Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
практикум математика часть 2.pdf
Скачиваний:
98
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
3.83 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

По найденным изображениям найдем оригиналы, используя вычеты (подробно способ нахождения оригинала рассмотрен в предыдущем примере):

 

 

( p −3)

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

p −3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = −

¤

 

∑Res(F( p) ept ; pk ) = limp→0 −

 

 

ept p +

 

 

 

 

 

 

 

 

p(p − 2)

 

 

 

 

 

 

p( p − 2)

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p −3

 

 

 

 

 

 

 

pt

 

 

 

 

 

3)e

pt

 

 

+lim

 

−

 

 

ept ( p − 2)

= lim −( p −3)e

 

 

 

+ lim

−( p −

 

 

=

 

p(p − 2)

 

 

 

 

 

p→2

 

 

 

 

 

 

p→0

(p − 2)

 

p→2

 

p

 

 

 

 

 

= − 3

+ 1 e2t = x(t);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ept p +

 

 

 

Y

=

 

 

 

 

 

¤ ∑Res(F( p) ept ; pk ) = limp→0

 

 

 

 

 

 

 

p( p − 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

p(p − 2)

 

 

 

 

 

 

 

+lim

 

1

 

 

ept ( p − 2)

= lim

ept

 

+ lim ept

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p→2 p(p − 2)

 

 

p→0

p − 2 p→2

p

 

 

 

 

 

 

 

= −

1 +

1 e2t = y(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = −

3

+

1 e2t

Решение системы дифференциальных уравнений:

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

e

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t) = −

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

.

4.3.Задания на контрольную работу

Задание1. Найти z

+ z

, z

z

,

z1

, z 5

, если:

z2

 

1

2

1

2

 

1

 

1.1. z1 =1 + i; z2 = i − 2 ;

 

 

 

 

 

1.2. z1 = −1 + i; z2 = 7i + 5 ;

1.3. z1

= −2 + 2i; z2 = 5 −3i ;

 

 

 

 

1.4. z1 = −1 −i; z2 = 8 + 2i ;

1.5. z1

= 2 − 2i; z2 = 4 −3i ;

 

 

 

 

1.6. z1 = 3 + 3i; z2 = 4 −5i ;

1.7. z1

= −2 − 2i; z2 = 3i −1;

 

 

 

 

1.8. z1 = 3 −3i; z2 = 3 −i ;

1.9. z1

=1 −i; z2 = 3 − 4i ;

 

 

 

 

 

1.10. z1 = −3 + 3i; z2 = i −3 .

203

Задание2. Исследовать на дифференцируемость функцию f (z) и най-

ти её производную f ′(z) :

2.1. f (z) = (2z − 2i)2

2.3.f (z) = (3z + 2)2

2.5.f (z) = (z +1)3

2.7.f (z) = (3z −i)3

2.9. f (z) = (z +i)3

Задание3. Вычислить интегралы:

3.1. а)

 

 

∫

 

 

 

dz

 

,

 

 

z

 

 

 

z(z2 +1)

 

 

 

=1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

∫

 

cos z2 −1

dz ;

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

z

=1

 

 

 

dz

 

 

 

 

3.3. а)

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

z(z2 + 4)

 

 

z−i

=3/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

∫

 

z −sin z

dz ;

 

 

 

 

2z4

 

 

 

z

=2

 

 

 

ez dz

 

 

 

 

 

 

3.5. а)

 

 

 

∫

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

 

z−3

=1/ 2

 

 

 

2 + 4z3

б)

 

 

∫

 

 

1 − 2z + 3z

z

 

 

 

 

 

 

2z2

 

dz ;

 

=1/ 3

z ez

 

 

 

 

 

 

 

3.7. а)

 

 

∫

 

 

dz ,

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

z−1

=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

∫

3z4 − 2z3 + 5

dz ;

 

 

 

z3

 

 

 

 

z

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.f (z) = 3z e2 z

2.4.f (z) = (z +1) e−z

2.6.f (z) = (2z + i) e3z

2.8. f (z) = (z −i) eiz

2.10. f (z) = (2z +1) e−z

3.2. а)

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

2dz

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 (z − 1)

 

 

 

 

z−1−i

=5 / 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

∫

 

 

sin z3

dz ;

 

 

 

1 − cos z

 

 

 

 

 

z

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. а)

 

 

∫

 

2 + sin z

dz ,

 

 

 

 

 

z(z + 2i)

 

 

 

 

z

=1

 

2 − z2 + 3z3

 

 

б)

 

 

 

 

∫

dz ;

 

z

 

 

4z3

 

 

 

 

=1/ 2

 

z(sin z + 2)

 

3.6. а)

 

 

 

 

 

∫

 

dz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

z−3 / 2

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

∫

z3

−3z2 +1

dz ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2z4

 

 

 

 

 

 

z

=1

∫

 

 

z(z +1)2

 

 

3.8. а)

 

 

 

 

 

 

 

dz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

z

 

 

z−1/ 4

 

 

 

sin 2

 

 

 

 

=1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

∫

e2 z2 −1

dz ;

 

 

 

z

 

 

z3

 

 

 

 

 

 

=1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

204

 

 

 

 

 

 

∫

iz(z −i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.10. а) ∫

sin3z + 2

3.9. а)

 

 

 

 

 

sinπ z

dz ,

 

 

 

 

 

 

z2 (z −π) dz ,

 

 

 

z−1/ 2

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z−3

=1

 

 

 

 

 

 

 

б) ∫

3 − 2z + 4z

4

 

 

dz ;

 

 

 

 

 

 

б) ∫

e1/ z +1

dz .

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

=1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=3

 

 

 

 

 

 

Задание4. Найти оригинал по данному изображению

 

 

 

4.1.

 

 

 

 

 

 

2 p

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2.

 

1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

( p2 + 4 p +8)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( p2 +1)2

 

 

 

4.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

p +5

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

4.4.

 

1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

( p +1)( p2 − 2 p +5)

 

 

 

 

 

p3 + p2 + p

 

4.5.

 

 

 

 

 

 

 

3 p + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

4.6.

 

1

 

 

 

 

;

 

 

 

( p +1)( p2 + 4 p +5)

 

 

 

 

 

p( p3 +1)

 

 

 

4.7.

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.8.

 

1

 

 

 

 

 

;

 

( p2 +1)( p2 − 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 ( p2 − 4)

 

4.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

4.10.

1

 

 

.

 

 

 

( p + 2)( p2 − 2 p + 2)

 

 

 

 

 

p3 −1

 

 

 

Задание5. Операционным методом решить задачу Коши:

 

5.1. а)

y

′′

−

2 y

′

+ y

 

 

 

t

(1 + t

2

),

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

 

 

y(0) = y (0) = 0 ,

 

 

 

 

 

 

б) x& = 3y + 2,

 

 

x(0) = −1, y(0) =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + 2 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2. а)

y

′′

+

4 y

′

 

 

 

 

 

 

 

3

e

2t

,

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4 y = t

 

 

 

y(0) =1, y (0) = 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

x& = x + 4 y +1,

 

 

 

 

 

x(0)

= 0, y(0) =1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2x + 3y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3. а)

y

′′

+

2 y

′

+ y

= e

−t

(1

+ t

2

),

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0) = 0,

 

 

 

 

 

 

б) x& = 4x + 3,

 

 

x(0) = −1, y(0) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + 2 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4. а)

y

′′

+ y

′

− 2 y

= e

−t

,

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = −1, y (0) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

205

б) x& = 3y + 2,

 

 

 

x(0) = −1, y(0) =1;

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + 2 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

5.5. а)

y

′′

+ y

′

− 2 y

= −2(t +1),

′

=1,

 

 

y(0) =1, y (0)

б) x& = x + 3y + 3,

 

x(0) = 0, y(0) =1;

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x − y +1,

 

 

 

 

 

 

5.6. а)

y

′′

− 2 y

′

 

t

(t

2

 

+t

−3),

′

= 2 ,

 

 

= e

 

 

y(0) = 2, y (0)

б) x& = −x + 3y + 2,

x(0) = 0, y(0) =1;

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + y +1,

 

 

 

 

 

 

5.7. а)

y

′′

+ y

′

+ y = 7e

2t

,

 

′

 

 

 

 

y(0) =1, y (0) = 4 ,

 

б) x& = 2x + 5y,

 

 

 

 

x(0) =1, y(0) =1;

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x − 2 y + 2,

 

 

 

 

5.8. а)

y

′′

+ y

′

− 2 y

= −2(t +1),

′

=1,

 

 

y(0) =1, y (0)

б) x& = −2x + 5y +1,

x(0) = 0, y(0) = 2;

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + 2 y +1,

 

 

 

 

5.9. а)

y

′′

+ y = 6e

−t

,

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

y(0) = 3, y (0) =1,

 

б)

x& = x + 3y + 2,

 

x(0) = −1, y(0) = 2 ;

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x − y +1,

 

 

 

 

 

 

5.10. а) y

′′

− y

′

= t

2

,

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

y(0) = 0, y (0) =1,

 

б) x& = −x + 3y +1,

x(0) =1, y(0) = 2 .

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + y,

206

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности