Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ:
Выражение представляет неопределенность типа																																							.
Выражение представляет неопределенность типа																																							.
Преобразуем подкоренные выражения, выделив
Преобразуем подкоренные выражения, выделив																																						0
возрастающие множители:																																						0
																																												1
									n 1																							1												1											1
	n 1								n 1							n						n				1						1					n									2			1						1	,
	n 1															n						n				1						n					n									2			1						n	,
													n																			n																							n
																											2
																				1							2															1
3	n2 1					3					n2				3 1								n								3 1																,
3																													3
																				n2									3														n2
																				n2																							n2
																											3
																			1								3														1
	n3 1									n3				1									n								1																,
																												2
																			n3									2													n3
																			n3																						n3
																							1
																	1						1										1
4	1 n				4				n			4 1					1		n					4	4 1								1					.
4	1 n				4				n			4 1							n					4	4 1													.
																		n															n
Выносим в числителе и знаменателе старшие
степени:
																														2
																														2						1											1											1
																										n																											3 1
																														3
																														3										1									4
																																																										n	2

			n 1 3 n2 1
																																				n3											n3
lim																			lim																	n3											n3


n			n3 1										4	1 n							n									3														1										1				1
n			n3 1										4	1 n							n																							1										1				1
																											n2								1																	4
																											n2								1										n3							4		n6				n5
																																													n3									n6				n5
				1 1
lim													0.
lim				5			1						0.
				n6			1
	n

	Вычислите предел числовой последовательности

lim		n2						n2					n					.
n
РЕШЕНИЕ:
	В этом примере мы имеем дело с неопределен-
ностью типа ( ) ,																					т.к. n2 и																																				при
ностью типа ( ) ,																					т.к. n2 и																														n2			n			при
n .
Эту неопределенность можно устранить или превра-
12
тить в неопределенность типа																																										, вынося за скобку
тить в неопределенность типа																																										, вынося за скобку

старшую степень или домножая на сопряженное.
Способ 1:

																																		1													1
		n2						n2					n					lim n2
lim																											1																										.
lim																											1															2								3			.
n																				n																			n			2						n		3
																																							n									n

Выражение в скобках стремится к единице, а n2 . Отсюда следует, что


	lim n			2												1			1
							1																		.
							1										2						3		.
	n														n		2			n			3
															n					n
	Способ 2:																												n2																				n2

																																							n2 n																								n2 n
			n				2						n	2			n																						n2 n																								n2 n
	lim		n										n				n					lim
	n																								n														n2 n2 n
																																n	4							1									1
									n		4	n				2	n																		1
											4					2																			1						n			2					n		3
	lim																							lim																	n								n								lim n2										.
	lim																							lim																																	lim n2										.
	n				n					2					n		2	n								n					n2												1							1											n
																																		1									1							1
																																		1								n2								n3
																																										n2								n3

		Вычислите предел lim																																	cos(n2 )											.
		Вычислите предел lim																																				n 1								.
	РЕШЕНИЕ:																												n									n 1
	РЕШЕНИЕ:
	Последовательность																													cos(n2 )																есть											произведение


13																														n 1																																							0
13																																						cos(n									)															1							0
																																														2																1
	двух						последовательностей																																															и													,	из
	двух						последовательностей																																															и													,	из
																																																														n 1
	которых												первая														ограниченная,																										а							вторая
																																																								cos(n2 )
	бесконечно малая. Следовательно,																																															lim																	0 .
	бесконечно малая. Следовательно,																																															lim																	0 .
																																																	n										n 1
																																		10n 5n 1
		Вычислите предел lim																																														.
		Вычислите предел lim																																			7n 5n											.
	РЕШЕНИЕ:																												n								7n 5n
	РЕШЕНИЕ:
																										n								5					n
						n						n 1									10						1 5																																n									n
																					10						1 5
		10						5																												10																			10											10
		10						5																												10																			10											10
	lim														lim																														lim																	lim						.
	lim		7				n					n			lim																							n							lim													n				lim						.
	n		7						5									n																	5													n 7																n		7
14																									7n			1							5
14																									7n			1

																																			7
																														10						n
	Последовательность																													10									-					бесконечно большая,

																														7
																														7

	т.к.	10						1. Следовательно, lim																																	10 n											.

			7																																									7
			7																																		n							7
		Вычислите предел lim																																				(n 1)! n!																							.
		Вычислите предел lim																																																											.
	РЕШЕНИЕ:																												n (n 2)! (n 3)!
15	РЕШЕНИЕ:																																																																				0
			В этом примере мы опять имеем дело с
	неопределенностью																												.
	неопределенностью																												.

Расписываем факториалы по формуле n! 1 2 3 ... n

	(n 1)! n!
lim

n (n 2)! (n 3)!

lim	1 2 3 ... n (n 1) 1 2 3 ... n
		2) 1 2 3 ... (n 2) (n 3)
n 1 2 3 ... (n 1) (n
lim	1 2 3 ... n (n 1 1)			lim	n! (n 2)

n 1 2 3 ... (n 2) (1 n 3)				n (n 2)! (n 4)
lim	n 2		0.

n (n 1) (n 2) (n 4)

Вычислите предел числовой последовательности

lim

n! n 2 !

n 1 ! n 2

РЕШЕНИЕ:

n! n

2 !

n 2

lim

n! 1

n 2

! n

1 !

1 n

n 1

lim

n 1 n2 3n 2

lim

n3 3n2

n 1 n3 3n2 2n

n n3 3n2 2n 1

Вычислите предел числовой последовательности

2 4 ... 2n

lim

n .

n 3

РЕШЕНИЕ:

Числитель дроби представляет собой сумму n

первых членов арифметической прогрессии, которая

равна

-2

a1 an

2 2n

n 1 n n, поэтому

2 4 ... 2n

(1 n)n

lim

n 3

lim

n n 3

Вычислите предел lim

РЕШЕНИЕ:

n n

n 1 1

n 1

Тогда

1 n 1

e .

lim

n 1

Вычислите предел числовой последовательности

4n2 4n 1 1 2n

lim

n 4n

РЕШЕНИЕ:

4n2 4n 1 1 2n

выделим единицу

lim

в основании степени

n 4n

2n 4

1 2n

lim

2n 3

2n 4

4n2 2n 3

2n 4

1 2n

2n 4

4n2 2n 3

lim

4n2 2n 3

2n 4

1 2n

2n 4

4n2 2n 3

lim

2n 4

2n 3

по известному пределу последовательности

основание степени равно числу e

2n 4

1 2n

lime4n2 2n 3

ниже будет доказано, что в силу свойств

функции ex (непрерывность функции)

это выражение можно записать в виде

lim

2n 4

1 2n

n 4n2 2n 3

n 1 n 2

Вычислите предел lim

РЕШЕНИЕ:

n n 2

n 2

n 1

( n 2 )

n 2

lim

n 2

(n 2)

lim

e .

n 2

Таким образом, в последовательности

( n 2 )

n 2

основание стремится к e, а

n 2

последовательность

расходится и

n 2

при n . Таким образом, получаем

n 2

n 1

n 2

0 .

lim

n n 2

4.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

№

Задание

Ответ

Докажите, что

lim

15x2 2x 1

(найдите ).

РЕШЕНИЕ:

x 1/ 3

По определению предела функции:

А lim f x

0 x

x a

f x А

15x2 2x 1

15x 3 8

x 1/ 3

15x 5

x 1/ 3

1). Возьмем произвольное 0.

2). Положим = . 15

3). Возьмем x X . Тогда если 0 x a , то

0 x a f x À , что и требовалось

доказать.

x 2

Вычислите предел lim

x 0

РЕШЕНИЕ:

x 2

lim

x 0 x

x3 4x2 3x 18

Вычислите предел lim

x3 5x2

x 3

3x 9

РЕШЕНИЕ:

4x2 3x 18

lim

5x2

3x 9

x 3 x3

Так как число 3 является корнем числителя и

знаменателя, поделим числитель и знаменатель на

x 3.

x3 4x2 3x 18

x 3

x3 3x2

x2 x 6

x2 3x

6x 18

x3 5x2 3x 9

x 3

x3 3x2

x2 2x 3

2x2 3x

2x2 6x

3x 9

x3 4x2 3x 18

lim

x3 5x2

3x 9

x 3

x2 x 6

lim

;

x 3

найдем корни квадратных трехчленов

lim

x 3 x 2

lim

x 2

x 3

x 1

x 3

x 1

3 4

Вычислите предел lim

x 81 9

РЕШЕНИЕ:

Пусть t 4

. Тогда

3 t

lim

x 81 9 x

t 3 9 t2

t 3 3 t

Вычислите предел

lim

1 x .

