Ч 3 Матанализ интернет-материалы

1.12. Число е как предел монотонной последовательности

Доказательство заключается в установлении следующего неравенства:

раниченной сверху. По признаку сходимости монотонной последовательности из этого делается вывод о существовании ее предела e 2,7 1828 1828 459045....

Эта формула допускает обобщение на произвольную бесконечно малую последовательность n с ненулевыми элементами

1

lim 1 n n e .

n

2.ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

2.1.Понятие функции. График функции. Способы задания функции

Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества

Множество изменения функции Y называется областью значений функции

(ОЗФ) и обозначается E f .

В этом случае переменная величина x называется независимой перемен-

ной или аргументом, величина y - функцией (от x ).

Множество точек x, f x плоскости Oxy называется графиком функции y f x .

Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы.

22

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f x называется ограниченной на множестве x , если найдутся такие действительные числа m и М, что для всех x x выполняются неравен-

ства m f x M .

Например, функция y sin x ограничена на всей числовой оси; y x3 ог-

раничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x .

Пусть y f x определена на множестве D f и множество G D f .

функция f x называется соответственно возрастающей, неубывающей, убы-

вающей и невозрастающей на G.

Все четыре типа в совокупности называются монотонными на G, а возрастающие и убывающие - строго монотонными на G.

24

2.3. Обратная функция. Сложная функция

Если функция x g y осуществляет отображение

множества Y в множество X , то y f 1 x , которая получается, если в функ-

ции x g y аргумент обозначить через x , а зависимую переменную через y ,

называется обратной к f x .

25

1

1.2. y xn , x 0.

1.3. y nx .

1.4. y x , .

26

3. Тригонометрические функции

4. Обратные тригонометрические функции

27

arcsin x arccos x , arctg x arcctg x , arctg x arctg 1 .

3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

3.1.Предел функции в точке

Определение по Коши

Число A называется пределом функции y f x в точке a , если для лю-

бого сколь угодно малого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое, что для любого x , входящего в область опре-

28

Неравенства порождают окрестности точек. Таким образом, для любой-окрестности точки A можно найти -окрестность точки a , такую, что все

личных от a , соответствующая последовательность f xn значений функции

y f x сходится к числу A , т.е. выполняется равенство lim f xn A .

n

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

3.2. Предел функции в бесконечности

Число A называется пределом f x при x ( x ), если

0 M x M : f x A 0 M x M : f x A .

29

ПРИМЕР. Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что

lim x2 16 .

x 4

Чтобы доказать существование предела f x при x a , следует для любого

16 x 16 . Так как нас интересуют значения x , близкие к 4, то

x x , и 16 x 16 , 16 4 x 4 16 4. Из двух расстоя-

ний, 4 16 и 16 4, нужно выбрать наименьшее. Покажем, что

4 16 16 4. Действительно, 8 16 16 и получаем оче-

видное неравенство 64 32 2256 2 . Таким образом,

16 4 .

начает, что lim x2 16 .

x 4

ПРИМЕР. Докажем, что предел lim sin x не существует.

x

В определении Гейне предполагается, что {xn} – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последователь-

30

ПРИМЕР. Вычислите односторонние пределы функции y x 3 . x 3

По определению модуля

3.4. Бесконечно малые функции и их свойства

Функция x называется бесконечно малой в точке a , если lim x 0.

x a

Аналогично определяется функция, бесконечно малая при x

( x ).

Свойства бесконечно малых функций:

1. Если lim x lim x 0 , то lim x x 0 .

Свойство может быть расширено: сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

x 0, а sin 1 - ограниченная функция. x

3. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

3.5. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции 1 x и 2 x являются бесконечно малыми при x x0 .

Если lim 1 (x) A, то возможно несколько ситуаций:

x x0 2 (x)

31