Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

доказать, что для следующей

функции f x sin1/ x не

существует lim f x ,

x0 0.

x x0

5.349

Определить порядок малости x

3/2

относительно x x при x 0 ,

если

3 x3

1 x

5.359а

Доказать, что x x имеет 2-

й порядок малости относительно x

при x 0 , если x 1/ 1 x ,

x 1 x .

5.364

Доказать, что если x 1 x и

x 1 x при x x0 , то

1 x

lim

x x0 x

x x0 1 x

5.365

Используя результат задачи 5.364,

-1

вычислить предел

arcsin x / 1 x

lim

ln 1 x

x 0

5.366

Используя результат задачи 5.364,

ln10

вычислить предел lim

1 x

lg x

x 1

5.367

Используя результат задачи 5.364,

вычислить предел lim

cos x cos 2x

1 cos x

x 0

5.370

Используя результат задачи 5.364,

8/9

вычислить предел

lim

1 cos4x

x 0 2sin2 x xtg7x

5.351

Определить порядок малости x

относительно x x при x 0 ,

если x

1 cos x

5.359в

Доказать, что x x имеет 2-

47й порядок малости относительно x при x 0 , если x 1 x n ,

152

		x 1 nx n .
				ДЗ № 3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной перемен-
ной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов,
А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова,																									А.
С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
№	№ по					Задание								Ответ
п/	Еф.					Задание								Ответ
п	Еф.
п		Укажите все номера целых чисел
		Укажите все номера целых чисел
		данного множества
		1)	8 2		15	5	3 , 2)				7 log1	5 25	,
1		3)	7		2 , 4) 33 0, 15 , 5) 3 7 6 6 .											5)
			7		2
		1) 1,		2,	4	2) 4,		5		3) 2,		4
		4) 1,		3,	4	5) 1,		4,		5.
2	5.102	Найти f 1 , f					0,001 , f					100 ,		0, -6, 4
2		если		f x lg x2 .
		если		f x lg x2 .
	5.105	Найти f 0 ,				f x ,			f x 1 ,					1 x				x			,		2
					1			1						1,		,					,		,
					1			1						1 x			2 x					1 x
3		f x 1, f				,	f x			, если
3					x		f x							x 1, 1 x .
		f x 1 x .												x 1, 1 x .
		f x 1 x .												x 1 1 x
				1 x										D 3, ,
	5.106	Найти естественную область												D 3, ,
4		определения D и множество												E ,
		значений E функции y ln x 3 .
	5.108	Найти естественную область												D				2	k	2	,	2	2k 1	2	,
		определения D и множество												D			4		k		,		2k 1		,
5															k 0
5														E 0,1
		значений E функции y									sin		x .	E 0,1
	5.113 Найти естественную область опре-													D		1,1 , E 0,
6		деления D и множество значений E
																							4
											153

1 x2

функции y arcsin

5.116

Найти множество G, на которое

G 0,4

данная функция отображает

множество F:

y x2 ,

F 1,2 .

5.117

Найти множество G, на которое

G 1,2

данная функция отображает

множество F: y

2 .

5.119

Найти множество G, на которое

G 0,1/ 2

данная функция отображает

F 0,1 .

множество F:

x x2 ,

5.121

Найти множество G, на которое

G 0,

2 / 2

данная функция отображает

множество F:

y sin

F 0,1/ 2 .

5.123

Найти множество нулей

D0 1,2 ,

D 1,2 ,

D0 x

f x 0 , область

D , 1 2,

положительности D

f x 0

и область отрицательности

D x

f x 0 для данной

функции: f x 2 x x2 .

5.127

Показать, что функция y f x

удовлетворяет соответствующему

функциональному уравнению:

f x 2 2 f x 1 f x 0,

f x kx b .

5.131

Определить функцию y f x ,

f x x2 2

удовлетворяющую данному

, x 0.

условию: f x

5.137

Какова функция f x

Нечетная

(четная, нечетная, или ни четная, ни

нечетная)?

5.140

Доказать, что произведение двух

154

четных или двух нечетных функций

есть функция четная, а произведение

четной и нечетной – нечетная

функция.

5.145

Выяснить, является ли функция

Непериодическая

f x sin x2 периодической, и оп-

ределить ее наименьший период Т.

5.154 Найти обратную функцию и область

а)

x 1

ее определения, если исходная

функция задана в указанном

промежутке: y x2 1: а)

x ; 1/ 2 ; б) x 1/ 2, .

б)

x 1 ,

5.161

Найти композиции (f g) и (g f)

(f g) x ,

функции f x sin x , x , ,

(g f)

g x arcsin x .

x , x , / 2 ,

x, x / 2, / 2 ,

x , x / 2, .

5.164

Элементарную функцию f x

f u

, u x2

19записать в виде композиции основных элементарных функций.

5.176а	Построить график элементарной																		Парабола y x2 ,
20	функции y y0					a x x0 2 , если										смещенная вдоль оси Оу
	a 1, x0 0 , y0					1.															вниз на 1
5.177а	Построить график элементарной																	Гипербола y 1/ x ,
21	функции y y0							k		, если k 1,						смещенная вдоль оси Оу
21	функции y y0						x x0			, если k 1,						вниз на 1 и вдоль оси Ох
							x x0									вниз на 1 и вдоль оси Ох
	x0 1,		y0 1.																		вправо на 1
5.186	Построить график элементарной																		x 3 2					, x ,0 ,
22	функции y x2					6		x	9.							y
22	функции y x2					6		x	9.							y
																			x 3 2					, x 0, .
																			x 3 2					, x 0, .

5.187	Построить график														1 2		25								1
	элементарной функции										6	x								, x ,						0, ,
											6	x					24			, x ,				6		0, ,
23														12			24							6
	y	6x	2	x	1.						y			1		2	23					1
			2								y					2

											6		x								, x		,0			.
											6		x								, x		,0			.
														12			24					6

155

5.200

Построить график

3x 2k , x 2k

, 2k 1

элементарной функции

y arccos cos3x .

2k 1 , x

2k 1

,2 k 1

5.209

На плоскости Оху изобразить

Квадрат с вершинами

множества точек, координаты

(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

которых удовлетворяют заданным

условиям:

5.211

На плоскости Оху изобразить

Кривая, симметричная

множества точек, координаты

относительно обеих осей

которых удовлетворяют заданным

координат и биссектрисы

условиям:

первого и третьего

квадрантов; в области

G x, y | x 0, y 0, x y

- луч y x 1

5.339

Найти односторонний предел

lim

2 x

x 2 0 4 x2

5.340

Найти односторонний предел

lim 2 x 1/ x .

x 0

5.341

Найти односторонний предел

lim 72 x .

x 2 0

5.342

Найти односторонний предел

/ 2, / 2

lim arctgx .

5.382

Доказать, что функция

f x sin x

непрерывна в каждой точке ее

естественной области определения.

5.384

Задана функция f x . При каком

A 3

выборе параметров, входящих в ее

определение, f x будет

непрерывной, если

x 2

, x 1

f x

x 1

A, x 1.

5.387

Найти точки разрыва функции,

x1 0 ,

x2 1 - точки

исследовать их характер,

разрыва второго рода

в случае устранимого разрыва

156

		доопределить функцию
		«по непрерывности», если
		1
		f x						.
		f x	x2 x 1					.
	5.392	Найти точки разрыва функции,								x1 2 , x2 2 - точки
		исследовать их характер,								разрыва второго рода
34		в случае устранимого разрыва
		доопределить функцию «по
		непрерывности». f x 3x / 4 x2 .
	5.394	Найти точки разрыва функции,								x 2 - точка разрыва
		исследовать их характер, в случае								первого рода
		устранимого разрыва доопределить
35		функцию
35		«по непрерывности», если
		«по непрерывности», если
		f x			x 2				.
					x 2
			arctg x 2
	5.396	Найти точки разрыва функции,								x 0 - точка устранимого
		исследовать их характер,								разрыва
		в случае устранимого разрыва
36		доопределить функцию
		«по непрерывности», если
		f x	1	ln		1 x	.
		f x		ln			.
			x 1 x

157

ДЗ № 4. Дифференцирование функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова,

А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№	№													Задание															Ответ
№	по
п/п	по
п/п	Еф.
	6.11	Пользуясь только																												2x ln 2
1		определением производной,
		найти			f x ,											если f x 2x .
	6.12	Пользуясь только определением																													1			log			2 e
2		производной, найти f x , если																													x
		f x log2 x .
	6.15	Для заданной функции																				f '	1			2		, f '															f ' 1	0 ,
		f x						x 1											x 1		, x0 1	f '	1			2		, f '									1						f ' 1	0 ,
3																												f ' 1 2
3																												f ' 1 2
		найти			f ' x0														и f ' x0 .
	6.21	Найти производную функции																										2							8	x3
4														2																					8

		y 3 2x														x			4	.								3
		y 3 2x												3		x				.
														3
5	6.26	Найти производную функции																						2x 3x4 8x2																41
5		y x2 1 x2 4 x2 9 .
	6.32	Найти производную функции																										2
6			2							x																			2												2
6		y	2							x			.															x										x
		y											.															x										x
			2							x
	6.36	Найти производную функции																							1			2											3
7				4											3
		y																.							x

																										3 x2											4 x3


		4		x3									3 x2
	6.40	Найти производную функции																						1			sin x															cos x
8	6.40	Найти производную функции																						1															x

		y		x sin x .
		y		x sin x .																				2 x
	6.51	Найти производную функции																												1			sin x
9		y sin			2				x																			2					sin x
9					2				x																			2
											.
							2
	6.54	Найти производную функции																											1			cos x
10		y cos				2											x											2				cos x
10						2											x											2
																				.
												4				2				.
												4				2

158

6.56

Найти производную функции

2xe 2 x 1 x

y x2e 2 x .

6.57

Найти производную функции

x / 3

2 x

cos

sin

y ex / 3 cos2

6.63

Найти производную функции

cos

sin

2sin

y cos

sin

6.68

Найти производную функции

1 2x2

e x

2x2

6.70

Найти производную функции

ln 2 cos x sgn sin x

sin2 x

y 2

sin2 x

6.71

Найти производную функции

32x

2x ln3 ln 2

y 3 .

6.73

Найти производную функции

y log2 ln 2x .

xln 2 ln 2x

6.81

Используя предварительное

x 3 19x 17

логарифмирование, найти

x 1 4

производную функции

x 3 2 2x 1

x 1 3

6.87

Используя предварительное

3 ln x

логарифмирование, найти

производную функции

6.88

Используя предварительное

ln x 1/ x

1 ln x ln ln x

логарифмирование, найти

x2 ln x

производную функции

y ln x 1/ x .

6.89

Используя предварительное

sin x

arcsin x lnsin x

логарифмирование, найти

arcsin x ctgx

1 x2

производную функции

y sin x arcsin x .

6.94

Вводя промежуточные

arccos x

2ln arccos x 1

переменные, вычислить

1 x2

производную функции

y arccos x 2 ln arccos x .

159

ДЗ № 5. Дифференцирование функций

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.106 Найти производную функции

x 3 2

3x2 2

x 3 2

6.134 Докажите, что производная

2периодической функции есть функция также периодическая.

	6.165	Пусть y a x - функция, обратная								2
3		заданной y f x . Выразить a' x				1			6 a				2 x
3		через x и a x , если y	1
			1	x x3 .
				x x3 .
		2
4	6.184	Найти производную 2-го порядка от					2cos2x
4		функции y cos2 x .

5	6.185	Найти производную 2-го порядка от							2 6x4
		функции y arctgx2 .
		функции y arctgx2 .						1 x4 2
6	6.192	Найти yIV 1 , если y x3 ln x .								6
	6.199	Найти формулу для n-й производной					m!				x	m n			, если
7		функции y xm , m N .				m n !					x				, если
					n m ; 0, если n m .
8	6.202	Найти формулу для n-й производной					1			n 1 n 1 !
8		функции y ln x .					1							x	n
														x
	6.220	Показать, что функция y e x cos x
9		удовлетворяет дифференциальному
		уравнению y IV 4y 0.
	6.168	Для функции, заданной параметрически,							3t				5
10		найти y 'x , если: x 2t , y 3t2 5t ,							3t					2
		t ; .
11	6.181	Найти y 'x в указанной точке, если								-1
11		x t t cost 2sint , y t t sint 2cost ,
		x t t cost 2sint , y t t sint 2cost ,

160

6.232

Найти производную 2-го порядка

2 1 t2

или 2sec2 x ,

функции, заданной параметрически:

y ln 1 t

, t ; .

x arctgt ,

6.146

Найти y 'x

для функции, заданной

b2 x

неявно:

a y

6.147

Найти y 'x

для функции, заданной

x y2 2x2

неявно: x

y 2y2

6.149

Найти y 'x

для функции, заданной

неявно: 2 y ln y x .

2 1 ln y

6.153

Найти y 'x

для функции, заданной

1 y2

1 x2

неявно: x y arcsin x arcsin y .

1 x2

1 y2

6.224

Найти производную 2-го порядка от

2 y

2 xey

функции, заданной неявно: y 1 xey .

1 xey 3

6.238

Написать уравнение касательной и

y 2x 0,

2 y x 0

нормали к графику функции y f x

данной точке, если:

y tg2x , x0 0 .

6.248

Показать, что касательные к гиперболе

x 4

в точках ее пересечения с

x 2

осями координат параллельны между

собой.

6.250

Составить уравнение такой нормали к

4x 4 y 21 0

параболе y x2

6x 6, которая

20перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

	6.256	Найти углы, под которыми пересекаются
			arctg2 2
21			arctg2 2
21		кривые y sin x и y cos x , x 0,2 .
		кривые y sin x и y cos x , x 0,2 .

161

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc