Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

x 2ax

, 2a 1. Решая полученную

систему для коэффициентов квадратичной функции, по-

лучаем a

, b

Функция

f x

является чётной, репзультат не изменится

для точки

х 1.

Докажите, что производная четной функции – функ-ция

нечетная, а производная нечетной функции – четная.

РЕШЕНИЕ:

f x lim

f (x x) f (x)

Пусть f x

четна,

x 0

f ( x x) f ( x)

f x f x . Тогда

f x lim

f x x f ( x)

x 0

f x x f (x)

lim

x 0

(обозначим

x x ,

x 0 при x 0)

lim

x x f (x)

f x ,

f x - нечетна.

x 0

Если f x нечетна, f x f x , то

f x lim

f ( x x) f ( x)

x 0

x x f ( x)

f x x f (x)

lim

x 0

lim

f x x f (x)

f x ,

f x - четна.

x 0

Пусть y f 1 x – функция, обратная заданной

y f x . Выразите f

через x и

, если

f x x ex .

РЕШЕНИЕ:

Если y f x , то x f 1 y ;

1 e f 1 x

1 e

, f

y xy

. Обо-

1 e

значая аргумент обратной функции через x , получаем

1 e f

Покажите, что функция y arcsin x удовлетворяет диф-

112

ференциальному уравнению 1 x2 y xy .

РЕШЕНИЕ:

y arcsin x

1 x2

2x .

1 x2

1 x2 y

xy .

1 x2

4.5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Найдите y

x .

(x) , если y arctg

РЕШЕНИЕ:

3arctg x

1 х2 .

Найдите y

(x) , если y sin ln x

РЕШЕНИЕ:

y cos ln x3 4x2

3x2 8x

sin x cos x

Найдите y

(x) , если

РЕШЕ-

sin x cos x

НИЕ:

(sin x cos x)(sin x cos x)

(sin x cos x)2

(sin x cos x )(sin x cos x ) (sin x cos x )(cos x sin x )

sin 2

x 2 sin x cos x cos2

sin 2

x 2 sin x cos x cos2 x sin 2

x 2 sin x cos x cos2 x

1 sin 2 x

2(sin2 x cos2 x)

1 sin 2x

Найдите y (x) , если

y ln(

2sin x 1

2sin x 1) .

РЕШЕ-

НИЕ:

2cos x

2sin x 1

cos x(

2sin x 1

2sin x 1)

2 sin x 1

4 sin2

x 1

113

cos x

4sin2 x 1

ln x

y arctg

Найдите y

(x) , если

РЕШЕНИЕ:

ln2

3x x(9 ln 2 x)

y 5sh

Найдите

3sh

y (x) , если

РЕШЕНИЕ:

2 x

5 3sh

3 5sh

15sh

1 sh

sh2

ch2

sh2

ch3

Найдите

(x) , если

y x

РЕШЕНИЕ:

ln y ln xx x ln x;

ln y

x ln x

ln x

ln x 1;

y ln x 1 xx .

Найдите

(x) , если

y (sin x)

tgx

РЕШЕНИЕ:

Применяем метод логарифмического дифференцирования.

ln y tg x ln(sin x);

ln sin x

(ln y)

tg x

cos x

ln sin x

;

sin x

cos2 x

ln sin x

tg x

ln y

y (ln y) y 1

(sin x)

cos

114

																					(2x 1)3											3x 2
	Найдите y								(x) , если								y																					.
																						(5x 4)2
																													3 1 x
	РЕШЕНИЕ:																												3 1 x
	РЕШЕНИЕ:
	ln y 3ln(2x 1)									1		ln(3x 2) 2ln(5x 4)																			1		ln(1 x) ;
	ln y 3ln(2x 1)											ln(3x 2) 2ln(5x 4)																					ln(1 x) ;
									2																						3
15			3							1			1									1									1				1				( 1) ;
							2								3		2									5
	(ln y)						2								3		2									5
			2x 1								2 3x 2											5x 4									3 1 x
				y
	ln y				,
	ln y				,
				y
		(2x 1)3											6									3									10									1
	y	(2x 1)3						3x 2					6									3									10									1			;


		(5x 4)2 3 1 x
		(5x 4)2 3 1 x											2x 1						2(3x 2)									5x 4									3(1 x)


	Найдите						y (x) , если y												5			x3 x 1 7									.
																						x 6
																						x 6
	РЕШЕНИЕ:
						1
	ln y					1	3ln x 7 ln											x 1 ln													x			6				;
	ln y						3ln x 7 ln											x 1 ln													x			6				;
16						5
16							1		3				7									1																			y
							1		3				7									1																			y
	ln y																								;				ln y													,
	ln y													x 1						x 6					;				ln y													,
							5		x					x 1						x 6																					y
			1				3		7								1								x3					x				1		7
			1				3		7								1
		y																				5																	.
		y															6					5					x 6												.
			5				6 x 1 x										6										x 6
	Вычислите производную y 'x																								функции
17	x sin2 t,						y cos2 t,									0 t							π	, заданной параметриче-
	x sin2 t,						y cos2 t,									0 t								, заданной параметриче-
	ски.																					2
	ски.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой для производной функции, заданной параметрически:

y '

y 'x x't . -1

Вычислим производные по переменной t : y 't 2cost sin t ,

x't 2sin t cost,

отсюда

115

y 'x	y 't	2cost sint	1.

	x't 2sint cost

																																							3	3t 1;
	Найдите y																						y x												x t					3t 1;
	Найдите y												(x) , если										y x																	5				3
																																								5	5t			3	1.

