|
|
|
б) Поскольку |
ρ≥0, то |
cos3ϕ≥0. |
Тогда получаем: |
|
|
|||||
|
|
|
|
−π + |
2πk ≤ 3 ϕ |
≤ π + 2πk −π + 2πk |
≤ϕ ≤ π |
+ 2πk , |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
6 |
3 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
где k Z. |
Таким |
образом, |
данная |
кривая |
|||
|
|
|
|
|
будет расположена в трех секторах (см. рис. 1.13). |
||||||||
|
|
|
|
|
Для нахождения искомой площади достаточно |
||||||||
|
|
|
|
|
вычислить площадь половины одного "лепестка" и |
||||||||
|
|
|
Рис.1.13 |
умножить ее на 6: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
S =6 1 |
π / 6 |
|
|
π / 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
ρ2dϕ = 3a2 |
∫ cos2 3ϕdϕ = π a2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Вычисление длины дуги плоской кривой |
|
|
|||||||
|
|
|
Если кривая |
y = f (x) |
на отрезке [a; b] – |
гладкая (т.е. производная |
|||||||
y |
′ |
= |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) – непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой |
||||||||||||
находится по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
b |
′ 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
|||
|
|
|
|
|
L = ∫ 1 + ( y ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
параметрическом |
задании |
кривой |
x = x(t), |
y = y(t) |
(здесь |
||||
x = x(t), |
y = y(t) – |
непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги |
|||||||||||
кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:
|
t2 |
|
|
L = ∫ (x′(t))2 + ( y′(t))2 dt . |
(1.4) |
|
t1 |
|
Если |
гладкая кривая задана в полярных координатах |
уравнением |
ρ = ρ(ϕ) , |
α ≤ϕ ≤ β , то длина дуги равна: |
|
26
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ |
ρ |
2 |
′ |
2 |
dϕ . |
|
(1.5) |
|
|
|
+ (ρ ) |
|
|
||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Найти |
|
|
длину |
|
кардиоиды |
||
|
ρ = 2a(1 − cosϕ) |
(рис. 1.14). |
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.14 |
Решение. Найдем производную ρ′: |
|
|
||||||
|
ρ′ = (2a(1 − cosϕ))′ = 2asinϕ . |
|
Подставляя в |
||||||
формулу (1.5) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 2∫ 4a2 sin2 ϕ + 4a2 (1 − cosϕ)2 dϕ = |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫ |
4a2 sin2 ϕ + 4a2 − 8a2 cosϕ + 4a2 cos2 ϕdϕ = |
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
π |
|
|
|
ϕ |
= 2∫ 8a2 − 8a2 cosϕdϕ =2 2 2a∫ 1 − cosϕdϕ =4 |
2a∫ |
|
2sin2 |
||||||
|
|
dϕ = |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 2a |
2 |
π sin |
ϕ |
dϕ =8a |
2 |
−cos |
ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∫ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
0
= 16a |
−cos |
π |
|
+ cos0 |
= 16a . |
|
|
2 |
|
|
|
Вычисление площади поверхности вращения
Пусть функция |
f(x) |
неотрицательна и непрерывна вместе со |
своей производной на отрезке [a,b]. Тогда площадь поверхности, |
||
образованная вращением |
графика |
этой функции вокруг оси Ox, будет |
вычисляться по формуле:
b |
|
S = 2π ∫ f (x) 1 +[ f ′(x)]2 dx . |
(1.6) |
a
Пример. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой y = x (0 ≤ x ≤ R) ; б) одной арки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost).
27