Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

sin 2t

sin

lim

t 0

sin x 1 1 2 ln 2

t 0

sint

2ln 2

lim

t ln 2

ln 2

t 0

Вычислите предел lim

ex e

x 1 sin

РЕШЕНИЕ:

x t 1

lim

et 1 e

x 1

sin

t 0

sin t 1

lim

sin t

t 2

t 0

t 0 t

sin2 x

Вычислите предел lim

x 0

РЕШЕНИЕ:

sin

1 x 2

lim

x 0

1 x 5

sin2 x

lim 1

x 0

1 x

1 x2 5

x2 2x 5x

2x 5x

1 x2

sin2 x

lim 1

x 0

1 x

x2 2x 5x

lim

lime

1 x2

sin2 x

ex 0

1 x2 5x

sin2 x

x 0

lim 2x 5x

lim

x ln 2 ln5

e0 1.

ex 01 x2 5x

ex 0

1 x2 5x

2x 1

ln 3 2 x

ln 2 x

Вычислите предел lim

x 1

102


РЕШЕНИЕ:
2x 1		ln 3 2x		x t 1

		ln 2 x
lim			1
lim			1
x 1
x 1				t 0
	x			t 0

ln 3 2 t 1

2 t 1 1

2 t 1

lim

t 0

t 1

1 2t

ln 2t 5

ln 1 t

lim

lim 1

t 0

t 1 t

ln 2t 5

2t 5

t 1

ln 1 t

t 1

ln 1 t

lim 1

lime

t 0

ln 2t 5

ln 5 ln 1

lim

e t 0

t 1

ln 1 t

lim

e ln5

2 x

x 1

Вычислите предел lim

x 1

РЕШЕНИЕ:

2 x

x 1

t 1

2 2t

2 t

lim

x 1

t 0

x 1

2 t

4e .

lim

t 0

4.3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

№		Задание			Ответ
	Найдите область определения и множество
		f x
	значений функции	f x	4x x2 .
43	ООФ находим из условия 4x x2 0			,	x 0, 4 ,
	ООФ находим из условия 4x x2 0			,
	x x 4 0 x 0, 4 .
	x x 4 0 x 0, 4 .				y 0, 2

103

	y 0,
ОЗФ находим из условий:		2 0.
x2 4x y		2 0.

Допустимые значения параметра y

удовлетворяют неравенствам:

		y	2	0,	y	2,
D 0,	4
		y 0				y 0, 2 .

y 0					y 0

Изобразите график функции

	x	1,	если 2 x 1;
			если	1 x 1;

f (x) 1 x2 ,
	x	1,	если	1 x 2.

				2	y
	РЕШЕНИЕ:			2
	РЕШЕНИЕ:			1
44				1
44	На полуинтервале [-1, 1) функция					x
	На полуинтервале [-1, 1) функция					x
	имеет вид смещенной параболы,	-2	-1	0	1	2
	имеет вид смещенной параболы,	-2	-1		1	2
	ветви которой направлены вниз.				-1
	ветви которой направлены вниз.
	Вне этого полуинтервала

f x x 1,

т.е. y x - опущенный на 1 вниз

стандартный график.

	Изобразите график функции
		1, x 0,
45	y sgn x - знак
45	y sgn x - знак	x , sgn x 0, x 0,

		1, x 0,

x x : x , y 1,0,1

Функция y x - целая часть x

(наи-большее целое, не превосходящее x )

46D f x x : x ,

E f y y :целые числа ;

эта функция может быть задана в виде

104

...

x 1;2 ,

x 0;1 , .

x 0,

x 1;0 ,

...

Найдите g x , если f x

2x 3

g f x x . Вычислите g 5 .

g x

;

f x

2x 3

;

2x 2

f x

2 f x

2x 3

g 5 1,6.

значит,

;

2 f x

2x 2

g 5 1,6.

Вычислите односторонние пределы функции

x 1

y в точке x = 1.

Вточке x = 1 функция не определена, потому что знаменатель равен нулю. По определению модуля

x 1, если x 1;

x1 (x 1), если x 1.

48	Левый предел:	lim 1 1
		x 1 0

lim	x 1	lim	(x 1)	lim 1 1.

	x 1		x 1
x 1 0		x 1 0		x 1 0
Правый предел:

lim	x 1	lim	x 1	lim 1 1.

	x 1
x 1 0		x 1 0 x 1		x 1 0

Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, функция имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода.

Установите, какого рода разрыв в точке х = 0

имеет функция f x tgx . x

РЕШЕНИЕ:

В теории пределов был доказан 1-й

105

замечательный предел lim

sin x

x 0

следствием которого является предел

lim

tgx

1. В самой точке х0 = 0 функция не

точка

x 0 x

устранимого

определена. Следова-тельно, выполняется

разрыва

определение точки устра-нимого разрыва.

Вычислите односторонние пределы lim 7

2 x

x 2 0

РЕШЕНИЕ:

lim

7 0 ,

lim 72 x

lim7

7 0

lim 72 x

x 2 0

lim

lim 72 x

lim 7

7 0 7 .

x 2 0

Функция имеет в точке x =2 разрыв 2-го рода.

Докажите (найдите ), что функция f x

непрерывна в точке x0 , если f x 5x2 5,

x0 8.

РЕШЕНИЕ:

По определению непрерывности требуется доказать, что lim f x 5 82 5 325.

x 8

По определению предела требуется доказать,

что

0 0 x :

x a

f x À

1). Возьмем произвольное 0.