18																																			y 3t
18	РЕШЕНИЕ:																																														5t2
														15t	4		15t						2					5t					2	(t	2	1)
							y			(x)				15t			15t											5t						(t		1)			5t			2

		y (x)														2			3													(t		2	1)
								x (t)						3t					3													(t			1)
	Составьте уравнения касательной и нормали к кривой
	y			x2		2x 3								в точке x0																4 .
	y					4								в точке x0																4 .
						4
	РЕШЕНИЕ:
						1				(2x 2);								y			(4)						8 2										3	;

		y (x)				4																								4							2
						4								16 8 3												5				4							2
19		y(x0 ) y(4)												16 8 3												5			.																y	1	( 32x 47)
19		y(x0 ) y(4)																											.																y		( 32x 47)
															4											4																			12
	Уравнение касательной:
		y	5					3			(x 4) y													1	(6x 19) .
		y									(x 4) y												4		(6x 19) .
	4					2																	4
	Уравнение нормали:
		y	5								2	(x 4) y													1						( 32x 47) .
		y										(x 4) y																			( 32x 47) .
	4								3														12
	Составьте												уравнение касательной																														к		графику функ-
													a cos				3		t
	ции: y x									x			a cos						t			в точке t																		.

																																						4
																3																						4
										y			a sin			3			t
										y			a sin						t
20	РЕШЕНИЕ:																																												y х			а	2
20		dy			y								a 3sin						2		t cost																								y х			2
																			2																													2
							t																										tgt .

																		2		t sin t
		dx											a 3cos
		dx			x t								a 3cos
	При t

									4
									4

116

;

Уравнение касательной

или y x

Найдите производную

y x функции

y x ,

если она задана

неявно уравнением x2

x2 y xy 2 0 .

РЕШЕНИЕ:

2x 2xy y 2

21 Дифференцируем равенство по x :

x x 2y

2x 2xy x2 y y 2 2xy y 0 .

Отсюда

2x 2xy y 2

x x 2y .

Найдите

0,5x 7 .

y ,

,...., если y x

РЕШЕНИЕ:

	y 5x4 8x3		9x2 2x 0,5;
22	y 20x3 24x2 18x 2;
22	y 60x2	48x 18;
	yIV 120x 48;
	yV 120;
	y(6) y(7) ... 0

	Найдите	y(100 ) (x) , если y x shx.
	РЕШЕНИЕ:
	Воспользуемся формулой Лейбница.
	y f (x) g(x), где f (x) x,			g(x) shx .
	f (x) x,		g(x) shx,
	f (x) 1,		g (x) chx,

23		0,
23	f (x)	0,	g (x) shx,
	.......		........
	f (n) (x) 0,		g(99) (x) chx,
			g(100) (x) shx.

В формуле Лейбница ненулевыми будут только два слагаемых: при k 0 и k 1 .

117

(100)

(x)

f (x)

(n)

(n 1)

(x)

(x) n f

(x)

x shx 100 chx

Найдите y

функции,

заданной параметрически:

sin t

x sect

y tgt

t 0,

cost

РЕШЕНИЕ:

sin t

tgt

cos

cost

cos

sin t

cos2 t

cost

yx t

sin2 t

yxx

sin t

ctg t

3 .

yxx

cos2 t

Найдите

функции,

заданной

неявно:

y tg x y .

РЕШЕНИЕ:

Дифференцируем

уравнение

по

x :

1 yx

cos2 x y 1 yx

yx cos2

x y

yx 1

cos2 x y 1

cos2 x y

1 cos2 x y

sin2

x y

2 y2 1

Используя

получаем

yx 1

yxx

sin2

tg2

x ,

Повторно

дифференцируя

по

получаем

2 y2

yxx

118

4.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Найдите

дифференциал

функции

a2 arcsin

y(x) x

a2 x2

при

произвольном значе-

x и

нии аргумента

при

произвольном

его приращении

x dx .

РЕШЕНИЕ:

y x

a2 x2 x

a2 x2

a2 2x2

a2 x2

dy y x dx 2a2 x2 dx .

Найдите дифференциал 2-го порядка функции y 3 x2 .

РЕШЕНИЕ:

y 3 x2 e x2 ln 3 e x2 ln3 x2 ln3

2xln3e x2 ln 3 xln9e x2 ln3 .

y ln9 xe x2 ln3 ln9 e x2 ln3 2x2 ln3e x2 ln3

3 x2 ln9 x2 ln9 1 .

Найдите дифференциал неявно заданной функции y5 y x2 1.

28РЕШЕНИЕ:

Дифференцируем равенство:

	5y4dy dy 2xdx 0, откуда dy			2xdx	.
	5y4dy dy 2xdx 0, откуда dy				.
				5y4 1

	Вычислите приближенное значение arcsin0,51					помощью
	дифференциала.
29	РЕШЕНИЕ:			y arcsin x .
29	Рассмотрим	функцию		y arcsin x .		Полагая
	x 0,5; x 0,01	и	применяя			формулу
	arcsin(x x) arcsin x (arcsin x) x , получаем

			119

					1
arcsin 0,51 arcsin 0,5								0,01

						1 (0,5)2
						1 (0,5)2

		0,011 0,513.
	6	0,011 0,513.
	6
Вычислите приближенно 4							.
Вычислите приближенно 4						15,8	.
РЕШЕНИЕ:
Пусть y 4				,	где x 16.
Пусть y 4			x	,	где x 16.

Тогда y 16 416 2 ; y 15,8 y 16 y .

Применим формулу y dy y x x ;


30	x 15,8 16 0,2 ;
			14		1 14 1			1 34
		x x
			x				x ;
	y		x				x ;
					4		4
		1	3	4	1		1
	y 16		16	4					.
	y 16		16			4 8			.
		4				4 8	32

Тогда y 15,8 2 1 0,2 2 0,0062 1,9938. 32

Вычислите приближенно значение объема V шара радиу-

са r 1,02 м.

РЕШЕНИЕ:

Так как	V r	4	r 3 ,	то, полагая,	r0 1,	r 0,02 и ис-

31 пользуя	3
	формулу			для	V ,	получаем

V1,02 V 1 V V 1 V 1 0,02

4 4 0,02 443 м3 3

4.7. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Вычислите предел

lim

ln cos 2x

РЕШЕНИЕ:

x 0

sin 2x

sin2x 2

lncos2x

sin2x

lim

cos2x

lim

0 .

x 0 sin 2x

x 0

cos2x 2

x 0 cos

Вычислите предел функции lim

4x2 3x 18

РЕШЕНИЕ:

x 3 x3 5x2 3x 9

120

					x3 4x2 3x																18												27 8 9 9 18																										0
			lim		x3 4x2 3x																18					lim							27 8 9 9 18																										0
			lim					3							2											lim
			x 3			x		3		5x					2		3x 9										x 3 27 5 9 9																										9
			x 3			x				5x							3x 9										x 3 27 5 9 9																										9						0

								3x2 8x 3																	27 24 3																	0															6x 8
			lim																																															lim
			lim								2	10x 3																																						lim
				x 3 3x								10x 3														27 30 3																0													x 3 6x 10
																									18 8									10							5				.
																																													.
																								18 10									8		4
																																																	2									.
	Вычислите предел функции																														lim							x 13											2							x 1
	Вычислите предел функции																														lim
	РЕШЕНИЕ:																															x 3										3						x2 9
	РЕШЕНИЕ:																																1																	2
																																	1																	2
			x 13 2											x 1							0
34	lim		x 13 2											x 1							0				lim				2				x 13														2				x 1


	x 3																										x 3			1			x2 9 2/ 3 2x
	x 3				3 x2 9																		0				x 3			1
					3 x2 9																		0			2						3
						1						1																				3
																				2
																			x	2		9 3


						16									4
	lim			2		16									4												0.
	lim												2														0.
		x 3														3

												3
												3
																																							sin					x2
	Вычислите предел функции																															lim							sin													.
																																														π

																																x π 2 sin x 1																2
	РЕШЕНИЕ:
				sin				x2									0
35	lim			sin					π
									π


	x π 2			sin x 1						2
	x π 2									2									0
																	x2			1			2x
												cos																								2
												cos								π
	lim																	π		π																							.
	lim																						1																				.
	x π 2											ln 2																cos x									ln 2
					sin x 1

																	2				sin x 1
	Вычислите предел функции																														lim						23x						35x										.
	Вычислите предел функции																														lim																						.
	РЕШЕНИЕ:																															x 0 sin 7x 2x
	РЕШЕНИЕ:
36			lim				23x					35x										0				lim					23x ln 2 3 35x ln 3 5
36							23x					35x										0

			x 0 sin 7x 2x																								x 0								7 cos 7x 2
			x 0 sin 7x 2x																				0												7 cos 7x 2
		3ln 2 5 ln 3												.
														.
					5
37	Вычислите предел функции																															lim								ex							e							.
	Вычислите предел функции																															lim			sin x2 1																			.
																																x 1			sin x2 1

121

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc