Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2) если A 1, то 1 x и 2 x называются эквивалентными. Обозначе-

ние: 1 x 2 x ;

3)если A 0, то функция 1 x называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с 2 x . Обозначение: 1 x o 2 x .

4)если x 1 x и x 1 x являются эквивалентными бесконеч-

но-малыми при x x , то lim				x	lim		1 x		.

0		x x0 x				x x0 1 x

Доказательство: lim	x		x 1			x 1		x
		lim
						x
x x0 x		x x0 x						x
					1	1

	x
lim

x x0	1 x

1 x

lim

1 x

x x0 1 x

x x0 x

x x0 1 x


Аналогично: если 1 x 2			x при x x0 , то
1).	lim f (x) 1 (x) lim f (x) 2 (x) ;
	x x0			x x0
2). lim		1(x)	lim	2 (x)	;

	x x0 f (x)		x x0 f (x)
3).	lim f 1(x) lim f 2 (x) .
	x x0		x x0

ПРИМЕР. Функции 1 x х2 и 2 x 2х2 х3 являются бесконечно малыми одного порядка малости при х 0 так как

lim

х2

lim

х2

lim

x 0 2x2 х3

x 0 x2 2 х

x 0 2 х 2

В то же время функции 1 x х2

и 2 x 2х2 х

не являются бесконечно

малыми одного порядка при x 0 , так как

lim

х2

lim

х2

lim

x 0 2х2 х

x 0 x 2х 1

x 0 2х 1

Таким образом,

1 x х2 имеет более высокий порядок малости при х 0

чем 2 x 2х2

х .

ПРИМЕР. Функция 1 x е х

является бесконечно малой более высокого по-

рядка малости при х чем

2 x 2 х . Действительно,

lim

е х

lim

е х

lim е

х ln 2 x

lim е

х ln 2 1

x 2 х

x е ln 2 х

3.6. Бесконечно большие функции и их свойства

Функция	f x называется бесконечно большой в точке a , если
lim f x M M 0 x 0		x a	f x	M .


x a	определяются функции, бесконечно большие при x
Аналогично
x .

Функция, бесконечно большая при x a , является неограниченной в окрестности точки a , но обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой.

Функция f	x	1	является бесконечно большой при x 0 , так как для

1		x

любого числа M можно указать окрестность точки x 0, в каждой точке которой f x M .

	1
	sin
	sin
Функция f2 x	x	является неограниченной при	x 0 ,		но беско-
Функция f2 x	x	является неограниченной при	x 0 ,		но беско-
	x
нечно большой не является. Для этой функции для любого числа M в каждой
окрестности точки x 0 можно указать точку, в которой				f x	M , но в
окрестности точки x 0 можно указать точку, в которой				f x	M , но в

этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, f x 0.

Свойства бесконечно больших функций:

1.Произведение функции, бесконечно большой в точке a , на ограниченную и отличную от нуля функцию есть функция бесконечно большая в точке а.

2.	Произведение функций, бесконечно больших в точке a , есть функция
	бесконечно большая в точке а.
3.	Сумма функций, бесконечно больших в точке a , может не быть беско-
	нечно большой функцией.

ПРИМЕР. Пусть f x , g x - бесконечно большие при x .

1). Если f x x , g x 1 x2 , то f x g x 1 x x2 является бесконечно

большой функцией.

2). Если f x x , g x 1 x , то f x g x 1 не является бесконечно боль-

шой функцией.

3.7. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Если x - бесконечно малая функция при x a и x 0 при x a ,

то x - бесконечно большая функция при x a . Если x - бесконечно

большая при x a , то x - бесконечно малая.

3.8. Свойства функций, имеющих предел

Теоремы этого раздела сформулированы для пределов в точке							x0 , но все
они справедливы и для пределов при x .
Теорема 1
Если lim f (x) A, A , то f x A x , где lim x 0 .
x x0				x x0
Доказательство:
Если lim f (x) A,	то, по определению Коши, при произвольном 0 вы-
x x0		f x A			f x A	x .
полняется неравенство			. Обозначим				Тогда для
полняется неравенство			. Обозначим				Тогда для

любого 0 выполняется x . Но это и означает, что x – бесконечно

малая при x x0 .

Справедливо и обратное утверждение: если функция f x представима в

виде f x A x , где lim x 0 , то существует lim f (x) A.

x x0 x x0

Теорема 2

Пусть функции y		f (x) и y x определены в окрестности точки x0 D .
Если lim f x A и		lim (x) B , то
x x0		x x0
1)	lim f x x lim f x lim x ,
	x x0	x x0	x x0
2)	lim f x x lim		f x lim x ,
	x x0	x x0	x x0
3)	lim k f x k lim f x ,
	x x0	x x0

	f x	lim f x	, где lim x 0 .
4) lim		x x0

		lim x
x x0	x		x x0
		x x0

Доказательство первого утверждения теоремы 1.

Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой следует, что

f x x A x B x A B x x A B x .

Так как x x x , lim (x) lim (x) (x) 0,

получаем

x x0

lim f (x) (x) A B lim

f (x) lim (x).

x x0

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

x 2 x2

f (x)

x2 5

x 2

Функция

определена в точке

, поэтому

x2 3

lim

(2)

9 .

x 2 x2

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

x3 x

3x2

x x3

От бесконечно больших значений аргумента перейдем к бесконечно малым. Для этого, как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на x3 :

lim		x3 x			lim	1 1 x2				1 0		1.

	3	3x	2	1		3 x 1 x		3	1 0 0
x x		3x		1	x 1	3 x 1 x			1 0 0
							9 5x 4x2		3
ПРИМЕР. Вычислите предел lim											.
ПРИМЕР. Вычислите предел lim							x				.
					x 0		x

Непосредственно подставляя число x0 0 в функцию, получаем неопределен-

ность	0	. Учтем формулу a b a		b a		2	b	2	и умножим числитель и зна-


	0
менатель на выражение					3 :
менатель на выражение			9 5x 4x2		3 :

Функция

										2 3 2
									9 5x 4x2
lim	9 5x 4x2 3				0	lim			9 5x 4x2


x 0			x		0	x 0	x 9 5x 4x2 3
lim	9	5x 4x2		9		lim			5 4x			5	0	5	5	.


x 0 x			9 5x 4x2 3			x 0		9 5x 4x2 3			9 0 0 3			3 3 6

3.9. Предельный переход в неравенствах

Теорема о сохранении знака неравенства при предельном переходе.

Если функции	y f (x) и y (x)	в окрестности точки x0 D удовлетворя-
ют неравенству	f x x	и имеют конечные пределы, то

lim f (x) lim (x).

x x0 x x0

Теорема о пределе промежуточной функции.

Если для функций f x , x , g x в окрестности точки x0 D выполняет-

ся неравенство f x x g x и lim	f (x) lim g(x) A, то функция x
x x0	x x0
имеет тот же предел lim (x) A.
x x0

4.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

4.1.Непрерывность функции в точке

Пусть функция y f (x) определена в окрестности точки x0 D .

Определение 1. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 ,

если функция определена в точке x0 , существует предел lim f (x) и при этом
	x x0
lim f (x) f (x0 ) .
x x0
При нарушении любого из трех условий: 1) f (x0 ) , 2)	lim f (x) ,
	x x0

3) lim f (x) f (x0 ) ) функция называется разрывной в точке x0 .

x x0

ПРИМЕР

x2 , x 0,

f (x) непрерывна в любой точке x0 0

1, x 0

и разрывна в точке 0 (нарушено второе условие определения).

Определение 2

Рассмотрим точку x0 D функции y f (x) и точку x x0 .

Величина x x x0 называется приращением аргумента, x x0 x .

Величина y f x0 x f x0 называется приращением функции, соот-

ветствующим данному приращению аргумента x .

Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция опреде-

лена в точке x0 и при этом lim y 0.

x 0

Итак, функция непрерывна в точке, если бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.

ПРИМЕРЫ

1. Функция y x2			непрерывна в произвольной точке					x	вещественной оси.
y x x 2								0
y x x 2		x	2 x 2	2x x x2	x	2 2x x x2.
	0	0	0	0	0		0
lim y lim 2x0 x x2 2x0 lim x lim x lim x 2x0 0 0 0 0.
x 0	x 0			x 0		x 0	x 0

2. Функция

y sin x непрерывна в произвольной точке x0

вещественной оси.

Если х 0, то из неравенства

0 sin x x следует, что

0 lim sin x lim x 0, т.е.

lim sin x 0. Если х 0 , то

х sin x 0 и анало-

x 0 0

limsin x 0.

гично получаем lim sin x 0. Таким образом

x 0 0

x 0

Используя второе определение непрерывности, в произвольной точке x0

lim sin x0 x sin x0 lim

имеем

2sin

cos x0

0 ,

x 0

так как

lim sin

0, а косинус является ограниченной функцией. Непрерыв-

x 0

ность синуса доказана.

3. Функция y = соs x непрерывна в произвольной точке x0

вещественной оси.

y = соs(x0 + x) - соs x0 = -2 sin ( x/2) sin (x0 + x/2),

lim y 2 lim sin

lim sin x0

0 ,

x 0

как произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

Так как lim x x0 , то для непрерывной функции
		x x0
lim f (x) f x0 f			lim(x)	, то есть символы функции и предела перестано-
x x0			x x0
вочны.
Определение 3
Функция y f x			называется непрерывной в точке x0 , если
1)	функция определена в точке x0 ,
2)	существуют односторонние пределы lim f (x),				lim f (x) ,
				x x0 0	x x0 0
3)	lim	f (x) lim f (x) f (x0 ) .
	x x0 0	x x0 0

Все три определения непрерывности равносильны.

Покажем, что 2-е определение непрерывности равносильно 1-му определению.

Используя арифметические свойства предела, получаем

lim	y 0,	lim f (x0	x) f (x0 ) 0,
x 0		x 0
lim	f (x0 x) lim f (x0 ) 0,			lim f (x0 x) f (x0 ) 0.
x 0		x 0		x 0
По определению приращения x = x – x0, поэтому lim f (x0					x) lim f (x) ,
				x 0	x х0
и тем самым lim f (x) f (x0 ) 0,			или	lim f (x) f (x0 ) .
x х0				x х0

Последнее равенство и означает 1-е определение непрерывности.

Используется также понятие односторонней непрерывности.
Функция	y f x	называется непрерывной в точке x0	слева, если функция
определена в точке		x0 и существует односторонний предел lim		f (x)	и при
			x x0 0
этом lim	f (x) f (x0 ) .
x x0 0
Функция	y f x	называется непрерывной в точке x0	справа,	если функ-
ция определена в точке x0 и существует односторонний предел				lim	f (x) и
			x x0 0
при этом	lim f (x) f (x0 ) .
	x x0 0

Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что функ-

ция непрерывна в точке x0 , если она непрерывна в ней справа и слева.

4.2. Непрерывность функций на множестве

Функция, непрерывная в любой точке множества D , называется непре-

рывной на множестве D .

Функция непрерывна на отрезке a,b , если она непрерывна на интервале

a,b , непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

4.3. Свойства функций, непрерывных в точке

Если функции y f x и y x определены на множестве D и непре-

рывны в точке x0 D , то функции			f x
f x x , k f x	k const ,	f x x ,
			x

непрерывны в точке x0 , причем частное требует условия x0 0.

В частности:

1). Многочлен P x a xn a

n 1

xn 1 ... a x a

непрерывен в любой точке

вещественной оси.

P (x)

a xn

... a x a

2). Дробно-рациональная функция R(x)

непрерыв-

Q (x)

b xm

... b x b

на в любой точке x0 вещественной оси, где Qm x0 0 .

Если функция y f x

непрерывна в точке x0 ,

то она ограничена в некоторой

окрестности этой точки.

4.4. Непрерывность основных элементарных функций

Основными элементарными функциями обычно называют следующие

функции:
y x , ax , loga x , sin x , cos x , tg x , ctg x , arcsin x , arccos x , arctg x ,							arcctg x .
Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке x0							их области
определения.
Непрерывность функций					sin x и cos x была установлена выше в п.4.1. Из
свойств непрерывных функций					следует, что функция tg x непрерывна всюду
кроме	точек	x	n,	n Z , а функция		ctg x всюду кроме точек

x n,	n Z .	2

5.ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Втеории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов.

5.1.Первый замечательный предел

Функция y sin x при x 0 имеет предел, равный 1: x

lim sin x 1.

x 0 x

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность.

Пусть

COB x,

0 x

OC OB r 1,

AC sin x, OA cos x,

BD tg x .

Сравнивая площади

треугольника OAC , сектора OBC и треугольника

OBD , получаем

S OAC SOBC S OBD ,

sin x cos x

sin x

2 cos x

Разделим двойное неравенство на

sin x

0 : cos x

. Неравенство

sin x

cos x

справедливо и для

x 0 , так как cos( x) cos x,

sin( x)

sin(x)

. Перейдем к

пределу при x 0 :

cos(x)

- функция непрерывная,

cos x cos(0) 1. Приме-

няя теорему о пределе промежуточной функции, получаем

1 lim sin x 1, то есть lim sin x 1.

x 0 x

В первом замечательном пределе имеет место неопределенность .

ПРИМЕР. Вычислите предел: lim sin 2x .

x 0 x

Если x 0, то и 2x 0 и тогда

lim	sin2x	0	lim	2 sin2x	2 lim	sin 2x	2 1 2.

		0		2 x		2x
x 0 x			x 0		x 0

5.2. Второй замечательный предел
	1	x
Функция y x 1			при x имеет предел, равный числу e :
Функция y x 1	x		при x имеет предел, равный числу e :
	x
					1 x	e
				lim 1			.
				lim 1			.
				x	x

Этот предел называется вторым замечательным пределом. Во втором замеча-

тельном пределе имеет место неопределенность 1 .

1 7 x

ПРИМЕР. Вычислите предел: lim 1

7 x

x 7

lim 1

5.3. Эквивалентные бесконечно малые функции при x 0

Первый и второй замечательные пределы позволяют установить эквивалент-

ность некоторых бесконечно малых функций и степенной функции при

x 0

1 cos x

ax 1 x ln a ,

loga 1 x

1 x

ln a

1 x 1 x .

Ряд эквивалентных бесконечно малых функций при x 0

x sin x arcsin x tgx arctgx shx ex 1 ln 1 x

ПРИМЕР. Докажем эквивалентность ех 1 х .

lim

ex 1

ex 1 t

lim

x ln 1 t

x 0

t 0 ln 1 t

lim

ln 1 t t

t 0

ln e

t 0

lim 1 t t

ПРИМЕР. Вычислите lim

ln(1 sin x)

x 0

sin 4x

При x 0 применим эквивалентность sin x x ,

sin 4x 4x .

lim

ln(1 sin x)

lim

ln(1 x)

lim

ln(1 x)

x 0 sin 4x

x 0 4x

4 x 0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc