Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2423 24 > Следующая >>>

5.Найти дифференциал неявно заданной функции y x :

xy ln x y 1.

6.С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение tg 2 46 .

7. Найти предел lim		1

		1 arctgx
x	0

4


			x
		4	x
		4
			.

8.	Написать уравнение касательной к кривой y arctg2 x в точке x 1.
	1
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y		в точке
		ex 1

x 0 .

10. По графику функции

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y 3 x2 x .

Вариант 24

Найти производную функций:

tgx

а) y

; б) y 5x

; в) y

x x

;

cos x

sin x

г)

y arcsin

x 3 1

Найти производную функции y arctg x

x 0.

ctg x

в точке

x 0 , если

Найти производную y

x в точке

x sht sin t

y cht t

222

4.	Найти y 45 x , если y x	1 2x		.
4.	Найти y 45 x , если y x			.
			x 2
5.	Найти дифференциал неявно заданной функции y x :

			ex y 1 2xy 1.
6.	С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение
arccos2 0.1 .
7.	Найти предел lim x ex x2 .
	x
	1					в точке x 0 .
8.	Написать уравнение касательной к кривой y

					x2 1
					x2 1	y tg2 x в точке
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции					y tg2 x в точке

x .

10. По графику функции

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y

x 1

Вариант 25

Найти производную функций:

а)

; б)

y 6sin2 x ;

в) y arccos arcsin x ;

ln x 1

г)

tgx

x 1

Найти производную функции y cos x

x 0.

arctg x

в точке

x 1, если

Найти производную y x в точке

223

	x	t 1	t

		t 1
				.


y 3		t
		ctg

			4

4. Найти y 50 x , если	y x	1	.
	y x	1 c t g 2 x
		1 c t g 2 x

5. Найти дифференциал неявно заданной функции y x :

2x2 y2 sin xy x .

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение ln2 1.05 .

	x 0			1 cos x
7.	x 0	sin	x2		.
7.	Найти предел lim	sin	x2		.
8.	Написать уравнение касательной к кривой y					1	в точке x			.
8.	Написать уравнение касательной к кривой y					arctgx	в точке x			.
						arctgx	4
							1
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y 4							x	в точке

x 1.

10. По графику функции

			1

	2			1
3	2	1	0	1	2	3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y 3							x2 3		.
							x2 3	x	.

224

7. ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Пользуясь

определением предела последовательности, докажите, что

lim x A,

определив для 0 натуральное число N N( ) , такое, что

n n

для любого натурального n N справедливо неравенство

xn A

, если

2n2 1

, A

, 10

3n2 1

Ответ: n 23.

Найдите предел функции: lim

ln cos6x

x ln cos 4x

Ответ

x 2

x 2 будет непрерывной в

При каком значении a функция y 3

a x2 ,

x 2,

точке x 2 ? Постройте ее график. Ответ: 5.

4.Найдите точки разрыва функции y arcsin x и установите их характер. В

sin 2x

точке устранимого разрыва определите функцию так, чтобы она была непрерывна в точке разрыва.

Ответ: y 0 1 .

5.Исследуйте на непрерывность и постройте

схематически график функции y e6 2 x . Ответ:

225

8. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Арифметическая прогрессия

Геометрическая

прогрессия

–

– числовая

числовая

последовательность

b1 , b2 , , bn , , n N такая,

что

b1 0

a1 , a2 , ,an , , n N

такая, что

n 1,

n 1, an

an 1 d

n 1

( q – знаменатель).

( d – разность).

bn2

bn 1 bn 1 n 1 .

n 1

n 1 .

bn q b1

n 1

, q 1.

a a

2a1 d n 1

q 1

n .

S lim Sn

, если 0

1 q

{xn} – последовательность xn.

xn f (n)

- формула общего члена последовательности.

a lim xn - предел последовательности {xn}.

Если {xn} бесконечно малая последовательность, то lim xn

0 .

Если lim xn

a , то xn a n , где { n} – бесконечно малая последовательность.

Если lim xn

a и lim xn

b , то:

lim(xn

yn ) lim xn

lim yn

a b ;

lim(xn

yn ) lim xn

lim yn

a b ;

lim(xn

yn ) (lim xn ) (lim yn ) a b ;

(lim xn )

если yn 0, b 0 ;

lim

n yn

(lim yn )

lim(xn

b) lim xn

b a b ;

lim(C xn ) C lim xn

C a .

Если для любого n

b ,

то lim xn

b .

Если для любого n

b ,

то lim xn

b .

Если для любого n

zx и lim xn lim zn a ,

то lim yn

a .

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

226

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Если элементы бесконечно малой последовательности xn не равны нулю, то

последовательность

будет бесконечно большой.

Если

–

бесконечно

большая

последовательность и xn 0 , то

последовательность

– бесконечно малая.

e lim

1 n

e 2,7182 .

n n

n! 1 2 3 ... n ,

формула Стирлинга: n!~

2 n

Неравенство Бернулли:

1 n

1 n ,

n N .

Формула бинома Ньютона

a b

n n 1

n n 1 n 2

anb0 nan 1b1

an 2b2

an 3b3 ....

...

n n 1 n 2 ... n n 1

a0bn .

1 Cn

...

1 n

n(n 1)

n(n 1)(n 2)

...

n(n 1)(n 2)...(n (n 1))

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число A

называется пределом функции

y f x

точке

a ,

если для любой

последовательности xn

такой, что

xn D f ,

xn a,

lim xn

a , выполняется

равенство lim f xn A ,

которое обозначают: lim f x A .

x a

Определение предела по Коши (на языке

- ).

Число A называется пределом функции y f x в

точке a , если

0 0 x : 0

x a

f x A

227

Понятие

Обозначение

Определение

Предел функции

lim f

0 x : 0

f x

f x в точке x a

x a

«Обращение

lim f x

f x

функции

f x в

x a

x : 0

бесконечность» в

lim f x

M M 0

x : 0

x a

f x M

точке x a

x a

lim f

x : 0

x a

Предел функции

lim f x A

x : x M

f x A

f x при x

соответственно

lim f

x : x M

f x A

«Обращение

lim

f x

x :

x x0

f x M

функции

f x

lim

x :

x x

в бесконечность»

при x ,

lim

f x

x :

x x0

f x M

соответственно

lim

f x

x :

x x0

f x M

lim f x

x :

x x0

f x

lim f x

x :

x x0

f x

Пределы справа и

lim

f x A

x :

0 x a

f x A

слева

x a 0

lim

f x A

x :

0 a x

f x A

x a 0

«Обращение

lim

f x

M 0

x : 0 x a f x M

функции

f x в

x a 0

lim

f x

M 0

x : 0 a x f x M

бесконечность»

x a 0

справа и слева в

lim

f x

M 0

x : 0 x a f x M

точке x a

x a 0

lim

f x

M 0

x : 0 a x f x M

x a 0

lim

f x

M 0

x : 0 x a

f x

x a 0

lim

f x

M 0

x : 0 a x

f x

x a 0

Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Функция x называется бесконечно малой в точке a , если lim x 0 .

f x

бесконечно

большой

x a

a ,

Функция

называется

точке

если

M M 0 : x :

x a

f x

M .

Записывается

это

как

lim f x .

x a

Свойства:

10 . Если lim x lim x 0 , то lim x x 0 .

x a x a x a

228

20 . Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

30 . Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.


40 .	Если lim f x A 0, lim x 0 , то lim					x	0.
40 .	Если lim f x A 0, lim x 0 , то lim						0.
			x a	x a	x a f x			и x 0
50 .	Если x			- бесконечно малая функция при x a				и x 0	при x a , то
	1		- бесконечно большая функция при x a . Если x						- бесконечно
		x	- бесконечно большая функция при x a . Если x						- бесконечно

большая, то x - бесконечно малая.

6˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.

7˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

Свойства функций, имеющих предел

	lim f (x) A f (x) A (x),			где lim (x) 0;
	x x0			x x0
	lim (x) B	(x) B (x),		где lim (x) 0
	x x0			x x0
Если lim f (x) A и		lim (x) B , то
x x0		x x0
1)	lim f (x) (x) lim		f (x) lim (x);
	x x0	x x0	x x0
2)	lim f (x) (x) lim		f (x) lim (x);
	x x0	x x0	x x0
3)	lim k f (x) k lim f (x);
	x x0	x x0

4) lim f (x)

x x0 (x)

lim f (x)

x x0	, где (x) (x) .

lim (x)

x x0

Если функции y f (x) и	y (x)	имеют одну область определения D и
x D f x x , то lim	f (x) lim (x).
x x0	x x0
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если 1) x D f x x g x , 2)		lim f (x) lim g(x) A ,
		x x0	x x0
то lim (x) существует и lim (x) A.
x x0	x x0

Замечательные пределы

229

Первый замечательный предел

lim

sin x

x 0

: lim

e ;

lim 1 t

1/ t

e .

Второй замечательный предел 1

t 0

lim f (x)

lim ( x)

( x)

x x0

x x

Сравнение бесконечно малых функций

Для бесконечно малых выполняется:

1 (x)

1) 1(x) и 2(x)- одного порядка, если lim

A , A < ;

2 (x)

2) 1(x) 2(x) - эквивалентные, если lim

1(x)

x x0

(x)

3) 1(x) = о( 2(x)) -

1(x) является

малой более высокого

бесконечно

порядка малости по сравнению с 2(x), если lim 1 (x) 0 ;

x x0 2 (x)

4) если 1(x) 2(x), 3(x) 4(x), то lim	1	(x)	lim	2	(x)	.
		(x)
x x0	3		x x0	4	(x)

Эквивалентные бесконечно малые при x 0:


1 cos x		x2	,			1		x	, ax 1 x ln a ,
				1 x
	2
					x	2
loga	1 x						, 1 x 1 x .

					ln a

Ряд эквивалентных бесконечно малых при x 0:

x sin x arcsin x tg x arctg x sh x ex – 1 ln(1 + x).

Некоторые пределы:

lim

log

(1 x)

a 0,a 1, lim

ax 1

ln a,

a 0,

x 0

ln a

x 0

1 x a

lim

a , lim

1 x

x 0

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Три эквивалентных определения непрерывности функции в точке:

1. Пусть

функция

y f (x)

определена

на множестве D и пусть

точка

x0 D .

Функция y f (x) называется

непрерывной в точке x0 ,

если

выполнены условия:

230

1) f (x0 ) , 2)	lim f (x), 3)	lim f (x) f (x0 ) .
	x x0	x x0

2.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция

определена в точке x0	и при этом lim y 0 , то есть бесконечно малым
	x 0

приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.

3.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция

определена	в	точке	x0 ,	существуют		односторонние пределы
lim f (x),	lim	f (x) и при этом		lim	f (x)	lim f (x) f (x0 ) .
x x0 0	x x0 0			x x0 0	x x0 0

Два определения односторонней непрерывности:

1.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 слева, если

функция определена	в точке x0 и существует односторонний предел
lim f (x) и при этом	lim f (x) f (x0 ) .
x x0 0	x x0 0

2.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 справа, если

функция определена		в точке x0		и существует односторонний предел
lim	f (x) и при этом	lim	f (x) f (x0 ) .
x x0 0		x x0 0
Функция,	непрерывная	в	любой	точке множества D , называется

непрерывной на множестве D .

Свойства непрерывных функций

1.Если функции y f x и y x определены на множестве D и

	непрерывны в точке x0 D , то функции f x x , k f x , f x x ,
		f x	непрерывны в точке x	, причем частное требует условия x 0.
		x
			0	0

2.	Если f (x) непрерывна на a,b , то она ограничена на этом отрезке.
3.	Если		f (x) непрерывна на a,b , то она достигает на нем своих точной

верхней и точной нижней граней

( x1 a,b : f (x1 ) M , x2 a,b : f (x2 ) m ).

4. О прохождении непрерывной функции через ноль. Если функция

y = f (x) непрерывна на a,b и имеет на концах отрезка значения f (a) и

f(b) разных знаков, то найдется точка (a,b) такая, что f ( ) 0.

5.О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Если функция y= f (x) - непрерывна на a,b , имеет на концах

отрезка значения f (a) A, f (b) B и число С расположено между числами

Аи В : A C B , то найдется точка (a,b) такая, что f ( ) C .

231

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2423 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc