Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой ко-

нечных приращений. Так как a b , то a b a , a b a , где

0 1,	откуда a (b a) ,								f b f a f						a b a b a .
2). Точек может быть несколько.
2). Точек может быть несколько.
3).Теорему	Лагранжа				можно		использовать						для		приближенных		вычислений:
f b f a		f a b a b a ,									где		0 1.			Положим		1	, тогда
f b f a		f a b a b a ,									где		0 1.			Положим			, тогда
																	2
			a b														2
			a b
f b f a		f				b a . Чем ближе b к a, тем меньше погрешность.
f b f a		f		2		b a . Чем ближе b к a, тем меньше погрешность.
				2
ПРИМЕР. Вычислите приближенное значение функции arctg1,1.

b 1,1; a 1,0; b a 0,1; arctg1,1 arctg1 0,1 arctg x ,
1,1 1,0	2,1						1			1					1
1,1 1,0	2,1						1			1					1
x			. arctg x						;					2,1		0,5, arctg1,1				0,05.
								2
		2						2		1 x		2			2,1
2		2				1 x				1 x			2		2,1		4
													x

3.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)

Теорема. Пусть функции f x и x

1) непрерывны на отрезке a,b ,

1) имеют производные f x , x в каждой точке интервала a,b ,

3) x 0 в каждой точке интервала a,b ,

то существует, о крайней мере, одна точка a,b , такая, что

f b f a	f
		.
b a

Доказательство

b a , так как иначе, по теореме Ролля, x обратилась бы в

нуль, по крайней мере, в одной точке a,b .
Рассмотрим вспомогательную функцию:
F x f x f a	f b f a	x a .

	b a

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует точка a,b , такая, что F 0,

F f	f b f a	0 ,
	b a

разделим на , 0 :

f	f b f a	.
	b a

f b f a	f
		.
b a

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при x x .

3.4. Правило Лопиталя-Бернулли
Это правило описывает раскрытие неопределенностей типа				0	и


методами дифференциального исчисления.				0

Рассмотрим F x	f x	, где f x	и x дифференцируемы в некото-

	x

рой окрестности точки а, исключая, быть может, саму точку а. Если при x a

f x	и x	0 , функция	F x имеет в точке а неопределенность	0

				0

или .

Теорема. Пусть

1. f x , x - определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.

2.x 0 всюду в этой окрестности.

3.lim f a lim a 0 .

x a x a

Тогда, если существует (конечное или бесконечное) предельное значение

lim

, то

существует

предельное

значение

lim

f x

, причем

x a x

lim

f x

lim

x a x

Доказательство

f x

и x в точке а, поло-

Доопределим по непрерывности функции

жив f a a 0 . Возьмем

отрезок a,b , принадлежащий окрестности точ-

ки а, указанной в формулировке теоремы. Выберем на этом отрезке точку

x a . На отрезке a, x

по теореме Коши

f x f a

a x , -

x a

промежуточная точка отрезка a, x .

Но

f a a 0 , значит,

f x

. Если x a , то и a , сле-

довательно, lim

f x

lim

x a x

ξ a

x a x

Более коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

1). Если рассматривается предел при x ,	x 0 ,	f x 0 , то утвер-
ждение остается справедливым:

f x

lim

x x

z 0

2). Если lim f a lim a 0 и

x a x a

lim

z 0

f x , x удовлетворяют условиям теоре-

мы, то можно применять правило Лопиталя к

т.е., lim

lim

x a x

Таким образом правило Лопиталя можно применять несколько раз.

3). Без доказательства приведем следующее утверждение:

f x

lim

x a x

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

3.5. Примеры применения правила Лопиталя

Неопределенность вида .

1) lim sin 2x lim cos 2x 2 2 .

x 0 x

x 0

lim

x sin x

x 0

x 0 1 cos x

Неопределенность вида

ax ln a

lim

x x

0 2

0 lim sin x .

x 0

x 1

4) lim

lim

0 .

x 2 x 1

Неопределенность вида 0 .

5) lim x

ln x 0 lim

ln x

lim

0 .

x 0

2 x3

Неопределенности вида

, 1

В этом случае применяется предварительное логарифмирование, переходя к

неопределенности вида 0 .

