Ч 3 Матанализ интернет-материалы

Независимой переменной была t , промежуточным аргументом - x . На практике чаще имеем дело с функциями вида: y f (u), u (x) , тогда

yx yu ux .

ПРИМЕР. Найдем производную степенной функции y x .

Запишем функцию в виде экспоненты y x e ln x . Вычислим производную по правилу дифференцирования сложной функции.

1.7. Таблица производных

Таблица получена, исходя из определения производной и правил дифференцирования.

cos x

1

7.ctgx 2

52

1 chx

15.cthx sh2 x . Гиперболический котангенс cthx shx

1.8.Логарифмическая производная

При вычислении производной некоторых выражений полезно предварительное логарифмирование этого выражения.

Логарифмической производной называется результат дифференцирования логарифма исходного выражения.

y 2xln(sin x) x2 ctg x sin x x2 .

2. Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей.

ПРИМЕРЫ

1.9. Производная функции, заданной неявно

Пусть уравнение F x, y x 0 задает неявно функцию y y x .

53

функцию аргумента x , а затем полученное уравнение F1 x, y x , y x 0 раз-

решить относительно y x .

Доказательство

Рассмотрим функции: y y(t), t t(x) . Рассматривая t как промежуточ-

ный аргумент, можно считать, что y - сложная функция x . Тогда yx yt tx ,

tx 1 yx yt . xt xt

54

1.11. Производные высших порядков

Производной второго порядка от функции y f (x) называется произ-

водная от ее первой производной. Обозначение: f (x) f (x) .

Производной n -го порядка (или n–й производной) называется производная первого порядка от производной n 1 -го порядка: f (n) (x) f (n 1) (x) .

Также используют обозначение y(n) (x) d n y . dxn

ПРИМЕРЫ

1)y sin x, y cos x, y sin x, y cos x .

2)y xn , y nxn 1 , y n(n 1)xn 2 , , y(n) n!, y(n 1) 0 .

Правила вычисления производной n–го порядка

1.f (x) g(x) (n) f (n) (x) g(n) (x).

2.Формула Лейбница (производная произведения):

n по k , k! (читается k -факториал) определен для целых неотрицательных k , причем k 1 ! k 1 k!, 0! 1! 1.

ПРИМЕР. Найдите производную n–го порядка от функции y eax x2 .

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты:

55

Для отыскания второй производной соотношение F(x, y) 0 дифференцируем

56

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.1.Основные определения

чина более высокого порядка, чем x .

Главная, линейная по x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy f (x) x .

2.2. Дифференциал независимой переменной

Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, dx x . В общем случае: dy f (x) x f (x)dx .

dy f (x)dx .

Производная может быть записана как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (обозначения Лейбница):

f (x) dy . dx

2.3. Свойства дифференциалов

Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле dy y x dx , то справедливы обычные правила дифференцирования.

1. d c 0 ;

57

2.d u v du dv;d u c du ;

3.d uv udv vdu;d uc cdu ;

2.4. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y f (x) . Обозначения, приведенные на рисунке, соответствуют:

Дифференциал функции y f (x) в точке x есть

приращение ординаты касательной к графику функции в точке x .

2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Метод основан на замене приращения функции y f x x f x

приближенно дифференциалом этой функции: y dy f x dx .

Таким образом истинная функция на отрезке x0 , x0 x заменяется линейной

ПРИМЕРЫ

1). Вычислите приближенно 415,8 .

Здесь y 4x , x0 16 . Тогда y 16 416 2 ; y 15,8 y 16 y .

формулу для V , получаем:

58

V 1,02 V 1 V V 1 V 1 0,02 4 4 0,02 4,44 м3. 3

2.6. Дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y f (x) . Пусть u – промежуточный аргумент: y f u , u (x) . yx fu ux , умножим это равенство на dx :

yx dx fu ux dx , dy fu du .

Сравнение с dy fx dx показывает, что дифференциал функции сохраняет свою форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом).

Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

2.7. Дифференциалы высших порядков

Пусть y f x - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - незави-

симая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy f (x) x f (x)dx также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции

Можно показать, что d n f (x) f (n) (x)dxn. Здесь dxn (dx)n.

1.Для независимой переменной d 2 x 0, d 3 x 0,

2.В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая переменная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала

будет другой, отличной от выражения d 2 f f (x)dx2.

Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть y f x , x g t , t - независимая переменная.

Тогда

d 2 f d df d f x dx d f x dx f x d dx

f x dx2 f x d 2 x f x g t 2 dt2 f x g t dt2 .

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала

неинвариантна.

59

3.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА

3.1.Теорема Ролля (о нуле производной)

Теорема. Если

1)функция f (x) непрерывна на отрезке a,b ,

2)на интервале a,b существует производная f (x),

3)значения функции на концах отрезка совпадают, f (a) f (b) ,

любом знаке x .

fx f 0, x 0 ,

x

fx f 0, x 0,

x

переходя к пределу x 0 и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем

Эти соотношения совместны, если f ( ) 0 .Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достигается минимум, проводится аналогично.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси 0x .

Теорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в нуль без ее вычислений.

ЗАМЕЧАНИЕ

60

Если f (x) такова, что производная существует не во всех точках внутри