Ч 3 Матанализ интернет-материалы

РЕШЕНИЕ:

ex

e

ex e

0

lim

lim

.

sin x

2

1

cos x

2

1 2x

x 1

0

x 1

2

Вычислите предел lim

ln2 x

.

x3

РЕШЕНИЕ:

x

1

1

38

ln 2 x

2ln x

2 ln x

2

2

x

x

9

lim

lim

lim

lim

0.

(З

3

3x

2

3

2

x

3

x x

x

x 3x

x 9x

lim

x

Раскройте неопределенность типа 0

lim sin x 1 tg

x

lim

sin x 1

lim

cos x 1

1

x 1

2 x 1

ctg

x

x 1

39

2

2

sin

2

x

2

x

2

2

lim cos x 1 sin 2

.

x 1

2

ln x

lim (x ln x) lim

x 1

.

40

x

x

x

1

ln x

1

Исследуем lim

lim

x

lim

0 .

1

x

x

x

x x

1

1

Вычислите предел: lim

.

x 0 x

e x 1

41

1

1

1

x

ex 1 x

.

lim

lim

1

lim

x 0 x

e x 1

x 0 x

ex 1

x 0 x(ex 1)

Дважды применяем правило Лопиталя.

lim

ex 1 x

lim

ex

1

lim

e x

1

.

x 0 x(e x 1)

x 0 e x 1 x e x

x 0 ex ex x e x

2

1

y x ;

ln y x

1

x

x

ln x;

x

ln x

1

lim ln y x lim

lim

x

0 .

x

x

x

x 1

Тогда lim x

1

e0

1.

x

x

ln y 2cos x ln tgx

2ln tgx

1

43

cos x

Применяя правило Лопиталя, получим:

1

1

cos2 x

lim ln y 2 lim

tgx

2 lim cos x 0 .

1

x

0

x

0

sin x

x

0

2

2

2

cos2 x

Таким образом, lim y e0 1.

x

0

2

4.8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Представьте функцию

f x ax a 0,a 1 в виде

могочлена третьей степени относительно х.

РЕШЕНИЕ:

f x ax ;

f 0 1;

f x ax ln a;

f 0 ln a ;

f x ax ln2 a;

f 0 ln2 a ;

44

f x ax ln3 a;

f 0 ln3 a ;

f 4 x ax ln4 a;

f 4 х a x ln4 a .

где R

a x ln4 a

x4

;

0 1.

3

4!

45

( 1)

(1 x) 1

x

x2 ..

1!

2!

(1 x)

1

x

( 1)

x2 o x2 .

1!

2!

f

(x) 6x

2

6x 5 f

17;

( 1)

f

f

18;

(x) 12x 6

( 1)

f

f

12;

(x) 12

( 1)

47

ции f (x) 1 x .

РЕШЕНИЕ:

f (0) 1; x 1.

f (x) 1 x ;

f

1

;

f

(x) (1 x)

(0) ;

f

2

;

f

(x) ( 1)(1 x)

(0) ( -1);

f

3

; f

(x) ( 1)( 2)(1 x)

(0) ( 1)( 2);

x2

x2

ln 4(1

) ln 4 ln(1

)

48

4

4

2

3

4

x

2

2

1

x

2

1

x

2

1

ln 4

x

.....

4

4

4

2

4

3

4

n 1

x2

n

1

.

....... ( 1)

4

n

Окончательно:

ln(4 x 2 ) ln 4

x2

x4

x6

... ( 1)n 1

x2n

.

43 3

4 42 2

4n n

Вычислите число e с точностью до 0,001.

РЕШЕНИЕ:

Запишем формулу Маклорена для ex:

ex

1 x

x2

x3

...

xn

xn 1

e x .

При x 1:

2!

3!

n!

(n 1)!

49

e

2,718

1

1

1

1

1

e 1 1

...

;0 1.

2

24

120

(n 1)!

6

n!

Наименьшее значение n , удовлетворяющее условию

e

0,001 , равно 6,

(n 1)!

тогда e 1 1

1

1

1

1

2,718.

24

120

2

6

2

1

3

. Воспользуемся формулой Макло-

3

29 3

27 2 3 1

рена:

( 1)

( 1)( n 1)

(1 x) 1

x

x2 ...

xn

1!

2!

n!

( 1) ... ( n)(1 x) n 1

xn 1 ,

(n 1)!

где последнее слагаемое представляет собой погрешность

вычисления.

50

Полагая

x

2

1

3,072

,

,

получим

27

3

2

2 2

2 2 2 5

3

3(1

.... Rn ) .

29

81

813

812

Оценивая величины последовательных ошибок в вы-

числении 3

Rn

, находим:

3

R

3 2 2

0,002;

1

812

3

R2

3 2 2 2 5

0,0003.

813

Используя разложение по формуле Маклорена, вычислите

предел lim

1 cos3

x

.

5x2 +7x3

x 0

РЕШЕНИЕ:

51 1 cos3 x 1 cos x 1 cos x cos2 x ;

0,3

C точностью до бесконечно малых о x2

получаем:

3

x

3 1 cos x

1 cos

lim

lim

.

5x2

x 0 5x2 +7x3

x 0

Заменим cos x его разложением по формуле Маклорена:

cos x 1

x2

о x2 , тогда

3

2!

3 1 cos x

1 cos

x

lim

lim

5x2

x 0 5x2 +7x3

x 0

3

x2

o x2

3

x2

lim

2

lim

2

,

x2

5 x 0

5 x 0 x2

Поскольку

x2

o x2

~

x2

при x 0 .

2

2

Окончательно

lim

1 cos3 x

3

.

+7x3

10

x 0 5x2

№

Задание

По данному графику функции y y x

постройте вид графиков y , y .

РЕШЕНИЕ:

y x убывает,

1) На интервале 3;0

y 0 ,

lim

0 0 .

y ,

y

x 3 0

2) На интервале 0;2

y x возрас-

тает, y 0 ,

lim y .

x 2 0

y x убывает,

3) На интервале 2;5

1 y 0 ,

lim

y .

x 5 0

ет, y

0 , на интервале 7;9

y x

6) y 3, 5

y 7 0

производной y x .

По данному графику

производной y постройте вид

графика функции y y x .

РЕШЕНИЕ:

1) На интервале 3;1

y 0 ,

y x возрастает, lim

y , т.е., скорость возрастания

y x

x 1 0

также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция

y x неограниченно возрастает, таким образом, x 1 – вертикальная

асимптота графика.

2) На интервале 1;3 y 0 , y x возрастает, причем

lim y , (чем ближе точка к x 1 – справа от нее, тем больше

2

x 1 0

x 1 –

скорость возрастания), что указывает, что lim y , т.е.,

x 1 0

точка разрыва второго рода.

3) В точке x 3 производная

меняет знак с «+» на «–», x 3 –

точка локального максимума.

4) На интервале 3;7 y 0 ,

y x убывает.

Эти

соображения

позволяют

построить примерный график

y x :

Функция

f x e x возрастает

в своей

области определения,

так

как

3

f x e

x

0 при любых

x R .

f x