- •Глава 1.
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства.
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях сосредоточенными элементами.
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях.
- •§1.4. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.4.1.Классификация длинных линий
- •§1.4.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •§1.4.Алгоритмы решения задачи о собственных колебаниях в длинной линии
- •Глава 2. Колебания в линейных праметричеких
- •§ 2.1. Линейные спектра входного сигнала, при прохождении через линейные параметрические цепи.
- •§ 2.2. Аксиоматики теории цепей в параметрическом случае.
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи.
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.
- •§ 2.5.1. Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы.
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.
- •§2.5.Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье.
- •2.6. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе.
- •§2.2.4 Параметрический генератор(параметрон).
- •§2.2. Двухконтурные параметрические системы.
- •§2.2.1Теорема Менли-Роу.
- •§ 2.2.2 Параметрические умножение и деление частоты.
- •§2.4. Некоторые приближенные методы исследования процессов в. Параметрических системах
- •§2.4.1. Метод «замороженного» параметра.
- •§2.4.1 Метод замороженного параметра.(второй вариант).
- •§2.4.2 Метод последовательных приближений.
- •§2.4.2. Метод последовательных приближений (второй вариант).
- •§2.4.3 Метод вкб.
- •§2.4.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна)(второй вариант).
- •Глава 3. Анализ колебаний в нелинейных цепях.
- •3.1 Нелинейные элементы цепей
- •§3.2.Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях.
- •§3.3. Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений.
- •§3.4. Метод линеаризации.
- •§3.2. Метод гармонической линеаризации (мгл).
- •§3.2.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов.
- •§3.3.Методы малого параметра. Метод последовательных приближений.
- •§3.4.Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.5.Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.
- •§3.6.Метод фазовой плоскости.
- •1.Метод изоклин.
- •2.Особые точки.
§3.5.Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.
Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля
(9)
Это уравнение описывает широкий спектр колебаний в различного типа автогенераторах. Параметр ε изменяется в широких пределах от 10-3 до 104. Это уравнение описывает процесс развития и установления колебаний, как в автогенераторах гармонических колебаний (ε - малая величина ~ 10-2 ÷ 10-3 ), так и в генераторах релаксационных колебаний (ε - большая величина ~ 102 ÷ 104). В автогенераторе R2 можно положить равным 0.
Рабочую точку на ВАХ туннельного диода для автогенераторов выбирают на середине отрицательного участка ВАХ туннельного диода. Т.к. R2 = 0, то нагрузочная линия пройдет перпендикулярно к оси абсцисс.
Аппроксимируем ВАХ полиномом третьей степени φ(V)= - k1V + k2 V3 (укороченным полиномом).
k1 = | Gд | - туннельного диода.
Методы применяются и для анализа вынужденных колебаний и для анализа процессов установления автоколебаний.
Основная идея, метода малого параметра, заключается в следующем - пусть дифференциальное уравнение (или система уравнений), описывающие поведение колебаний в цепи удается представить в таком виде, что его правую часть входит малый параметр ε. Например,
(1)
Если решение при известно и равно, например,S0(t), тогда при решениеS(t) ищется в виде ряда по степеням малого параметра
(2)
Максимальная величина степени ε в решении определяет степень приближения. Путем подстановки решения вида (2) в исходное уравнение (1) и выполнения ряда преобразований можно получить уравнение для определения поправок приближений Sν(t). Обычно 1е приближение находится легко, 2е находится значительно труднее 1го, 3е еще труднее и т.д. Однако, часто удовлетворительным оказывается уже 1е или 2е приближение.
Быстро и правильно выбрать порождающее решение S0(t) и определить, что следует использовать в качестве малого параметра ε, удается только для уравнений 2го порядка.
Существуют различные разновидности методов малого параметра. Наиболее строгим является асимптотический метод Крылова-Боголюбова.
Рассмотрим подробно один из методов малого параметра – метод медленно меняющегося амплитуд анализируя с его помощью установление колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.
В методе медленного меняющегося амплитуд предполагается, что кроме условия малости параметра ε <<1, выполняется условие малости относительного изменения амплитуды А за период Т, т. е. .
Схема автогенератора на туннельном диоде представлена уравнение, описывающее колебание в цепи можно составить используя
1 закон Кирхгофа (МУН) после дифференцирования получим. Полное напряжениеUn содержит постоянную составляющую Е0 и переменную U, (Un=E0+U).
Для переменной составляющей дифференциальное уравнение принимает вид
Используя для аппроксимацию полиномом 3й степени, разложения в ряд Тейлора функции.
Окончательно получим уравнение вида
называемое уравнением Ван-дер-Поля
Уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательные процессы в большом классе разнообразных нелинейных цепей. Параметр может принимать значение от долей д сотен если <<1, то уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательный процесс близкий к гармоническому, если >>1 – то оно описывает релаксационный колебательный процесс.
Пусть в нашем случае
Пусть .
Имеем решение в виде , (при, имеем, поэтому при малых решение должно незначительно отличаться от . Найдем производные и подставим результат в Ур-е Ван-дер-Поля.
Подставляя имеем
Если разделить уравнение на А. и так как sin=0 получим
или . Для установившихся, т.е для смежнопарных колебаний. Следовательно 4А2=А4, откуда А=2
Таким образом . Учитываяполучаемэтот рядок был получен при использовании метода гармонической линеаризации.
Возвращаясь к уравнению описывающему амплитуды колебаний в автогенераторе . Заменим, тогдаоткуда
Разделяем переменные и интегрируем ,
а) замечаем, что по мере увеличения ,(это было найдено ранее, и является признаком правильности)
б) при малых, а также при малой амплитуде А0<<1, имеем ,
Получен знакомый по методу линеаризации результат – экспоненциальное нарастание амплитуды пока колебания малы. Т.е. метод медленно меняющихся амплитуд объединил результаты методов линеаризации и метода гармонической линеаризации и позволил кроме того определить характер установления колебаний.