§3.5.Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.

Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля

(9)

Это уравнение описывает широкий спектр колебаний в различного типа автогенераторах. Параметр ε изменяется в широких пределах от 10^-3 до 10⁴. Это уравнение описывает процесс развития и установления колебаний, как в автогенераторах гармонических колебаний (ε - малая величина ~ 10^-2 ÷ 10^-3 ), так и в генераторах релаксационных колебаний (ε - большая величина ~ 10² ÷ 10⁴). В автогенераторе R₂ можно положить равным 0.

Рабочую точку на ВАХ туннельного диода для автогенераторов выбирают на середине отрицательного участка ВАХ туннельного диода. Т.к. R₂ = 0, то нагрузочная линия пройдет перпендикулярно к оси абсцисс.

Аппроксимируем ВАХ полиномом третьей степени φ(V)= - k₁V + k₂ V³ (укороченным полиномом).

k₁ = | G_д | - туннельного диода.

Методы применяются и для анализа вынужденных колебаний и для анализа процессов установления автоколебаний.

Основная идея, метода малого параметра, заключается в следующем - пусть дифференциальное уравнение (или система уравнений), описывающие поведение колебаний в цепи удается представить в таком виде, что его правую часть входит малый параметр ε. Например,

(1)

Если решение при известно и равно, например,S₀(t), тогда при решениеS(t) ищется в виде ряда по степеням малого параметра

(2)

Максимальная величина степени ε в решении определяет степень приближения. Путем подстановки решения вида (2) в исходное уравнение (1) и выполнения ряда преобразований можно получить уравнение для определения поправок приближений S_ν(t). Обычно 1^е приближение находится легко, 2^е находится значительно труднее 1^го, 3^е еще труднее и т.д. Однако, часто удовлетворительным оказывается уже 1^е или 2^е приближение.

Быстро и правильно выбрать порождающее решение S₀(t) и определить, что следует использовать в качестве малого параметра ε, удается только для уравнений 2го порядка.

Существуют различные разновидности методов малого параметра. Наиболее строгим является асимптотический метод Крылова-Боголюбова.

Рассмотрим подробно один из методов малого параметра – метод медленно меняющегося амплитуд анализируя с его помощью установление колебаний в автогенераторе на туннельном диоде.

В методе медленного меняющегося амплитуд предполагается, что кроме условия малости параметра ε <<1, выполняется условие малости относительного изменения амплитуды А за период Т, т. е. .

Схема автогенератора на туннельном диоде представлена уравнение, описывающее колебание в цепи можно составить используя

1 закон Кирхгофа (МУН) после дифференцирования получим. Полное напряжениеUn содержит постоянную составляющую Е₀ и переменную U, (U_n=E₀+U).

Для переменной составляющей дифференциальное уравнение принимает вид

Используя для аппроксимацию полиномом 3й степени, разложения в ряд Тейлора функции.

Окончательно получим уравнение вида

называемое уравнением Ван-дер-Поля

Уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательные процессы в большом классе разнообразных нелинейных цепей. Параметр может принимать значение от долей д сотен если <<1, то уравнение Ван-дер-Поля описывает колебательный процесс близкий к гармоническому, если >>1 – то оно описывает релаксационный колебательный процесс.

Пусть в нашем случае

Пусть .

Имеем решение в виде , (при, имеем, поэтому при малых решение должно незначительно отличаться от . Найдем производные и подставим результат в Ур-е Ван-дер-Поля.

Подставляя имеем

Если разделить уравнение на А. и так как sin=0 получим

или . Для установившихся, т.е для смежнопарных колебаний. Следовательно 4А²=А⁴, откуда А=2

Таким образом . Учитываяполучаемэтот рядок был получен при использовании метода гармонической линеаризации.

Возвращаясь к уравнению описывающему амплитуды колебаний в автогенераторе . Заменим, тогдаоткуда

Разделяем переменные и интегрируем ,

а) замечаем, что по мере увеличения ,(это было найдено ранее, и является признаком правильности)

б) при малых, а также при малой амплитуде А₀<<1, имеем ,

Получен знакомый по методу линеаризации результат – экспоненциальное нарастание амплитуды пока колебания малы. Т.е. метод медленно меняющихся амплитуд объединил результаты методов линеаризации и метода гармонической линеаризации и позволил кроме того определить характер установления колебаний.