5.Уравнения математической физики 5.1. Краткие сведения из теории

Математическая физика – это теория математических моделей фи-

зических явлений. Особое место в математической физике занимают дифференциальные уравнения, поскольку исследования многих физических и технических задач сводятся к решению таких уравнений. Физические процессы, происходящие во времени и в пространстве, как правило, описываются при помощи функций нескольких переменных, поэтому возникает необходимость рассматривать уравнения в частных производных. Коренное отличие общего решения дифференциального уравнений в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения состоит в том, что в него входят не произвольные постоянные, а произвольные функции.

5.1.1.Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Будем рассматривать дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка относительно функции двух переменных u=u(x,y):

Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных:

где aij, ai, b – функции, зависящие от x и y.

Запишем линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в следующем виде

206

примет, уравнение (2) можно привести к одному из следующих канонических видов.

1. Если >0, то уравнение можно привести к виду

которое называется уравнением параболического типа.

Если определитель в данной области принимает значение разных знаков, то уравнение (5.2) называется уравнением смешанного типа.

207

5.1.2.Начальные и краевые условия

При решении задач физики или других областей науки математическими методами необходимо, прежде всего, дать математическую постановку за-

дачи: а) написать уравнение, которому удовлетворяет искомая функция, описывающее исследуемое явление; б) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области определения (дополнительные условия должны обеспечить существование и единственность решения).

Дополнительные условия в большинстве случаев диктуются физическими свойствами системы, описываемой данным уравнением. Уравнения ги-

перболического и параболического типа чаще всего возникают при изучении нестационарных явлений, т.е. процессов, протекающих во времени; а уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационар-

ных явлений. Это обстоятельство в корне отличает дополнительные условия для первых двух уравнений от дополнительных условий для третьего.

Для уравнений, описывающих нестационарные явления, дополнительные условия разделяются на начальные и краевые условия.

Начальные условия состоят в задании при t=0 значений искомой функции u(x,t) и ее производной (в гиперболическом случае) или только значений самой функции (в параболическом случае): u(x,0) = f1 (x), ut′(x,0) = f2 (x).

Краевые условия состоят в задании значений искомой функции u(x,t) на границах изменения координат (граничные условия 1-го типа):

u(0, t) = g1 (t), u(l, t) = g2 (t);

или значений ее производной (граничные условия 2-го типа)

u′x (0, t) = h1 (t), u′x (l, t) = h2 (t);

или задается линейная комбинация двух выше приведенных условий (гранич-

ные условия 3-го типа)

Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения координаты x, то краевые условия отпадают и получается задача только с начальными

208

условиями (задача Коши). Если ставится задача для конечного интервала, то должны быть заданы и начальные и краевые условия (смешанная задача).

Уравнения эллиптического типа обычно возникают при исследовании стационарных явлений. Для задач такого типа ставят только краевые условия. Это может быть задача Дирихле, когда заданы значения самой функции на границе рассматриваемой области.

5.1.3.Уравнение колебаний струны

Уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением.

Рассмотрим задачу о свободных колебаниях бесконечной струны при начальных условиях: u(0, x) = f (x) , ut′(0, x) = g(x) . Такая задача называется задачей Коши. Решить эту задачу можно методом Даламбера, суть которого в том, что после замены переменных уравнение приводится к такому виду, когда решение может быть найдено в виде суммы функций:

5.1.4.Уравнение теплопроводности

Уравнения в частных производных второго порядка параболического типа часто встречаются в физических задачах, связанных с тепловыми процессами. В одномерном случае без потерь и источников тепла получим простейшее уравнение параболического типа

209