РЕШЕНИЕ:

Домножим и поделим на сопряженную величину:

x lim

x2 1

x 2

lim

x2 1 x

lim

x2 1 x2

lim

1 x

x2 1 x

Вычислите предел lim

x 13

x 1

x 3

x2 9

РЕШЕНИЕ:

Домножим числитель и знаменатель на величину,

сопряженную числителю:

x 13

x 1

lim

x 3

x 13 4

lim

x 1

x 3

x 13

x 1

3 x2

x 3

lim

8 x 3

x 3

Определите порядок малости x

3 x3

1 x

x x при x 0 .

относительно

РЕШЕНИЕ:

3 x3

1 x

lim

3 const , откуда

x 0

x 0 1 x

x 2

x 3 x

, т.е. порядок малости x

относительно x x при x 0 равен

Докажите,

что

x x

имеет

второй

порядок малости относительно x при x 0 ,

если x 1/ 1 x ,

x 1 x .

РЕШЕНИЕ:

1 1 x2

x x

1 x

1, x

x x2

lim

x 0

x 0 1 x

при x 0 .

Вычислите предел lim

tg x

x 0

Применим первый замечательный предел:

tgx

sin x

lim

cos x

x 0

lim

sin x

lim

x 0

cos x

cos0

loga 1 x

Докажите соотношение: lim

, где

ln a

x 0

a 0, a 1.

РЕШЕНИЕ:

loga 1 x

ln 1 x

lim

x 0

x ln a

lim

ln 1 x

lim ln

1 x x

ln a x 0 x

ln a x 0

1			1	1			1

		ln lim 1 x x				ln e		.
	ln a				ln a
		x 0					ln a

Докажите соотношение: lim ax 1 ln a .

x 0 x

РЕШЕНИЕ:

Заменим переменную:

ax 1 y,

ax 1 y, x loga 1 y ,

lim y lim ax 1 0, (см. предыдущее упр.)

x 0

ax 1

ln a .

lim

loga

x 0

y 0

1 y

Докажите соотношение: lim

1 x a 1

a .

РЕШЕНИЕ:

x 0

Сделаем замену переменных 1 x a

et . Тогда .

1 x a 1

et 1

a .

lim

x 0

t 0

ea 1

Докажите соотношение: lim

1 x

РЕШЕНИЕ:

x 0

lim

1 x

lim

1 x

x 0

1 x 1

lim

1 x 1

lim

x 0 x

1 x 1

x 0

1 x 1 2

arcsin x /

Вычислите предел lim

1 x2

ln 1 x

x 0

РЕШЕНИЕ:

Используя ряд эквивалентных бесконечно-малых

при x 0 , можно записать:

arcsin

x , ln 1 x x ;

1 x2

arcsin x /

1 x2

lim

ln 1 x

x 0

x 0 x

Вычислите предел lim

xsin 2x

1 cos x 3

x 0

100

РЕШЕНИЕ:

lim

xsin 2x

lim

xsin 2x

lim

xsin 2x

1 cos x 3

x 0

1 cos x

x 0

2sin

2 x

x 2x

lim

x 0

Вычислите предел lim

cos3x cos x

РЕШЕНИЕ:

x p

tg2 2x

x t p

lim

cos3x cos x

x p

tg2 2x

t 0

lim

cos 3t 3p cos t p

x p

tg 2t

1 cos3t

cost 1

lim cos3t cost lim

t 0

tg2 2t

t 0

tg2 2t

2sin

2 3t

2sin

lim

tg2 2t

t 0

4t2

Вычислите предел lim

23x

35x

РЕШЕНИЕ:

x 0 sin 7x 2x

3ln 2 5ln 3

lim

sin 7x 2x

x 0

lim

3x ln 2 5x ln 3

3ln 2 5ln 3

x 0

7x 2x

sin

Вычислите предел

lim

РЕШЕНИЕ:

x 2

sin x 1

sin t 2

sin

x t

ln 2

lim

t x

lim

sin x 1 2

t 0

sin t 1

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc