Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ч 3 Матанализ интернет-материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

ДЗ № 6. Дифференциал. Правило Лопиталя

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова,

А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.288 Найти дифференциал функции при

ln xdx

произвольном значении аргумента x и

при произвольном его приращении

x dx , если sin x xcos x 4 .

6.291 Найти дифференциал неявно заданной

x y2 2x2 dx

функции x

x y .

y 2 y2

6.305 Найти дифференциал 2-го порядка

2 x2 sin x 2xcos x

функции y

sin x

dx2

6.316

5 x2

f x

разрывна при

Функция f

имеет на

концах отрезка [-1,1] равные значения

1,1

(проверьте!). Ее производная f ' x

равна нулю только в двух точках

(проверьте!), расположенных

за пределами этого отрезка. Какова

причина нарушения заключения

теоремы Ролля?

6.317 Показать, что функция

f x x2 1 на

5отрезке [-1,1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные точки этой функции.

6.322	Записав формулу Лагранжа дл			1/	3
6	функции f x	3	x3 3x на отрезке
6	[0,1], найти на интервале (0,1)
	[0,1], найти на интервале (0,1)
	соответствующее значение .
6.328	Записав формулу Коши для			1 1/ 2 , 2	5/3
7	f x 2x3 5x 1 и g x x2 4 на
	отрезке [0,2], найти значение .

162

	6.333	Указать тип неопределенности																0	или			1
		Указать тип неопределенности																	или
8												lnsin ax					0
8				и вычислить lim											.
				и вычислить lim											.
											x 0 lnsin bx
	6.334	Указать тип неопределенности																0	или			2/3
		Указать тип неопределенности																	или
9														e2x 1			0
9

				и вычислить lim												.
				и вычислить lim												.
											x 0 arcsin3x
	6.338	Указать тип неопределенности																0	или			2/3
		Указать тип неопределенности																	или
10																	0
10				и вычислить lim									2arctgx				.
													2arctgx

											x			e3/ x 1
	6.343	Указать тип неопределенности																0	или			1/2
		Указать тип неопределенности																	или
11												x3 4x2					0
11																5x 2
																5x 2
				и вычислить lim																	.
				и вычислить lim																	.
											x 1 x3 5x2					7x 3
	6.347	Указать тип неопределенности																0	или			cos3
		Указать тип неопределенности																	или
12																	0
12				и вычислить lim										cos x ln x 3						.
														cos x ln x 3

											x 3 0			ln e	x	e	3
											x 3 0

	6.354	Указать тип неопределенности 0																				0
13		или					и вычислить
13		lim ex e x 2 ctgx .
		lim ex e x 2 ctgx .
			x 0
14	6.355	Указать тип неопределенности 0
14		или														2 1/ x2
		или					и вычислить lim x e .
														x 0
	6.358	Указать тип неопределенности 0																				0
15		или и вычислить
			lim ln x ln x 1 .
			x 1 0
	6.359	Указать тип неопределенности 0																				-1
16		или и вычислить
16			lim			1		x
						1		x
											.
											.
			x 1 0		ln x			ln x
	6.360	Указать тип неопределенности 0																				0
17		или и вычислить
17						1			1

		lim								.
		lim							x	.
			x 0 arctgx						x
18	6.361	Указать тип неопределенности 0																				1/12
18		или					и вычислить
		или					и вычислить

163

			1		1
		lim	1		1				.
		lim							.
		x 1	2 1	x	3 1	3
			2 1	x	3 1			x
19	6.364	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,								1
19		1 и вычислить lim xsin x .
					x 0
20	6.366	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,								1
20		1 и вычислить			lim		2x cos x .
					x / 2 0
21	6.369	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,								2
21		1 и вычислить			lim x 2x 1/ x .
					x
22	6.371	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,								1
22		1 и вычислить			lim tgx 2 x .
					x /2 0
23	6.374	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,								e 6
23		1 и вычислить lim cos2x 3/ x2 .
					x 0

ДЗ № 7. Формула Тейлора

А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.380

Для многочлена

7 11(x 1)

x4 4x2 x 3 написать

10(x 1)2

формулу Тейлора 2-го порядка в

4 1 (x 1) (x 1)3 ;

точке x0

0 1

6.390

Написать первые n членов

формулы Маклорена (без

остаточного члена) для функции

(5x)3

y sin

(5x)2n 1

.. ( 1)n

22n 1 (2n 1)!

164

	6.388	Написать первые n членов																x2
		формулы Маклорена (без											1
													1						2
																			2
		остаточного члена) для функции																x4						x6
3																									..
3		y e	x2														22 2!						23 3!		..
			2		.																		x	2n
													.. ( 1)n											2n


																					2n n!
																					2n n!

	6.392	Написать первые n членов									1		x	2
	6.392	Написать первые n членов


		формулы Маклорена (без								1			8
		формулы Маклорена (без									3		8
		остаточного члена) для функции									1					x		4
											1
		y 3 8 x2 .

4										2		32 3! 82															.
												1 3			x			6		..
												1 3			x
												33 3!
												33 3!		83
														n 1 1 3 5 8... (3n 4)												x2n
										..	( 1)
										..	( 1)											3n n!				8n
																						3n n!				8n
	6.397а	Вычислить число sin1 с																	0,842
5		точностью до 0,001.
5

	6.397б	Вычислить число							с										1,648
	6.397б	Вычислить число						e	с										1,648
6		точностью до 0,001.
6

	6.400б	Используя разложение по																	1/2
		формуле Маклорена, вычислите
7		предел lim				1 cos x	.
		предел lim				x2 + x3	.
				x 0		x2 + x3

165

ДЗ №8. Исследование функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№	№ по						Задание									Ответ
п/п	Еф.						Задание									Ответ
п/п	Еф.
	6.404	Найдите интервалы возрастания и									2
		убывания и точки экстремума										,1 ;
		убывания и точки экстремума									3	,1 ;

		функции y x 1 x
		функции y x 1 x												2
														2
1										,						;
1										,						;
														3
										ymax				2

															3
											3				3
	6.411	Найдите интервалы возрастания и																						1
	6.411	Найдите интервалы возрастания и									1						1						1 e
		убывания и точки экстремума									1						1					; ymin	1 e
2										0,				;						,
2										0,				;						,
		функции y xx										e				e							e

	6.415	Определите наибольшее М и														0,6; 1
3		наименьшее m значения функции
3		y	x 1	на отрезке 0,4
			x 1

			x 1
	6.418	Определите наибольшее М и																	;0
4		наименьшее m значения функции															4
4		y arctg		1 x

							на отрезке	0,1
							на отрезке	0,1
				1 x
	6.422	Докажите неравенство
5					x2
		cos x 1				, x 0
		cos x 1			2	, x 0
					2
	6.425	Два тела движутся с постоянными											av1 bv2								cек
		скоростями v1 м/с и v2 м/с.											v21 v2					2
		Движение происходит по двум
6		прямым, образующим угол							, в
6		прямым, образующим угол							, в
								2

направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на

166

расстоянии а м, а второе – на

расстоянии b м. Через сколько

секунд после начала движения

расстояние между телами будет

наименьшим?

6.431

Цилиндр вписан в конус с высотой

r2 h

h и радиусом основания r. Найдите

наибольший объем вписанного

цилиндра.

6.435

На параболе y x2

найдите точку

1,1

N, наименее удаленную от прямой

y 2x 4.

6.443

Найдите интервалы выпуклости

;

и 1,

графика функции

1,1

M1 1, 3

,M1 1, 3

;k1 k2

y 3

,точки перегиба

x 1

и угловые коэффициенты k

касательных в точках перегиба.

6.446

Найдите интервалы выпуклости

,0 ; 0, ;

графика функции y xln

,точки

M 0,0 ;k

перегиба и угловые коэффициенты

k касательных в точках перегиба.

6.452

Найдите асимптоты графика

x 2, y 1

функции y

x 2

6.457

Найдите асимптоты графика

y 0

функции y

sin x

6.471

Постройте график функции

x2 4

6.495

Постройте график функции

y sin x cos x .

6.481

Постройте график функции

y 3 x 1 3 x 1 .

6.491

Постройте график функции

x2 3

6.498

Постройте график функции

arctgx .

6.507

Постройте график функции

167

		y x2			x2

				1 e 2 .
	6.511	Постройте график функции
19		y	ln x	.
		y	x	.
			x
20	6.520	Постройте график функции
20		y xx , x 0.
	6.524	Постройте кривую
21		x tet ,		y te t , t R , заданную
		параметрически.
	6.525	Постройте кривую				Парабола с вершиной в
22		x t2 2t, y t2 2t, t R ,				начале координат, ось
22		заданную параметрически.				которой – прямая
						которой – прямая
						y x, x 0, y 0
						y x, x 0, y 0
	6.527	Постройте кривую					Астроида
23		x a cos3 t, y asin3 t, t 0,2 ,
		заданную параметрически.
24	6.529	Постройте кривую asin3 ,				Трехлепестковая роза
24		заданную в полярной системе
		координат.
	6.530	Постройте кривую a 1 cos ,				Кардиоида, полюс – точка
25		заданную в полярной системе				возврата,
		заданную в полярной системе				max	0 2a ,
		координат.				max	0 2a ,
						min	0

168

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 3 Часть 1

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: пределы последовательностей и функций, непрерывность функции

Часть 2

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: производная, дифференциал, формула Тейлора, исследование функций

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

2010

169

170

Расчетная работа № 3. Часть 1. Варианты

Вариант 1

1. Написать формулу общего члена последовательности

1 , 1 , 1 , 1 , 2 3 4 5

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

;

xn sin n 1;

xn en .

n 2

n 1 4

Вычислить предел

lim

n 3

n5 3

Вычислить предел

lim

n 3

5 n5 3

n 3

sin n2

Вычислить предел lim

n 1

6.Вычислить предел

7.Вычислить предел

lim	2n 7n

n 2n 7n 1 .
lim	n 2 ! n!			.
	n 2	!
n
			n 1 !

3n 1 n2

8. Вычислить предел lim . n 3n 1

9. Вычислить предел lim x 1 2 x 1 3 .

x x 1 3 x 1 3

10.

Вычислить предел

lim

x 1 2

x 3

11.

Вычислить предел

lim

x 2 1

3x 4 x 1

12.

Вычислить предел

lim

3x 2

13.

Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить

предел lim

1 sin x cos x

x 0 1 sin x cos x

14.

Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел

lim

esin 2 x etg2 x

15. Вычислить lim g f x , если		f x 7			1	, а g x				.
15. Вычислить lim g f x , если		f x 7		2 x		, а g x			1 x	.
x 2 0
16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае
устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
а) f x	1		б)		f x		1	.
	1

1	sin x						ln x
1	1 cos x
	1 cos x
	Вариант 2
1. Написать формулу общего члена последовательности									0, 2, 0, 2, .

;

cos2 n ;

xn e n .

n 1

Вычислить предел

lim

n 1 3 n 1 3

n 1 2 n 1 2

Вычислить предел

lim

n2 2 5n

n n

n 1

sin

Вычислить предел lim

3n 2n

n 3n

Вычислить предел lim

3n 1 ! 3n 1 !

3n ! n 1

Вычислить предел lim

Вычислить предел

lim

x2 1

x6 1 x

10. Вычислить предел

lim

x 1

lim

11. Вычислить предел

x 2 2x 1 x 2

7x 3

5x 7

12. Вычислить предел

lim

2x 5x 3

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

171

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.201910.18 Mб0Цитолы.doc
#
22.04.20193.71 Mб40ЦСП_ответы_неполн.doc
#
03.09.2019104.45 Кб12ЦЫВИН.doc
#
23.02.20151.24 Mб8Ч 1 Алгебра интернет-материалы 1.pdf
#
23.02.2015145.25 Кб4Ч 1. Алгебра (только Расчетная работа N1).pdf
#
23.02.20154.54 Mб18Ч 3 Матанализ интернет-материалы.pdf
#
23.02.2015271.21 Кб65Ч.П. Сноу - Две культуры и научная революция.pdf
#
29.03.201542.49 Кб17Чаадаев. Апология сумашндшего.docx
#
03.05.2015132.22 Кб198Чарльз Тилли "Демократия".pdf
#
22.11.20196.26 Mб17Часть 1 методического пособия (1).doc
#
22.11.20191.23 Mб9Часть 1. Глава 1.doc