6). Вычислим

lim xx

Результат

логарифмирования: ln y x ln x .

x 0

ln x

limln y lim x ln x 0 lim

lim

0 .

x 0

limln y 0 , ln lim y 0 ,

lim y 1,

lim xx 1.

x 0

3.6. Формула Тейлора

Теорема. Если

f (x) дифференцируема (n 1)

раз в окрестности точки x0 , то

для любого x из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n:

f (x) f (x )

f (x0 )

(x x )

f (x0 )

(x x )2

f (x0 )

f (n) (x0 )

(x x )3 ...

(x x )n R

(x),

n 1

где

(x)

f (n 1) (x (x x

))

(x x

)n 1;

0 1.

n 1

(n 1)!

Rn 1(x) называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Обозначим

x, x	f x	0	f x0	x x	0	...	f n x0	x x	0	n	,

0			1!				n!

x, x0 - многочлен n -го порядка (так называемый многочлен Тейлора),

Rn 1 x f x x, x0 .

Покажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем x из указанной окрестности, пусть x x0 . На отрезке x0 , x рассмотрим вспомогательную функцию

x t n 1

Ô t f x x,t x x0 n 1 Rn 1 x , где t x0 , x .

Поскольку Ф x0 Ф x 0,

то Ф t

удовлетворяет условиям теоремы

Ролля и существует точка x0 , x , в которой Ô 0.

Для вычисления Ф t

запишем x,t :

(n)

(t)

(x,t) f (t)

(t)

(x t)

(t)

x t 2

x t n .

Ô t t x,t n 1

x t n

Rn 1 x

x x0 n 1

t x,t f t f t x t

f t

x t 2

2 x t ...

(n 1)

x t n

(n)

n x t n 1

n 1

x t n .

Следовательно,

Ф t

f n 1

x t

n 1

x t n

Rn 1 x

x x0 n 1

при t

f n 1

x x

n 1

n 1 !

n 1

1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию y f (x) в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена.

2). Полученная формула для Rn 1 x дает остаточный член в форме Лагранжа,

но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме Пеано:

Rn 1 x o x x0 n - бесконечно малая более высокого порядка малости

по сравнению с x x0 n .

3.7. Частные случаи формулы Тейлора

1). При x0 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:

f x

f 0

x2 ...

f n 0

xn R

x ,

n 1

f n 1 x

xn 1 ; 0 1.

n 1 !

2). Рассмотрим f x c0

c1x1

c2 x2 ... cn xn - многочлен порядка n .

Поскольку для любых x f n 1 x 0 , то для всех x

Rn 1 x 0 и

f x0

f x f x0

x x0

...

x x0

Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка n можно представить в виде многочлена по степеням x x0 .

ПРИМЕР

Многочлен 2x3 3x2 5x 1 разложить по степеням x 1 .

Решение

f x 2x3 3x2 5x 1; x 1; f		1 9 .
	0
Ищем коэффициенты формулы Тейлора:
f x 6x2 6x 5 f 1 17;
f x 12x 6	f 1 18;
f x 12	f 1 12;
f IV x 0

f ( n ) x 0;

f x 9 17 x 1 18 x 1 2 12 x 1 3 . 1! 2! 3!

Учитывая, что 1! 1 ; 2! 1 2 ; 3! 1 2 3 , получим ответ:

2x3 3x2 5x 1 9 17 x 1 9 x 1 2 2 x 1 3 .

3.8. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

1. f x ex , f x ex , f x ex ,

f n x ex ,

ex 1 x x2

1! 2! 2. f x sin x ,

f 0 1,

f 0 1, f 0 1,

f n 0 1.

... xn Rn 1 x . n!

f 0 0 ,

			,
f	x cos x sin x 2			f	0	1,

				,
f		x sin x sin x 2 2			f		0	0,

x cos x sin x 3 2 ,

……………………………………………..,

x sin x n 2 ,

n – четное,

sin

1 n

n – нечетное.

sin x x

... 1 n

x2n 1

x .

(2n 1)!

2n 3

Нечетная функция sin x разложена по нечетным степеням x .

