественны, его корни принимают действительные p_k и попарно комплексно-сопряженные изначения. Причем в случае пассивных устойчивых цепей действительные части корней многочлена являются отрицательными величинами;;. Тогда решение задачи, определяемое выражением

(t≥0), (1.31)

приводит к виду

соs(ω_lt+φ_l), (t≥0) (1.32)

где первая сумма соответствует действительным корням p_k= - δ_k и описывает экспоненциально убывающие составляющие свободных колебаний. Вторая сумма соответствует парам комплексно-сопряженных корней и описывает убывающие колебательные составляющие. ,ψ_l=arg. Из полученного выражения видно, что свободные колебания в устойчивых цепях состоят из совокупности убывающих составляющих и в целом являются затухающими.

В случае кратных корней решение имеет более громоздкий вид, но ничего нового принципиально не содержит. Если характеристический полином V(p) имеет кратные нули, тогда S_вых(t) представляется следующей суммой

S_вых(t)= , (t ≥ 0),

где m_k – кратность k-го нуля,

A_kr = .

Каждому m - кратному нулю, лежащему на действительной оси, в этой сумме соответствует группа слагаемых вида

,

а каждой m – кратной паре комплексно-сопряженных нулей – группа слагаемых вида

2

Корни характеристического уравнения V(p) = 0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

В цепях составленных из элементов активного сопротивления, корни характеристического многочлена цепи V(p) являются чисто мнимыми p_l=iω_l. А свободные колебания описываются выражением

, (1.33)

которому соответствуют незатухающие стационарные колебания.

Если хоть у одной пары комплексно-сопряженных корней характеристического многочлена некоторой цепи V(p) действительная часть окажется положительной, p_{l =}+δ_l± iω_l, то в решении появится нарастающая колебательная составляющая S_le^δ_l^tcos(ω_lt+ψ_l). Цепи, для которых это имеет место, называют неустойчивыми. К их числу относятся всевозможные автогенераторы. В своем составе эти цепи обязательно должны иметь дополнительные источники энергии и электронные приборы (ЭП). Следует заметить, однако, что линейная теория неустойчивых цепей является верной, пока колебания в цепи настолько малы, что они не выходят за пределы линейных областей характеристик ЭП.

Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании самых разнообразных цепей, является задача определения принадлежности цепи к устойчивым или неустойчивым цепям. Видно, что эта задача сводится к исследованию расположения корней характеристического многочлена цепи V(p) на комплексной плоскости. Если все корни V(p) располагаются в левой полуплоскости – цепь устойчива.

Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи не прибегая к вычислению корней ее характеристического многочлена, называется критериями устойчивости. Один из них – критерий устойчивости Раусса-Гурвица – формулируется следующим образом.

Корни характеристического уравнения V(p)=0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

Δ₁=a_1; Δ₂=; Δ₃₌; ; Δ_n=; (1.34)

Алгоритм решения задачи анализа свободных колебаний

• Анализируя состояние цепи в момент времени t=0 определяем начальные условия – совокупность значений величин u_c(0) и i_l(0).

• Составляем схему цепи в операторных величинах. Ненулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками.

• Выбираем метод и записываем систему уравнений (одно уравнение) в операторной форме.

• Находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов.

• Исследуем характеристический многочлен. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

• На основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения корней V(p), определяем структуру решения.

• Определяем коэффициенты решения и записываем его в окончательном виде. Строим график полученной функции.

• Анализируем полученный результат.

Примеры анализа свободного колебаний

Пример 1. Контур ударного возбуждения

Пусть в цепи рис.1 в момент времени t=0 электронный прибор, работающий в ключевом режиме, запирается управляющим сигналом. До запирания ток инжекторного электрода равен I₀. Пренебрегая влиянием разделительной емкости C_p (т.к. C_pC) найти выходное напряжение U_вых(t) при t0. E_п

1. Определяем начальные условия

к

S_упр у i_l(0)= I₀; u_c(0)= 0

и

I₀ C_p

L C R U_вых(t)

2. Составляем схему в операторных параметрах

pL R U(p) = U_вых(p)

3. Записываем узловое уравнение для изображений

(pC + G + 1pL ) U(p) = I₀ ⁄ p.

4. Записываем решение уравнения

U(p) =, где 0; >0.

5. Исследуем характеристический многочлен V(p)= p² + 2δp + .Его корни p_1,2= -δ ± ±при условии(контур колебательный) являются парой комплексно-сопряженных величинp_1,2= -, где=. Вещественная часть корней – отрицательная, следовательно цепь является устойчивой.

6. На основании общего решения задачи о свободных колебаниях записываем структуру решения

U_вых(t) = U₁e ^–δtcos (ω₁t + ψ₁) , (t0).

7. Определяем коэффициенты решения U₁ и ψ₁

U₁ = 2=; ψ₁ = arg = -.

8. Записываем решение в окончательном виде

U_вых=, (t0 ).

9. Анализируем полученный результат. Выходной сигнал U_вых(t) (рис. 2) представляет собой затухающее синусоидальное колебание начальная амплитуда которого, пропорциональна начальному току I₀, частотаменьше резонансного значения ω₀; скорость убывания колебаний тем меньше, чем больше R (чем выше добротность колебательной системы) и т.д.

U_вых(t)

t

Рис. 2

Пример 2 НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ.

Данная цель – резонансный усилительный каскад с положительной обратной связью (рис.3.). Найти условия, при которых в цепи возникают автоколебания, и определить их характер.

1. Начальные условия – нулевые, но предположим,

к у что в момент времени t = 0 произошло очень малое

ЭП n изменение тока ЭП и, следовательно, тока индуктив-

.ности. Пусть изображение этой флуктуацииJ⁰(t).

и L C U_вых(t) 2. Составляем схему цепи в операторных параметрах

knу

E_смE_пит-SU_у-n(p).

U(p) R_i pL U_у-n(p)=

.

Рис. 3.

n

3. Записываем узловое уравнение

( pC + G_i + ) U(p) = nSU(p) + J⁰(p) .

Преобразуем его к виду

( pC + G_i ­- nS + ) U(p) = J⁰(p) .

4. Записываем решение уравнения

U(p) = , где 0; 0.

5. Исследуем характеристический многочлен V(p) = p² + 2δp +. Его корни

p_1,2 = - при условии(контур колебательный) являются парой комплексно сопряженных величин, где. При GnS действительная часть корней отрицательна и, следовательно, цепь устойчива. При GnS действительная часть корней положительна, цепь неустойчива, а свободные колебания описываются выражением

U(p) =U₁,(t 0).

6. Анализируем полученные результаты. Если GnS, то свободные колебания носят затухающий характер и цепь в этом случае является регенеративным усилителем. Если жеGnS, то свободные колебания экспоненциально нарастают от сколь угодно малой величины, до значений, при которых наступает ограничение амплитуды колебаний, связанное с нелинейными областями ВАХ ЭП (рис.4.). Скорость нарастания колебаний тем больше, чем большеSиn, в этом случае цепь, является генератором гармонических колебаний частоты ω₀.

Рис.4

7. Анализируем полученный результат.

Сомножитель - есть не что иное, как коэффициент усиления на резонансной частоте.

Выходные колебания устанавливаются не сразу. Причем чем больше Q, тем меньше δ, тем медленнее происходит процесс установления выходных колебаний и т.п.