§3.3.Методы малого параметра. Метод последовательных приближений.

Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение, вырождается в линейное с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр ε является «малым». Говоря о таком математическом аппарате, имелось в виду, прежде всего теория возмущений, разработанная для изучения движения планет.

Идея метода последовательных приближений заключается в представлении решения нелинейного уравнения, содержащего малый параметр ε в виде степенного ряда по малому параметру ε.

x(t) = x₀ + εx₁ + ε²x₂ + ε³x₃ + …

Причем быстро выяснилась существенная трудность, состоящая в невозможности использования полученных решений за достаточно длительный промежуток времени. Дело в том, что обычные разложения по степеням малого параметра приводят для искомых величин, характеризующих движение, к приближенным формулам, в которых наряду с членами, гармонически зависящих от времени, присутствуют еще и так называемые секулярные слагаемые вида

t^msinωt, t^mcosωt

в которых время t входит вне sin или cos. Вследствие этого область применимости получаемых приближенных формул ограниченна слишком коротким интервалом времени.

Рассмотрим конкретное уравнение

; где α>0 и γ>0. (1)

которое может интерпретироваться как уравнение незатухающих колебаний, некоторой массы m, притягиваемой к положению равновесия восстанавливающей упругой силой

p(x) = αx + γx³. (2)

Будем считать, что . Причем ε мало. Образуем приближенное решение с точностью до величин второго порядка малости

х(t) = x₀(t) + εx₁(t). (3)

Подставим (3) в (1) и, группируя слагаемые по степеням малого параметра ε находим

; (4)

; (5)

Из (4) находим х₀ = аcos(ωt + θ) (6)

и подставляя в правую часть уравнения (5), получаем

. (7)

Из математического анализа известно, что если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид е^px(A₀x^s + A₁x^s-1 + … + A_s), то если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде

Если же р является корнем характеристического уравнения кратности α (этот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде

Так как в нашем случае для уравнения (7) мы имеем резонансное решение, то после отыскания коэффициентов находим

x(t) = acos(ωt + θ) (9)

В найденном решении имеется секулярное слагаемое

и, следовательно, колебания представленные формулой (9), должны раскачиваться, а их амплитуда при неограниченном возрастании t должна неограниченно возрастать, что находится в явном противоречии с характером точного решения уравнения (1), которое выражается через элептические функции и имеет следующий вид:

x(t) = x_max cn, где cn, K обозначают соответственно элептический косинус и полный элиптический интеграл первого рода.

Ряд (9) из-за присутствия секулярных членов не пригоден не только для количественного, но и для качественного анализа поведения решения уравнения (1) на всей действительной оси. Заметим еще раз, что наличие в разложении (9) секулярных членов ни в коем случае не означает, что уравнение (10) вообще не имеет периодических решений. Это свидетельствует только о несоответствующем выборе разложения.