Ч 3 Матанализ интернет-материалы

27

0

8

+

0

+

+

–

–

–

+

max

перегиб

35

x

3

Исследуйте функцию y

и постройте её график.

x2

РЕШЕНИЕ:

1

1).

Функция определена всюду, кроме точек x 1.

x3

Точки пересечения графика с координатными осями:

0 x 0

x2 1

2).

Функция нечетная,

3).

Точка x 1 является точкой разрыва II-рода,

график функции

f x ,

lim f x .

x 1 0

x 1 0

k lim

f x

lim

x2

1;

x3

x

, т.е.,

y x

b lim

x

lim

0

2

1

2

1

2

x x

x x

x x

x x

1

x2 x2

3

x2 1 2

. Знак производной опреде-

ляется знаком

x2 3 . При

x

y 0 ,

а при 0 x 1 и

1 x

3

3

y 0 . Интервал возрастания -

; ; интервалы убывания

- 0;1

и

3

1;

. В области определения функции производная обращается в нуль

3

при x 0

и x

.

3

При x

y 0 , а при x

y 0 . Следовательно, точка x

яв-

3

3

3

ляется точкой

минимума.

Находим значение функции при x

:

3

3

3

3

3

y

3

. При переходе через критическую точку x 0 произ-

2

2

2x x2 3

x2 1 3 . Видим,

что

0

при 0 x 1, на интервале 0;1

график функции выпуклый вверх. При

x

y 0 - график функции выпуклый вниз.

3

В области определения функции y существует всюду; y 0

при x 0 .

Так как при переходе через эту точку y

цисса точки перегиба. Находим y( 0 ) 0.

0

х

0;1

1;

3

3

у

0

3

3

2

y

0

–

0

–

y

0

+

+

+

перегиб

min

График y

x3

имеет вид:

x2 1

36

Исследуйте функцию

y arctg

ctg x и постройте её график.

y arctg

бу-

ctg x

дут промежутки оси

Ox , на которых

ctg x 0 ,

т.е.,

для промежутка

0;

это будет x

2

arctg t 0 , область значений

0;

. Для t 0

y 0;

2 .

Точки пересечения графика с координатными осями:

при x 0 котан-

с осью Ox находим, решая уравнение ctg x 0 x 2 n .

2).

Четностью или нечетностью функция не обладает.

0 не опре-

3).

Точка x 0 не является точкой разрыва, так как f

делена,

lim f x 2 . Поскольку на каждом периоде график

f x лежит

x 0

5.214

Написать первые пять членов

2,0,6,0,10,…

1

последовательности

5.216

Написать первые пять членов

2

,

7

,

8

,

13

,

14

2

последовательности

3 3

3

3

3

xn

1 n arcsin

3

n

2

3

5.217

Написать формулу общего члена

1 n

1 1

1 1

xn

последовательности

,

,

,

n 1

4

5

2

3

5.222

Написать формулу общего члена

xn

sin

n 1

последовательности

4

4

0,

2

,1,

2

,0,

2

, 1,

2

,0,...

2

2

2

2

5.223

Найти наибольший (наименьший)

5

член ограниченной сверху (снизу)

последовательности xn n N :

x

n

6n n2 5

5.227

Найти наибольший (наименьший)

член ограниченной сверху (снизу)

6

последовательности xn n N :

x

2n

512

n

n2

5.253

Найти все предельные точки

/ 6 , / 6

7

последовательности

xn

1 n

arcsin

2

xn

записать следующие высказывания,

A 0 n

xn

A ;

а также их отрицания:

б) N xn

xn 1 ;

а) последовательность ограничена;

б) последовательность монотонно

возрастает;

в) 0

в) число а есть предел

N n N

xn

a

;

последовательности;

0

N

9

г) последовательность xn n N

n n N

xn a

;

г) E 0

бесконечно большая;

n n N

xn

E ;

д) число а есть предельная точка

E 0

N

последовательности.

n n N

xn

E ;

д) 0

n

xn a

n

xn a

5.230а

Найти a lim xn и определить

n

10

номер N

такой, что

xn

a

при всех n N , если

:

x

n

0,33..., 0,001.

n

5.235

Вычислить предел