§ 2.2. Аксиоматики теории цепей в параметрическом случае.

Первичными понятиями являются напряжение U и ток i (элементы UH и UT, законы Киргофа – являются универсальными. Отличие в элементах R, L и С)

U=Ri; i=GU; U(t)=R(t)i(t) i(t)=G(t)U(t) P=Ui=Ri²=GU²>0 P(t)=R(t)i²(t)=G(t)U²(t)>0

; ;

P_L=L 0;

Элемент подобный сопротивлению, причем если>0, то можно отбирать энергию с помощью L из цепи, а если <0, то это описывает случай внесения энергии в цепь с помощью параметрического элемента. Аналогично и для мощности P_L наличие слагаемого свидетельствует о возможности вносить или отбирать энергию из цепи, в зависимости от знака.

; ;;;

P_С=C 0; .

Элемент подобный сопротивлению, причем если>0, то можно отбирать энергию с помощью С(t) из цепи, а если <0, то это описывает случай внесения энергии в цепь с помощью параметрического элемента. Аналогично и для мощности P_C наличие слагаемого свидетельствует о возможности вносить или отбирать энергию из цепи, в зависимости от знака.

При уменьшении емкости в цепь вносится энергия, при увеличении емкость энергии забирается из цепи.

Т.о. 1) L(t) и C(t) выступают в роли преобразователей энергии, т.е. параметрическое возбуждение и усиление колебаний происходит в результате периодического изменения энергоемких параметров колебательной системы, определяющих ее частоту.

В рассматриваемых ранее генераторах и усилителях возбуждения и усиления колебаний осуществлялось за счет энергии источников постоянного напряжения. С энергетической точки зрения усилители и генераторы являются преобразова-телями энергии постоянного напряжения (тока) в энергию переменного напря-жения (тока).

В параметрических генераторах и усилителях механизм передачи энергии (или, как его называют, накачки) оказывается иным: энергия вводится в систему путем изменения, с некоторый частотой реактивного параметра, на что какой-то источник затрачивает энергию. Поскольку параметр меняется с одной частотой, а возбужденные или усиленные колебания в большинстве случаев имеют другую частоту, рассматриваемые параметрические устройства оказываются преобразователи частоты.

И второе. Давайте вспомним, что уравнение составляются с помощью хорошо известных вам методов МКТ и МУН, причем для параметрических систем они имеют следующий вид

МКТ	||Z|| ||i|| = ||e*||	||Z(t)||||i||=||e*||	Это неоднородная система линейных интегро- дифференциаль-ных уравнений с переменными коэффициента-ми
МУН	||Y|| ||U|| = ||j*||	||Y(t)||||U||=||j*||,

Записанные уравнения дополняются соответствующими начальными условиями.

Уравнения длинных линий с переменными параметрами имеют вид:

и дополняются соответствующими начальным и граничным условиями.

Таким образом необходимо отметить, что колебания в параметрических устройствах, описываются параметрическими уравнениями, общего метода решения которых нет. Т.е. для линейных параметрических цепей нельзя построить в общем случае решение задачи анализа колебательного процесса.

Решение построено только для частных случаев:

1. Цепь состоит только из резистивностей R, тогда уравнение описывающее колебания в такой системе: ||R(t)||||i||=||e|| - система алгебраических уравнений.

2. В резистивной цепи имеется один энергоемкий элемент, тогда процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка (уравнение с полуцелой степенью свободы). Для таких систем разработан метод называемым методом Туркина.

3. Если колебательный процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка

которое можно свести к какому-нибудь известному уравнению с переменными коэффициентами (уравнению Матье, Хилла, Бесселя и др.).

4. Параметры элементов цепи, изменяются значительно медленнее колебаний U и i (тогда применимы приближенные методы).

Т.О. важно понимать, что с помощью переменных индуктивностей и емкостей можно изменять энергию системы, и, поэтому, характер свободных колебаний в параметрических системах может существенно отличаться от колебаний в системах с постоянными элементами.

Следует также понимать, что для линейных параметрических систем применим принцип наложения и, следовательно, в задачах прохождения сигналов через устойчивые параметрические цепи решение может быть представлено в интегральном виде, например:

либо

либо

где - параметрические функции цепей, отыскание которых встречает принципиальные трудности. Именно поэтому ключевыми задачами в теории параметрических систем являются задачи по определению отклика на гармоническое или импульсное воздействия.

Важно понимать, что в отличие от линейных систем с постоянными параметрами при взаимодействии сигналов с параметрическими системами происходит обогащение спектра колебаний – возникают новые гармонические составляющие комбинационных частот. Так, например, уже в R – цепи с периодическим коэффициентом передачи возбуждаемой периодическим сигналомвыходное колебаниесодержит гармонические составляющие комбинационных частот.