Ч 3 Матанализ интернет-материалы

Построим график функции y

x2

2x 3

без

x2

x 2

использования производной.

Преобразуем выражение:

y

x

2

2x 3

x 3

1

x 2

1

1, x 1.

16

x 2

x 2

(x 1)(x 2)

x2 x 2

x 2

График этой функции получается смещением графика y

1

на две еди-

x

абсциссой x 1.

птотами.

Для гиперболы с центром симметрии в точке (x0 , y0 )

x x0

1

Исследуйте поведение функции

f x e

в точке

x

0.

x

0

1

1

lim

,

lim e

0 ,

x

17

x 0 x

x 0

1

1

lim

,

lim e

.

x

x 0 x

x 0

y x arctg x.

lim

x arctg x

k lim

x arctg x

k 1,b lim arctg x

,

x

x

x

x

x

2

b lim arctg x

.

x

2

y x

и правую y x

.

2

2

4.9.4.

Построение графиков функций

№

Задание

19 Исследуйте функцию y 3

2x2 x3

и постройте её график.

1). Функция определена при всех x . Для нахождения точек пересече-

ния с осями записываем уравнения y 0

и 3 2x2 x3 0 ; получаем, что

и x 2 .

2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, верти-

кальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асим-

f ( x )

3 2x2

x3

2

птот. k lim

lim

lim 3

1 1,

x

x

x

x

x

x

2

1 )

b lim( 3

2x2 x3

x ) lim x(1 3

x

x

x

1

2

2

2

2

x

2

1 3

1

3

3

1

0

x

2

lim

x

lim

.

1

x

1

0

x

3

x

x

2

3). Находим производную: y

4x 3x2

4 3x

.

33 2x2 x3

33 x(2 x)2

Знак

производной

определяется

знаком

выражения

4 3x

или

3 x

3

4 3x . Видим,

что в области

x 0 y 0 ,

при 0 x

4

y 0 и

x

4

3

при

x

y 0 . Получаем, что в области

x 0

функция убывает,

при

3

4

4

0 x

- возрастает и при x

- убывает.

3

3

4

Находим критические точки. y 0

при x

,

y не существует при x 0 , x 2.

3

При переходе через

на (+), т.е.

это точка минимума. При x 0 производная не существует, значит,

ми-

нимум острый.

4

y( 0 ) 0. При переходе через вторую критическую точку

x

произ-

3

4

4

2

водная меняет знак с (+) на (-) , т.е. при x

- максимум:

y

3 4 .

3

3

3

4) Находим вторую производную: y

8

. Видим,

что

4

5

9x 3 ( 2 x ) 3

y 0 при x 0 ; в этой области график выпуклый;

y

0 при 0 x 2,

т.е. интервал ( 0;2 ) также является областью выпуклости. При

x 2

y 0 , следовательно, при x 2 график вогнут.

0<x<4/

2

3

y´

-

∞

+

-

∞

-

y´´

-

∞

-

-

∞

y

острый

мак-

нет

минимум

симум

экс-

тре-

мума

c ln a .

функции, так как a x ca x ,

№

Задание

20

Какая из функций

y1 20x2

или y2 0,1x 4

x ?

y

3

y

x .

При x

1 функция

2

растет быстрее, так как

y

, а

2 x

1

Определим, начиная с каких значений

больше y1 x .

f x y2 y1

Рассмотрим

0,1x 4

20x 2

при

x 0 .

f x 0,4x

3

40x x 0,4x

2

40 ,

f

x 10 ,

x 0 при

f x возрастает,

значит,

y2 x y1 x , т.е. функция

y2 x

4.9.6. Доказательство неравенств с помощью производной

Если в точке x0

выполняется условие

f x0 0 и для всех x x

выпол-

0

Задание

21

Докажите неравенство: cos cos при .

Рассмотрим

f x x cos x . Докажем,

что

f f

f x 1 sin x 0 ,

т.к.

sin x

1,

значит,

резку

0,

принадлежат

точки x1

и x2 .

3

2

функции в точках

x

x

и на концах отрезка:

3

3

,

y 0

,

2

y

1 ,

3

2

y 0 0 ,

3

y

2 .

2

Сравнивая их между собой, заключаем, что yнаим 2 , yнаиб

3

3

для

2

3