3. f x cos x , f

0 1,

x cos

x n

n – нечетное,

0 cos n

n – четное.

cos x 1

... 1 n

x2n

x .

(2n)!

2n 2

Четная функция cos x разложена по четным степеням x .

4. f x ln 1 x ,

f 0 0 ,

f x

f 0 1,

1 x

f x

f 0 1,

1 x

f x

f 0 1 2,

1 x

1 n 1

n 1 !

f n x

n 1

n 1 !

1 x n

ln 1 x x

... 1 n 1

Rn 1 x .

5. f x 1 x , где – любое действительное число.


		1					1 ... n 1
1 x	1 x			x2	...				xn R	x .
1 x	1 x			x2	...				xn R	x .
	2!							n!	n 1
	2!							n!
Частный случай n :
1 x n	1 nx	n n 1	x2	...		n!xn		- формула бинома Ньютона.
1 x n	1 nx		x2	...		n!		- формула бинома Ньютона.
	2!					n!

Формулы Маклорена для элементарных функций с остаточным членом в форме Пеано:

1. ex

1 x

...

o xn .

2. sin x x

... 1

n 1

o xn 1 .

Разложение для синуса часто записывают до членов 2n+1-го порядка в виде

2n 1

o x2n 2

2k 1

o x2n 2

sin x x

...

1 n

2k 1 !

3! 5! 7!

2n 1 !

k 0

3. cos x 1

... 1

o xn 1 .

Разложение для косинуса можно записать до членов 2n-го порядка в виде

cos x 1

... 1 n

o x2n 1

2n!

2! 4! 6!

k 0

4. ln(1 x) x

... 1 n 1

o xn .

ln(1 x) x

...

o xn

o xn ,

k 1

1 x

x2k 1

o x

2n 2

...

2k 1

5 7

k 0

5. 1 x 1

o xn .

1 ...

k 1

1 x x2

... ( 1)k xk o xn ,

1 x

k 0

o xn ,

1 x x2 x3

... xk

1 x

k 0

1 x

1 3

1 3 5

... 1

n 1 1 3 2n 3

o x

2 4

2 4 6

2 4 2n

2 4 6 8

1 3

1 3 5

...

1 n

3 2n 1

xn o

1 x

2 4

2 4 6

2 4 2n

1 3 5...(2k-1)

x2k +1

+o x

2n 2

, x [ 1,1]

6. arcsin x x k 1

2 4 6...(2k-2)

2k 1

o x2n

7. arctg x ( 1)k 1

2k 1

k 1

2k 1

o x2n 2 .

8. sh x

....

3! 5!

k 0 2k 1 !

o x2n 1 .

9. ch x 1

...

k 0

2k !

3.9. Оценка остаточного члена

Пусть f x

такова, что при любых n и x из окрестности точки x

f n x

M .

Рассмотрим остаток: R

f n 1 ( )

x x

n 1 .

n 1

n 1 !

(x)

(n 1)

( )

x x

n 1

x x0

n 1

x x

для всех

n 1

(n 1)!

n 1

x x

При

0 и остаточный член может быть сделан сколь угодно

n 1 !

малым путем увеличения n.

Итак, если

f x

обладает указанным выше свойством, то формулу Тей-

лора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.

3.10. Приложения формул Тейлора и Маклорена
1). Вычисление приближенных значений функций по формуле:
f x f x0	f x0	x x0 ...	f n x0	x x0	n	.
f x f x0		x x0 ...	n!	x x0		.
1!			n!

Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного чле-

на.

Rn 1 x

, где

- погрешность.

ПРИМЕР

Вычислите число e с точностью 10 3 .

Рассмотрим

ex , x 1,

x 0 .

e 1

...

(1),

0 1.

n 1 !

n 1

Rn 1 1

e 3

Rn 1

n 1 !

0,001: n 7.

Найдем наименьшее n , удовлетворяющее условию

n 1 !

e 1 1!1 2!1 ... 6!1 2 0,5 0,167 0,042 0,008 0,001 2,718 .

2). Вычисление пределов функций.

ПРИМЕР

sin x x

... x

lim

...

lim

x 0 x3

x 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc