§2.5.Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели энергетический способ исследования параметрических систем. Данный L метод, позволил вывести формулы, определяющие значение коэффициента модуляции, при котором в колебательной системе возможно либо усиление колебаний, либо стационарный режим, либо нарастающие колебания.

В данном параграфе рассматривается другой часто применяемый способ исследования колебаний в параметрических системах, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка:

Анализ процесса в рассматриваемом параметрическом контуре, основан на сведение уравнений, описывающих колебания в контуре, к уравнению Матье:

_{- уравнение Матье.}

Пусть параметрическая емкость колебательного контура изменяется по закону

Запишем с помощью МКТ дифференциальное уравнение параметрических колебаний:

Мы получили интегро-дифференциальное уравнение. Для того чтобы получить дифференциальное уравнение, сделаем замену переменных:

, которое позволяет перейти к дифференциальному уравнению 2^го порядка ( введем новые обозначения ), следующего

вида:

, для того, чтобы

избавиться от производной 1^го порядка, сделаем следующую замену переменных

,

.

Подставляя найденные q(t), и в полученное дифференциальное уравнение, получаем

Введем безразмерное время:

У нас уравнение с периодическими коэффициентами, причем коэффициенты a и b – положительные величины. Кроме того, из вида a и b видно, что b<a, т.к. m<1.

Решение уравнения Матье, строится с помощью теоремы Флоке, которая гласит, что для уравнений типа Хилла (у которого коэффициенты являются периодическими функциями), решение является почти периодическими функциями:

Отсюда следует, что функция удовлетворяет теореме Флоке, если φ(r) периодическая функция.

Этому уравнению удовлетворяет и функция y₂=e ^-μrφ(r).

Возникли периодические функции, которые называются функциями Матье: φ()=φ(,a,b).

μ= μ(a,b) – некий коэффициент, зависящий от параметров a и b.

Причем a и b – вещественные положительные числа.

может быть:

а) если , то- описывает стационарные решения.

б) если - вещественная величина, то решения расходятся, и следовательно они описывают нарастающие колебания.

в) если - мнимая величина, то решения будут сходящимися, а колебания затухающими.

Рассмотрим однородное уравнение Матье.

, в котором устремим коэффициент b к нулю. Тогда уравнение примет вид:

,

решение, которого выражается через тригонометрические функции

Вид решения для у(τ) не изменится (т.е. будет выполняться теорема Флоке), только если . Т.е. только в этом случае сдвиг фазы наприведёт к тому, что значение функции не изменится.

Отыскание в общем случае проблема. Поэтому строятся диаграммы значений параметров а и в, при которых решение для у(τ) будет иметь различный характер поведения.

μ

μ

Т.к. функции у₁(τ) и у₂(τ) удовлетворяют теореме Флоке, тогда решение уравнения Матье будет представляться как комбинация этих двух функций:

В связи с тем, что , тогда коэффициент в мал, и можно предположить, что у(τ) не сильно отличается от тригонометрической функции (случай когда в=0):

с учетом того, что тогда

Если частоты модуляции и накачки, а также параметр модуляции такие, что решения попадают в нижнюю часть зоны, то энергия отклика превышает начальную энергию. Т.е. у нас зона усиления регенеративного типа. Если попадает в верхнюю часть зоны, то эта зона где вносимая энергия превышает энергию потерь, и у нас возникнет режим автоколебаний. Для этих значений можно определить критическое значение параметра – m_кр. Области помеченные звездочками, не имеют практического значения, т.к. там происходит еще большее затухание, т.т де регенерация.

Выводы. Т.о. в целях получения параметрического усиления или возбуждения колебаний, следует использовать такое соотношение параметров а и в(т.е. ω₀, λ и m), при котором решение соответствует областям неустойчивости. Если при этом коэффициент модуляции m меньше m_крn в системе можно осуществить регенеративное усиление. Если же m больше m_крn в системе происходит параметрическое возбуждение нарастающих колебаний, которые в дальнейшем ограничиваются какими-либо нелинейными элементами, которые неизбежно существуют в цепях.