Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

tg2 x

ПРИМЕР. Вычислите lim 1 cos x .

x 1

Сделаем замену x t 1, t x 1 и перейдём в пределе к бесконечно малому аргументу t 0 , что позволяет применить эквивалентность бесконечно-малых функций.

cos x cos t 1 cos t cos t,

tg2 x tg2 t 1 tg2 t tg2 t.

1 cos x

1 cos t

2sin2

lim

x 1

tg x

t 0

tg t

t 0

tg t

t 2

2 lim

t 0 t 2

t 0 2t2

t 0 4 2

5.4. Предел степенно-показательной функции y f x

( f x 0).

f x

lim x

lim

lim f x x x0 .

x x0

Если lim f x A, lim x B , применяя основное логарифмическое то-

x x0 x x0

ждество, получим

lim e x lnf x

lim x lnf x

lim

x ln lim

f x

lim f x

lim eln(f x )

ex x0

x x0

eBln A eln AB

lim x

AB lim f (x) x x0 .

x x

x 1 2x 1

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

x x 2

x 1

1 0

и предел lim 2x 1 . Таким

Вычислим предел lim

lim

x x 2

1 0

x 1 2 x 1

образом, функция y

порождает неопределенность

x 2

	x 1	1

	x 2
	x 2

x 1 2 lim x x 2

	x	1				x 1 x			2		3					1
			1		1					1			1					.
	x 2		1		1		x 2			1		x 2	1		x 2			.
	x 2						x 2					x 2			x 2

																3
																3
																	x 2	2x 1	3
									2x 1									2x 1	x 2
									2x 1										x 2
x 1																3
x 1
		1					1							1
				lim 1			1			lim 1				1
				lim 1				x 2		lim 1				x 2
					x			x 2						x 2
					x						x

							3							3
							3							3

lim	3 2x 1	e6 , поскольку lim	6x 3
ex	x 2			6.

		x	x 2

6.СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1.Теорема об устойчивости знака непрерывных функций

Если f (x) -

непрерывна

точке

f (x0 ) 0 ,

то

существует такая

– окрестность

точки

x0 ,

что для

всех

значений

из

этой окрестности

f (x) 0 и имеет знак, совпадающий со знаком f (x0 ).

6.2. Непрерывность обратной функции

Теорема

непрерывная на a,b

Пусть функция y f (x) -

строго монотонная и

функция, f (a), f (b) . Тогда существует функция

x f 1(y)

- строго монотонная и непрерывная на , .

ПРИМЕР.

y sin x , x

- строго монотонна и

непрерывна, следовательно, имеет строго монотонную и

непрерывную обратную функцию x arcsin y ,

y 1,1 .

После переобозначения имеем y arcsin x .

6.3. Непрерывность сложной функции

Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными:

Пусть: 1) x (t) задана на множестве t и имеет множество значений x ; 2) y f (x) задана на множестве x .

Тогда на множестве t задана сложная функция y f (x) , где x (t) или y F(t) f (t) , x - промежуточный аргумент, t - независимая переменная.

ПРИМЕР. y sin x , x t2 , y sint2 - сложная функция.

Теорема

Пусть функция x (t) непрерывна в точке t a , а функция y f (x) не-

прерывна в точке x b (a) . Тогда сложная функция y F(t) f (t) не-

прерывна в точке t a .

6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если f (x) непрерывна на a,b , то она ограничена на этом отрезке.

ПРИМЕР. Для f (x) sin x,			0 f (x) 1
	0,
		2

Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной.

ПРИМЕР. Функция f (x) 1 непрерывна на интервале x

(0, 1), но на этом интервале функция f (x) не ограничена.

2.Если f (x) непрерывна на a,b , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

3.Если функция y f x непрерывна на a,b и имеет на концах отрезка зна-

чения f (a) и f (b) разных знаков, то найдется точка (a,b) такая, что f ( ) 0.

4. (О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Если функция y f x - непрерывна на a,b , имеет на концах отрезка значения f (a) A, f (b) B и число С расположено между числами А и В:

A C B , то найдется точка (a,b) такая, что f ( ) C .

7. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Точка x0, в которой функция y f (x) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции.

Для классификации точек разрыва удобно использовать третье определение непрерывности.

7.1. Точки устранимого разрыва

Если

существуют

конечные

односторонние

пределы,

причем

lim f (x)

lim

f (x),

функция

y f (x) не

определена

в точке

x0, или

x x0 0

называется точкой устранимого разрыва.

lim f (x) f (x0 ), то точка x0

x x0

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

f (x),

x x ,

f1 (x) lim

f (x), x x

x x

ПРИМЕР.

, x 2,

f (x) x 2

x 2.

Точка x 2

точка

устранимого

разрыва,

поскольку

lim f (x) lim

f (x) 4,

f (2) 5 4.

x 2 0

, x 2,

Устраним разрыв: f1(x) x 2

x 2.

Функция f1(x)	непрерывна всюду.
ПРИМЕР. Исследуйте поведение функции f x		sin x	в точке x0	0.

		x
В точке x0 0	функция не определена, т.е. x0 0 - точка разрыва.

Ранее был доказан первый замечательный предел lim sin x 1, следовательно,

	sin x		sin x						x 0 x
lim	sin x	lim	sin x	1	и x	0 является точкой устранимого разрыва.
lim		lim		1	и x	0 является точкой устранимого разрыва.
x 0 0	x	x 0 0 x			0
x 0 0	x	x 0 0 x
	Чтобы функция стала непрерывной в точке x0								0, доопределим ее, поло-
жив	f 0	lim f x 1			(так	называемое	доопределение по непрерывности).
		x 0
						sin x		, x 0
									будет непрерывна на новой
							x
Новая доопределенная функция f x							x
							1, x 0
							1, x 0

области определения – всей числовой оси.

7.2. Точки разрыва первого рода

Если в точке x0		существуют конечные односторонние пределы lim f (x)
			x x0 0
и lim f (x) и	lim	f (x)	lim f (x), то точка x0 называется точкой разрыва
x x0 0	x x0 0		x x0 0

первого рода (неустранимый конечный скачок функции).

ПРИМЕР. Исследуйте поведение функции y	x	в точке x0 0.


	x
В точке x0 0 функция не определена, так как знаменатель равен нулю,
т.е. x0 0 - точка разрыва. По определению модуля

x 0;

x 0.

Левый предел:

lim

lim 1 1.

x 0 0 x

x 0 0

Правый предел:

lim

lim 1 1.

x 0 0 x

x 0 0

Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, следовательно, точка x0 0 является точкой разрыва 1-го рода.

ПРИМЕР. y		f (x)			1			, x 0- точка разрыва f (x) .
ПРИМЕР. y		f (x)			1			, x 0- точка разрыва f (x) .
					1 2		x
			x 0								x 0
			x 0								x 0
lim	1		1			0,		lim	1		1			1.
lim	1		x			0,		lim	1		x			1.
x 0 0								x 0 0
x 0 0	1 2x							x 0 0	1 2x
	1 2x	1							1 2x	1
		2								2			0
		2		x						2		x	0

x 0- точка разрыва первого рода.

7.3. Точки разрыва второго рода

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода

ПРИМЕР. f (x) 1 , x 0 - точка разрыва второго x

рода; так как lim f (x) ,	lim f (x) .
x 0	x 0

ПРИМЕР. Определите точки разрыва функции

f x ex и исследуйте характер разрыва.

Функция разрывна в точке x0 0. Вычислим левый предел, учитывая, что

lim ex 0 .Так как						lim	1	,	то
lim ex 0 .Так как						lim		,	то
x						x 0 х
1
lim e			0 .
lim e		х	0 .
x 0
	Вычислим правый предел, учиты-
вая,			что lim ex		.			Так	как
			x
	1		1
lim			, lim e		.
				х
				х
x 0 х			x 0

Правый предел бесконечен, точка x0 0 является точкой разрыва 2-го ро-

да.

ПРИМЕР

f (x) sin , x 0 -

точка разрыва второго рода; так как не существуют односторонние

пределы lim f (x) и

x 0

lim f (x) .

x 0

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1.1.Основные определения

Пусть y f (x)

определена на (a,b)

x a,b

- некоторая фиксированная

точка; x - приращение аргумента в точке

x ;

y f (x x) f (x) - соответст-

вующее приращение функции;

- отношение приращений (зависит от x ;

x - фиксировано).

Производной функции

f (x)

в точке

называется

lim

при условии,

x 0 x

что он существует. Обозначение: y

lim

f (x x) f (x)

x 0 x

x 0

Функция

f (x) называется дифференцируемой в точке x , если производ-

операция нахождения производной называется диффе-

ная y

(x) существует;

ренцированием.

Функция f (x)

называется дифференцируемой на интервале a,b , если она

дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных

функций.

y x sin x,

y x ?

ПРИМЕР.

sin(x x) sin x

2cos

sin

y lim

lim

x 0

cos x

sin

lim

cos x , так как lim

1, а

x 0

lim cos x

cos x .

x 0

cos x .

sin x

ПРИМЕР. y(x) loga x,

0 a 1,

y (x) ?

x x

ln 1

y loga x x loga

x loga

loga 1

;

ln a

ln 1

y lim

;

lim

x ln a

x 0

x 0 x x ln a

x ln a

(loga x)

, (ln x)

x ln a

1.2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной

инормали к графику функции

	Рассмотрим две точки графика функ-
ции	f (x) :	M (x, f (x))	и
P(x x, f (x x)) . MP - секущая.
	При стремлении x к нулю (т.е. при
стремлении точки P к точке M ) эта секу-
щая	будет поворачиваться относительно

точки M .

Касательной к графику функции y f (x) в точке M (x, f (x)) называется прямая, положение которой занимает секущая при x 0 ( P M ).

Нормалью к графику функции y f (x)						в точке M (x, f (x)) называется пря-
мая, проведенная через точку касания перпендикулярно к касательной.
Если функция y f (x)	имеет в точке x					производную f
Если функция y f (x)	имеет в точке x					производную f				(x) , то график функ-
ции в точке M (x, f (x))
ции в точке M (x, f (x))	имеет касательную с угловым коэффициентом f (x).
Значение f x0 позволяет записать уравнение касательной к кривой
y f x в точке x0 :		y f (x0 ) f (x0 ) x x0 .
		y f (x0 ) f (x0 ) x x0 .								уравнение нормали
По условию перпендикулярности прямых:							k1 k2		1,	уравнение нормали
принимает вид:						1
		y f (x	)			1	x x		.
		y f (x	)				x x		.
		0			f	(x0 )		0
					f	(x0 )
1.3. Механический смысл производной
Рассмотрим движение точки по прямой. S f (t) -										перемещение точки в
		(t) lim		f (t t) f (t)				- мгновенная скорость в мо-

момент времени t , V f						t
		t 0				t

мент времени t .

1.4.Производная суммы, разности, произведения и частного функций

1)(c) 0 , c const ;

2)( f (x) g(x)) f (x) g (x) ;

3)(c f (x)) c f (x) ;

4)( f (x) g(x)) f (x) g(x) g (x) f (x) ;

f (x)

(x)g(x) g (x) f (x)

, g x 0 .

g(x)

(x)

ПРИМЕР. y 3sin x 5log2

x 10,

y 3cos x 5

log

2 e .

1.5. Производная обратной функции

Теорема

Пусть f (x) : 1) строго монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 ,

		2) дифференцируема в точке x0 и				f (x0 ) 0 , тогда:
производная обратной функции f 1(y) в точке						y0 f x0 существует и равня-
	1			1
ется f		(y)			.
ется f		(y)			.
			y y0	f (x0 )
			y y0

Доказательство

Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной обратной функции x f 1 (y) . Рассмотрим x f 1( y) в окрестности точки y0 f (x0 ) . Зададим приращение аргументу y ; ему соответствует приращение

функции x и

f 1( y)

при y 0 следует, что x 0. Устре-

Из строгой монотонности

мим y 0 , из непрерывности

x f 1( y)

следует x 0 . Но при x 0 ,

f (x0 ) , следовательно,

f (x0 )

Таким образом, f

( y) y y0

f (x0 )

Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементарных функций.

1). y ax , a 0, a 1, x loga y .

ln a .

loga e

loga y

loga e

ax ax ln a , ex ex .

x sin y . Учитывая, что y

2). y arcsin x ,

, cos y 0 , получаем

arcsin x

cos y

1 sin

1 x

sin y

arcsin x

1 x2

3). Аналогично можно показать, что arccos x

1 x2

4). y arctg x,

x tg y ,

tg y

cos2 y

arctg x

cos

1 tg y

1 x

tg y

arctg x

1 x2

5). Аналогично можно показать, что arcctg x

1 x2

1.6. Производная сложной функции

Теорема

y f (t) - сложная функция,

t - независимая переменная,

Если 1)

x t - промежуточный аргумент; 2)

существуют y x0

f (x0 ) и

x t0 t0 , где x0

(x0 ) (t0 ) .

(t0 ) , то f (t)

Доказательство

получает приращение t ; тогда приращения x и y , со-

Пусть аргумент t

ответственно, равны

x t0 t t0 , y f x0 x f x0 .

При t 0

x 0

и y 0 ,

более

того,

существуют

lim

x t0 и

t 0 t

lim

y x0 .

x 0 x

Вычислим: lim	y	lim	y	x	lim	y	lim	x	f (x0 ) (t0 ) , что и требова-
				t
t 0 t		t 0 x			x 0 x		t 0 t
лось доказать.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc