Ч 3 Матанализ интернет-материалы
.pdfМАТЕМАТИКА
Часть 1. АЛГЕБРА
ОГЛАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И |
|
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ............................................................................................... |
7 |
1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ..................................................................................... |
7 |
1.1. Элементы математической логики ............................................................................... |
7 |
1.2. Множества и операции над множествами. ............................................................... 12 |
|
1.3. Числовые множества. Верхние и нижние грани......................................................... |
14 |
1.4. Числовые последовательности.................................................................................... |
14 |
1.5. Свойства ограниченных последовательностей .......................................................... |
16 |
1.6. Предел числовой последовательности........................................................................ |
16 |
1.7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности ............................... |
17 |
1.8. Свойства бесконечно малых последовательностей.................................................... |
17 |
1.9. Свойства сходящихся последовательностей .............................................................. |
19 |
1.10. Монотонные последовательности............................................................................. |
20 |
1.11. Признак сходимости монотонной последовательности........................................... |
21 |
1.12. Число е как предел монотонной последовательности.............................................. |
22 |
2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.............................................................................................. |
22 |
2.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции ............................. |
22 |
2.2. Основные характеристики функции ........................................................................... |
23 |
2.3. Обратная функция. Сложная функция........................................................................ |
25 |
2.4. Основные элементарные функции.............................................................................. |
25 |
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .............................................................................................................. |
28 |
3.1. Предел функции в точке.............................................................................................. |
28 |
3.2. Предел функции в бесконечности............................................................................... |
29 |
3.3. Односторонние пределы ............................................................................................. |
30 |
3.4. Бесконечно малые функции и их свойства................................................................. |
31 |
3.5. Сравнение бесконечно малых функций...................................................................... |
31 |
3.6. Бесконечно большие функции и их свойства............................................................. |
33 |
3.7. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями................... |
34 |
3.8. Свойства функций, имеющих предел в точке ............................................................ |
34 |
3.9. Предельный переход в неравенствах ......................................................................... |
36 |
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ............................................................................................ |
36 |
4.1. Непрерывность функций в точке................................................................................ |
35 |
4.2. Непрерывность функций на множестве...................................................................... |
39 |
4.3. Свойства функций, непрерывных в точке ................................................................. |
39 |
4.4. Непрерывность основных элементарных функций.................................................... |
39 |
5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ............................................................................................. |
40 |
5.1. Первый замечательный предел ................................................................................... |
40 |
3
5.2. Второй замечательный предел.................................................................................... |
41 |
5.3. Эквивалентные бесконечно малые функции при х 0 .......................................... |
41 |
5.4. Предел степенно-показательной функции y f x x f x 0 .................. |
42 |
6. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.......................................................................... |
43 |
6.1. Теорема об устойчивости знака непрерывных функций ........................................... |
43 |
6.2. Непрерывность обратной функции............................................................................. |
43 |
6.3. Непрерывность сложной функции.............................................................................. |
43 |
6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке............................................................. |
44 |
7. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ.................................................................... |
44 |
7.1. Точки устранимого разрыва........................................................................................ |
45 |
7.2. Точки разрыва первого рода ....................................................................................... |
46 |
7.3. Точки разрыва второго рода ....................................................................................... |
46 |
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ |
|
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ....................................................................................................... |
48 |
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ................................................................................................. |
48 |
1.1. Основные определения................................................................................................ |
48 |
1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и |
|
нормали к графику функции ....................................................................................... |
49 |
1.3. Механический смысл производной ............................................................................ |
49 |
1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.......................... |
50 |
1.5. Производная обратной функции ................................................................................. |
50 |
1.6. Производная сложной функции.................................................................................. |
51 |
1.7. Таблица производных.................................................................................................. |
52 |
1.8. Логарифмическая производная................................................................................... |
53 |
1.9. Производная функции, заданной неявно.................................................................... |
53 |
1.10. Производная функции, заданной параметрически................................................... |
54 |
1.11 Производные высших порядков................................................................................. |
55 |
1.12. Вторая производная от функции, заданной неявно.................................................. |
56 |
1.13. Вторая производная от параметрически заданной функции ................................... |
56 |
1.14. Механический смысл второй производной .............................................................. |
56 |
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ............................................................................................. |
57 |
2.1. Основные определения................................................................................................ |
57 |
2.2. Дифференциал независимой переменной................................................................... |
57 |
2.3. Свойства дифференциалов.......................................................................................... |
58 |
2.4. Геометрический смысл дифференциала..................................................................... |
58 |
2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям................................... |
58 |
2.6. Дифференциал сложной функции............................................................................... |
59 |
2.7. Дифференциалы высших порядков ............................................................................ |
59 |
3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА..................................................................................... |
60 |
3.1. Теорема Ролля (о нуле производной) ......................................................................... |
60 |
4
3.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)............................................ |
61 |
3.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) ................................... |
62 |
3.4. Правило Лопиталя – Бернулли.................................................................................... |
63 |
3.5. Примеры применения правила Лопиталя................................................................... |
64 |
3.6. Формула Тейлора......................................................................................................... |
65 |
3.7. Частные случаи формулы Тейлора ............................................................................. |
66 |
3.8. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций................. |
67 |
3.9. Оценка остаточного члена........................................................................................... |
70 |
3.10. Приложения формул Тейлора и Маклорена............................................................. |
70 |
III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ........................................ |
72 |
1. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ................................................................................. |
72 |
1.1. Вертикальные асимптоты............................................................................................ |
72 |
1.2. Горизонтальные асимптоты ........................................................................................ |
72 |
1.3. Наклонные асимптоты................................................................................................. |
73 |
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ |
|
ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ..................................................................................................... |
74 |
2.1. Монотонность функции .............................................................................................. |
74 |
2.2. Локальный экстремум функции.................................................................................. |
75 |
2.3. Необходимые условия экстремума ............................................................................. |
75 |
2.4. Достаточные условия экстремума .............................................................................. |
76 |
2.5. Правило отыскания экстремумов функции ................................................................ |
77 |
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ |
|
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ..................................................................................................... |
78 |
3.1. Исследование функций на максимум и минимум |
|
с помощью второй производной................................................................................. |
78 |
3.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой .................................................. |
78 |
3.3. Общая схема исследования функции и построения графика..................................... |
80 |
3.4. Примеры исследования функций................................................................................ |
81 |
4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ................................................................................................ |
87 |
4.1. Предел последовательности........................................................................................ |
87 |
4.2. Предел функции........................................................................................................... |
96 |
4.3. Функции. Непрерывность ......................................................................................... |
103 |
4.4. Дифференцирование. Теоретические упражнения................................................... |
111 |
4.5. Производная функции ............................................................................................... |
113 |
4.6. Дифференциал ........................................................................................................... |
119 |
4.7. Правило Лопиталя ..................................................................................................... |
120 |
4.8. Формула Тейлора....................................................................................................... |
123 |
4.9. Исследование функций и построение графиков ...................................................... |
127 |
4.9.1. Возрастание и убывание функций ................................................................... |
127 |
4.9.2. Экстремумы функции ....................................................................................... |
129 |
4.9.3. Асимптоты графика функции........................................................................... |
131 |
4.9.4. Построение графиков функций ........................................................................ |
133 |
4.9.5. Определение скорости возрастания и убывания функций.............................. |
135 |
5
4.9.6. Доказательство неравенств с помощью производной..................................... |
135 |
4.9.7.Применение производной в теории многочленов для нахождения интервала залегания корней и определения их количества.
|
Связь многочлена со своей производной......................................................... |
136 |
|
4.9.8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения |
|
|
непрерывной функции на отрезке.................................................................... |
136 |
|
4.9.9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и |
|
|
наименьшего значения величин....................................................................... |
137 |
|
4.9.10. Различные задачи............................................................................................ |
137 |
5. |
ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ .................................................................................................... |
146 |
|
ДЗ № 1. Пределы числовых последовательностей.......................................................... |
146 |
|
ДЗ № 2. Пределы функций............................................................................................... |
148 |
|
ДЗ № 3. Функции. Непрерывность .................................................................................. |
153 |
|
ДЗ № 4. Дифференцирование функций........................................................................... |
158 |
|
ДЗ № 5. Дифференцирование функций .......................................................................... |
160 |
|
ДЗ № 6. Дифференциал. Правило Лопиталя .................................................................. |
162 |
|
ДЗ № 7. Формула Тейлора ............................................................................................... |
164 |
|
ДЗ № 8. Исследование функций ...................................................................................... |
166 |
6. |
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА......................................................................................................... |
169 |
|
Расчетная работа № 3. Часть 1. Варианты....................................................................... |
170 |
|
Расчетная работа № 3. Часть 2. Варианты....................................................................... |
199 |
7. |
ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ............................................................ |
225 |
8. |
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ.................................................................... |
226 |
9. |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................................... |
241 |
6
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
1.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1.Элементы математической логики
Высказывания и операции над высказываниями. Равносильные формулы.
Основным понятием в математической логике является понятие элементарного высказывания. Под высказыванием понимают связное утверждение, которому можно приписать значение «ложь» или «истина».
ПРИМЕРЫ элементарных высказываний:
1.2 3 - «ложь»
2.Екатеринбург находится в Свердловской области - «истина»
3.Ворона – птица - «истина».
Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью связок «если…, то…», «и», «или», «не» и др. , называются сложными .
ПРИМЕРЫ сложных высказываний :
1.Если числа а и b чётные, то и их сумма есть чётное число. Использована связка «если…, то….».
2.Студенты любят учиться и студенты любят отдыхать. Использована связка «и».
Элементарные высказывания обозначают малыми буквами x, y, z,.. ,
азначения высказываний «ложь» и «истина» заменяют на 0 и 1 соответственно. Над высказываниями определены следующие логические операции:
1.Отрицание. Отрицанием высказывания х называется высказывание х , которое истинно, если х ложно, и ложно, если х истинно. Операция отрицания описывается с помощью таблицы истинности
х х
1 0
01
2.Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкция двух высказываний х и y x y определяется следующей таблицей истинности:
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7
3.Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкция высказываний х и y
x y имеет таблицу истинности
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4. Импликация (логическое следование). Импликация высказываний х и yx y описывается таблицей истинности
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5.Эквиваленция (логическая тождественность). Эквиваленция высказываний
хи y x y имеет таблицу истинности
x |
y |
x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
С помощью логических операций над высказываниями из данного набора высказываний можно строить сложные высказывания. При этом элементарные высказывания и промежуточные сложные высказывания заключают в скобки. Сложные высказывания будем обозначать большими буквами.
ПРИМЕР
1. А 3 2 5 2 3 5 2 . Высказывание А имеет значение 1.
Расставив скобки иначе, например, так В 3 2 5 2 3 5 2 ,
получим совершенно другую логическую формулу. В нашем случае данное сложное высказывание В также имеет значение 1.
Обобщим первую логическую формулу следующим образом
х y x y , где х и y |
некоторые высказывания. Таблица истинности |
||||||||
этой формулы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
y |
|
x y |
x y |
|
x y x y |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
т.е. формула х y x y |
тождественно истинна. |
|
|
||||||
8
Обобщение второй формулы даёт х y x y . Приведём таблицу истинности этой формулы
x |
y |
x y |
y x y |
x y x y |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Видно, что формулы А и В имеют разные таблицы истинности,
т.е. неравносильны.
Определение. Две логические формулы называются равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом наборе значений входящих в них элементарных высказываний.
Равносильность формул будем обозначать символом , т.е. |
А В |
|||
означает равносильность формул А и В. |
|
|||
ПРИМЕРЫ основных равносильностей: |
|
|||
1. |
|
x х х . |
|
|
2. |
|
x х х . |
|
|
3. |
|
|
х . |
|
|
x |
|
||
4. |
x y х х . |
|
||
5. |
x y х х . |
|
||
Если высказывание y тождественно истинное, то
6.x y х ,
7.x y y ,
8.x х y - закон исключённого третьего.
Если высказывание y тождественно ложное, то
9.x y y ,
10.x y х ,
11.x х y - закон противоречия.
Равносильности могут выражать одни логические операции через другие и свойства самих операций:
12.x y x y y x .
13.x y х y .
_____
14. х у х у .
_____
15.х у х у .
16.Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции
х у у х, |
х у у х . |
17. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции
х у z x у z, |
х у z x у z . |
9
18.Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
ху z x y x z .
19.Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции
ху z x y x z .
Структура высказываний. Предикаты и кванторы.
Ранее мы рассматривали высказывания как нераздельные целые. Однако высказывание, как и обычное повествовательное предложение, может иметь структуру – подлежащее, сказуемое, дополнение. В качестве «подлежащего» в высказывании выделяют субъект высказывания, т.е. то, о чём что-то утверждается, а в качестве «сказуемого» - предикат, т.е. то, что утверждается о субъекте. В качестве предикатов выступают высказывательные формы, зависящие от одной или нескольких переменных. Например, выражение 2 3 есть высказывание, имеющее значение 0. Если вместо 2 поставить х, т.е. записать х 3, то получим высказывательную форму, которая превращается в высказывание, имеющее конкретное значение, при подстановке вместо х конкретного числа. Таким образом, высказывательную форму можно рассматривать как функцию переменной х, принимающую значение 0 или 1. Высказывательная форма может зависеть от нескольких переменных. Например х y зависит от двух переменных х и у. Приведённые рассуждения поясняют приведённые ниже строгие определения предикатов.
Определение. Одноместным |
предикатом |
Р х |
называется |
произвольная |
||||
функция переменного |
х, |
определённая на |
множестве |
М |
и |
принимающая |
||
значения из множества |
0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть х принимает значения из множества М1 , а |
у – |
из множества М 2 . |
||||||
Определение. Двухместным предикатом |
Р х, у |
называется произвольная |
||||||
функция переменных |
х |
и |
у, определённая на множестве |
М М1 М2 и |
||||
принимающая значения из множества 0,1 .
Так как предикаты, как и высказывания, принимают значения 0 и 1, то к ним применимы все операции, определённые для высказываний. В частности:
1. Конъюнкцией предикатов |
Р х |
и Q х |
x M называется предикат |
|||
Р х Q х , который принимает значение 1 |
при тех и только тех значениях |
|||||
x M , при которых каждый из предикатов принимает значение 1. |
|
|||||
2. Дизъюнкцией предикатов |
Р х и Q х |
x M называется предикат |
||||
Р х Q х , который принимает значение 0 |
при тех и только тех значениях |
|||||
x M , при которых каждый из предикатов принимает значение 0. |
|
|||||
3. Импликацией предикатов |
Р х |
и |
Q х |
x M называется |
предикат |
|
Р х Q х , который принимает значение 0 при тех и только тех значениях |
||||||
x M , при которых одновременно |
Р х |
имеет значение 1, а |
Q х имеет |
|||
значение 0 и имеет значение 1 во всех остальных случаях. |
|
|||||
10
|
Р х называется |
_____ |
4. Отрицанием предиката |
предикат Р х , имеющий |
|
значение 1 при тех значениях |
x M , при которых |
Р х имеет значение 0 и |
имеющий значение 0 при тех значениях x M , |
при которых Р х имеет |
|
значение 1.
Для описания субъекта используются кванторы существования и всеобщности. С помощью кванторов описывается область изменения свобод-
ных переменных, входящих в предикат. |
|
|
|
Квантор существования обозначается символом |
. |
Выражение |
|
х М Р х читается как «существует x M , для которого Р х истинно». |
|||
Квантор всеобщности обозначается символом . Выражение |
х М Р х |
||
читается как «для любого x M |
Р х истинно». |
|
|
Для двухместных предикатов возможны следующие высказывания:
х у Р х, у , х у Р х, у , х у Р х, у , х у Р х, у .
При записи сложного высказывания предикат обычно заключают в скобки. Иногда поле действия кванторов отделяют от предиката двоеточием.
ПРИМЕРЫ
1. x х 1 x 0 . Истинное высказывание. Вариант записи
x : х 1 x 0 . Читается «для любого х из неравенства x 1 следует x 0. 2. x х R x Z . Ложное высказывание. Варианты записи
1) x : х R x Z ; 2) х R x Z . Читается « любое х одновременно
принадлежит множеству R и множеству Z».
3. x х R x Z . Истинное высказывание. Варианты записи
1) x : х R x Z ; 2) х R x Z . Читается « существует х, одновременно
принадлежащее множеству R и множеству Z» или «существует х принадлежащее множеству R, такое, что х принадлежит и множеству Z». 4. x y y x . Истинное высказывание. Вариант записи x y : y x .
Читается « для любого х существует у, такое, что у x ».
5. х y x y 1 xy 1 . Истинное высказывание. Вариант записи
x y : х y 1 xy 1 .Читается « существуют х и у, такие, что одновре-
менно выполнены неравенства |
х у 1 и ху 1 ». |
|
|
Отрицания сложных высказываний, записанных с помощью кванторов, |
|||
строятся по следующим правилам: |
|
||
_____________ |
_____ |
_____________ |
_____ |
x Х Р х х Х Р х , |
x Х Р х х Х Р х . |
||
ПРИМЕРЫ
11