2). Так как

f x À

5x2

5 325

5x2 320

x2 64

, то из

x2 64

получим

min 1,

3). Тогда если 0

x a

, то

f x A

x 8

5 9 , ч.т.д.

Определите точки разрыва функции

x2 ,

если 0 x 1;

и исследовать

разрыв 1-го рода

f (x)

если 1 x 2

2x 3,

106

характер разрыва. РЕШЕНИЕ:

Функция имеет различный вид на отрезке [0, 1] и полуинтервале (1, 2], поэтому точка х = 1 может быть точкой разрыва.

Левый предел: lim		f (x)	lim x2 12 1.
	x x0 0		x x0 0
Правый			предел:
lim f (x)	lim 2x 3 2 1 3 5.
x x0 0	x x0 0

Односторонние пределы существуют и не равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода.

	Определите точки разрыва функции
	1
	f x 2		и исследуйте их характер.
	f x 2	x	и исследуйте их характер.
	РЕШЕНИЕ:
	Функция не определена, следовательно,
	разрывна в точке х = 0.
	Вычислим левый предел, учитывая, что
	показательная функция y = ax, a > 1,
	стремится к нулю при х - . Кроме того,
	функция
	y = 1/x является бесконечно					большой,	х = 0 – точка
53	потому что х 0 и х < 0. Итак, lim					21 x 0.	х = 0 – точка
					x 0 0		разрыва 2-го рода.
	Вычислим правый предел, учитывая, что
	показательная функция y = ax, где a > 1,
	стремится к бесконечности при х + .
	Кроме того, функция является бесконечно
	большой, потому что х 0 и х > 0. Итак,
	lim 21 x .
	x 0 0
	Поскольку правый предел бесконечен по
	определению, то точка х = 0 является
	точкой разрыва 2-го рода.

	Установите, какого рода разрыв в точке х =
54	0 имеет функция						устранимый разрыв
54			f x	arctgx			устранимый разрыв
				arctgx
				sin x
				sin x

107

РЕШЕНИЕ:

lim

arctgx

lim

x 0 0 sin x

x 0 0 x

Односторонние

пределы

существуют и

равны друг другу. Следовательно, точка х =

1 является точкой устранимого разрыва,

устранить который можно, доопределив

функцию:

f (0) 1.

Имеет ли корень уравнение

sin x x 1 0 ?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим функцию

f x =sin x x 1, которая непрерывна на

всей числовой оси, поскольку является

суммой непрерывных на числовой оси

да

функций y sin x и y x 1. Легко

установить, что функция меняет знак,

поскольку

f 0 1, а f 2 2 1 0 .

Следовательно, функция равняется нулю

внутри отрезка [0, 2 ], то есть имеется по

крайней мере один корень исходного

уравнения.

Исследуйте поведение функции

f x

sin x

в точке

РЕШЕНИЕ: В точке x0

0 функция не

определена,

lim

sin x

lim

sin x

x 0

является точкой устранимого разрыва.

Чтобы функция стала непрерывной в

точке x0 0, положим

f 0 lim f x 1.

x 0

108

Принимает

ли

функция

f (x)

sin x 3

значение

внутри

отрезка [-2, 2]?

РЕШЕНИЕ:

Функция является непрерывной на [-2,

2]. Кроме того, на концах отрезка функция

да

принимает числовые значения f (-2)=1,

f (2) = 5.

Так как 1 2

5, то найдется точка c (-

2, 2) такая, что f c 2

Найдите

функцию,

обратную

функции

f x x 1 2 при x 2 .

РЕШЕНИЕ:

y x 1 2 ,

x , 2 , y 1, .

При x 2

функция y x 1 2

монотонно

убывает, значит, существует обратная.

Выразим x через y , учитывая, что y 0.

f 1 x x 1

x 1,

x 1

Получим:

x 2

1. Поменяем местами x и y .

f 1 x

x 1, ,

f 1 x , 2 .

109

Область определения и область значений исходной и обратной функции меняются местами. Графики функций симметричны относительно прямой y x .

110

4.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

№

Задание

Ответ

Пользуясь только определением производной, найдите

производную функции f x log2 x.

РЕШЕНИЕ:

log2 x x

log2 x

y log2 x ,

log2

lim

x 0

x x

x x x

lim

log2

lim log2

log

2 e

x 0

lim

log2 1

log2

x 0 x

x 0

log2 e ,

log2

log2 e .

x, x 1,

, x0 1 найдите

Для заданной f x

f ' x0 и f ' x0 .

x2 2x, x 1

РЕШЕНИЕ.

f ' 1 lim

f x f 1

lim

x 1

1 и

1,0

x 1 0

x 1

x 1 0 x 1

f ' 1 lim

f x f 1

lim

x2 2x 1

lim x 1 0.

x 1

x 1 0

x 1

x 1 0

f x

. Найдите коэффициенты a

Пусть

и b такие, чтобы функция f x была непрерывна и диф-

ференцируема в любой точке.

РЕШЕНИЕ:

f x

в окрестности точки x 1.

Рассмотрим поведение

x ax2

Пусть

b . Тогда для непрерывно-

сти f x

f1 1 f2 1 ,

a b 1. Для диф-

необходимо

ференцируемости необходимо f 1

1 ,

111

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc