§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи.

Напомним, что процессы в параметрических R – цепях описываются алгебраическими уравнениями с переменными коэффициентами и прохождение сигналов через такие цепи выражается формулой: , гдеk(t) – параметрический коэффициент передачи, определяемый видом системы уравнений. В общем случае на основании правила Крамера коэффициент передачи можно получить в виде где- определитель системы уравнений,- соответствующее алгебраическое дополнение, А(t) – коэффициент, определяющий изменение размерности сигнала на каком-либо этапе решения задачи.

Следует иметь в виду, что анализ спектрального состава отклика параметрической цепи требует использования аппарата двойных рядов Фурье. В некоторых случаях удается использовать общий ряд Фурье с последующим применением тригонометрических формул.

Напомним основные формы представления функций с периодом рядами Фурье:

, где

; n=0;1;2…

; n=0;1;2…

где ;;

где .

Проиллюстрируем анализ процессов в R – цепях примерами.

Пример I. Определить коэффициент передачи параметрической R – цепи, представлено на рис.1.1

Рис.1.1

откуда

Если - периодическая функция с периодом, (- круговая частота первой гармоники колебания параметра), тои его спектр определяется рядом Фурье, например, в такой форме

, где

Пример 2. Коэффициент передачи параметрической R – цепи периодически изменяется по закону, представленному на рис.1.2. Определить спектр К(t) в тригонометрическом базисе и построить график его амплитудной части.

Рис 1.2

Используя таблицу разложения функции в ряд Фурье находим:

Для нечетной функции

где

Пример 3. Ко входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи,

рассмотренном в предыдущем примере, предложено гармоническое колебание

Рис.1.4

§2.4. Прохождение сигнала через параметрические

цепи первого порядка.

Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид

+ a(t)*S = f(t)

Как известно, такие дифференциальные уравнения, как правило, допускают непосредственное интегрирование и их решение можно представить в квадратурах. Однако очень часто полученное решение нельзя выразить в известных функциях, кроме того, его форма может не соответствовать конечным целям исследования. Например, полученное выражение в замкнутом виде трудно поддается спектральному анализу, проверке на устойчивость и т.д.

Общий подход к анализу параметрических цепей первого порядка основан на традиционных методах дифференциальных уравнений и заключается в том, что сначала ищется решение однородного уравнения

+ a(t)*S = 0,

а затем произвольная постоянная С заменяется на С(t), которая определяется после подстановки решения S_св(t) однородного уравнения в искомое (метод Лагранжа).

Однако, так как получаемые этим методом решения не всегда удобны для анализа, в радиотехнике разработаны специальные приемы и методы решения указанных уравнений. Наибольший практический интерес представляет анализ параметрических цепей при постоянном и моно гармоническим воздействиям, так как все другие воздействия можно свести к суперпозиции этих воздействий.

Пример. В цепи изображенной на рис 2.14 генератор развивает напряжение e(t) = U₀ e^iωt;

R(t) параметрическая емкость меняется по закону

C(t) = , где μ – коэффициент

e(t) R емкости. Найти закон изменения и определить

спектральный состав тока в цепи.

Уравнение для тока имеет вид R i + i(τ) dτ = e(t) .

Для того, чтобы привести наше уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка, запишем его относительно заряда, который связан с током по закону i(t) = . Кроме того, подставим выражения дляC(t) и e(t):

R + q = U₀ e^iωt,

где a = , b = , p = .

Общее решение данного уравнения известно:

q= e ^- [ e dτ + C ] .

Интегралы в показателях экспоненты являются табличными

q = .

Оставшийся интеграл не берется в известных функциях. Воспользуемся следующим разложением

= .

и, обозначив z = iaμ , перепишем последнее выражение в форме

q = J_-n(z) e [b ] =

= C + b

Постоянная С определяется из начальных условий, первый член этого выражения сплывает свободный процесс, а два других – установившийся. Рассмотрим произведение рядов во втором члене:

Обозначив перепишем общее решение в виде

,

а затем

где :

Функции

Введены В.К.Туркиным и носят его имя; для этих функций составлены таблицы при различных значениях параметров .

Для установившегося режима окончательное выражение, принимает вид:

Свободный процесс описывается выражением

где С определяется из условия q_св(0) = q₀.

Полученные выражения дают полное решение задачи для установившегося режима как при гармоническом воздействии вида cosω₀t, sin ω₀t, e^±it, так и при постоянном воздействии U₀ = 0, причем ответ выражается в виде суммы гармонических составляющих.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с параметрическим коэффициентом изменение, которого представляется в самом общем виде

Пусть , что допускает разложение в ряд Фурье

пусть , тогда общее решение имеет вид

Введем следующие обозначения

а

тогда получаем

Т.к. ипериодические функции, поэтому их можно разложить в ряд Фурье;

Тогда общий вид решения примет вид:

где: , а

Пример. Найти установившийся процесс в цепи, содержащей параметрический

резистор и катушку индуктивности, у которой R(t) = ( 1 + sn Ωt ) , где sn Ωt – меандровая характеристика sn Ωt = ,

Ω = , и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

,

где введено безразмерное время τ = Ωt, а разложение в обобщенный ряд Фурье

В соответствии с общей методикой нужно найти вспомогательные формулы

; выполним вычисления

,

,

Тогда комплексную амплитуду рядов Фурье получаем в виде:

представленные интегралы здесь вычисляются и можно найти в любом справочнике

Можно чтобы не вычислять интеграл для нахождения , получить формулы связии

В первом равенстве делаем замену переменных , тогда

Принимая во внимание свойство «нечетных рядов» ; ,

а также то, что интеграл периодической функции, взятый по длине, равной периоду, не зависит от начала отсчета, получаем:

, где

для установившегося процесса получаем

Суммы, входящие в последние выражения известны, поэтому путем простых преобразований, получаем:

, где

Из последних выражений как частные случаи следуют решения ряда задач. Например, рассмотрим цепь, в которой резистор R₂ выключается с частотой Ω. Пусть к цепи приложено постоянное напряжение Е. Необходимо найти ток протекающий по такой цепи.

. В последних выражениях положим:

Тогда после простых преобразований

где

. В последних выражениях положим: