§3.6.Метод фазовой плоскости.

Метод фазовой плоскости – графический метод, позволяющий качественно исследовать колебания в цепях, описываемые дифференциальными уравнениями 2^го порядка. Существует несколько вариантов методов фазовой плоскости, применяемые в зависимости от постановки задачи. Обобщением методом фазовой плоскости для случаев, когда колебания описываются уравнениями более высокого порядка (n › 2) является методом фазового пространства (n – мерного). Термин «фаза» в названии метода имеет смысл ″состояние″. Если дифференциальное уравнение имеет порядок n, тогда для определения конкретного решения кроме общего вида решения необходимо также располагать n начальными условиями, например f(t₀), f⁽¹⁾(t₀), f⁽²⁾(t₀), … f⁽ⁿ⁾(t₀). Эти величины можно рассматривать в качестве n – координат фазового пространства. Начальные значения координат, т.е. условия для t = t₀ определяют в фазовом пространстве точку. При изменении t от t₀ значения всех величин – координат изменяются, т.е. во времени изменяется положение точки, описывающей состояние колебательного процесса (в соответствии с общим решением дифференциального уравнения).

Метод фазовой плоскости (пространства) применяется для качественного анализа процессов установления колебаний в автогенераторе, а также для анализа вынужденных колебаний в нелинейных цепях.

В тех случаях, когда неприменимы ни один из рассмотренных методов, а также другие количественные методы, единственным, позволяющим провести качественный анализ, является метод фазовой плоскости (пространства).

Основные определения: фазовой плоскостью называется координатная плоскость, на которой откладывается, по оси абсцисс – мгновенные значения самой функции, описывающей колебания, а по оси ординат – мгновенные значения производной той же функции (например, q(t) и i(t) = илиi(t) и и т.д.).

Поскольку в реальных цепях не существует колебаний, достигающих бесконечно больших величин, все возможные состояния колебаний на фазовой плоскости располагаются в обозримой области при любых значениях t от t₀ до .

Изображающей точкой М(х,у) называется точка фазовой плоскости, координаты которой определяют состояние колебательного процесса, мгновенные значения s(t) и .

Фазовой траекторией – называется путь движения изображающей точки по фазовой плоскости. Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется – фазовым портретом. Скорость перемещения изображающей точки по фазовой траектории – называется фазовой скоростью. В любой точке фазовой плоскости – эта скорость направлена по касательной к фазовой траектории, а величина её выражается через скорость изменения координат

v_x = vv_ф = .

Обычной точкой фазовой плоскости – называется точка, через которую проходит одна фазовая траектория. Простой особой точкой – называется точка, через которую проходит несколько траекторий, либо не проходит ни одна. Этим точкам соответствуют равновесные состояния цепей (систем). В этих точках и одновременно.Количество особых точек, их расположение на фазовой плоскости и характер фазовых траекторий в их окрестностях определяют характер колебательных процессов.

Кроме особых точек существенными для определения характера процесса, являются особые линии фазовой плоскости – предельные циклы и сепаратриссы.

Предельным циклом называется замкнутая фазовая траектория к которой в пределе при t → ± ∞ стремится некоторое множество фазовых траекторий.

Сепаратриссы – линии, разделяющие фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам.

Исследование колебаний в цепи методом фазовой плоскости сводится к построению фазовой траектории, соответствующей определенным начальным условиям. По фазовой траектории можно определить вид функции (график) описывающей колебательный процесс. Рассмотрим метод фазовой плоскости применительно к анализу колебаний в автогенераторе, описываемых уравнением

. (1)

Преобразуем это уравнение заменой в систему уравнений

, (2)

и иключая время t, получим ; (3)

перейдем к уравнению, которое можно анализировать методом фазовой плоскости.

В самом общем виде нелинейные колебания определяются двумя уравнениями 1^го порядка

, (4)

Причем, описание нелинейных колебаний в виде системы уравнений (4) более обще, чем с помощью одного уравнения (1).