Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум математика часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

ϕ(x, y, z)

3.6. Элементы теории поля

	Пусть	задано	скалярное		поле	ϕ(x, y, z) и	векторное поле
−	−	−	− −	−	Эти	поля можно	преобразовывать с
F = Fx (x, y, z) i		+ Fy (x, y, z) j+ F z (x, y, z) k .

помощью трех операций I порядка и пяти операций II порядка.

3.6.1. Операции I порядка

−

Это операции gradϕ , div F , rotF .

1. Градиентом скалярного поля ϕ =ϕ(x, y, z) называется вектор:

gradϕ =	∂ϕ i+	∂ϕ j+	∂ϕ k .
	−	−	−
	∂x	∂y	∂z

Градиент преобразует скалярное поле в векторное. Физический смысл градиента в точке – это есть вектор, указывающий направление наибольшей интенсивности изменения скалярного поля в этой точке. Модуль этого вектора равен наибольшей интенсивности изменения скалярного поля в точке (наибольшей скорости).

Градиент скалярного поля всегда перпендикулярен к поверхности уровня (линии уровня) этого поля. Если в точке gradϕ = 0, то это значит, что в точке вообще отсутствует изменение скалярного поля. В этой точке функция - стационарна. Тогда:

∂ϕ

= 0 .

∂y

∂z

∂x

2. Дивергенцией векторного поля

−

F = Fx (x, y, z) i

+ Fy (x, y, z) j+ Fz (x, y, z) k

называется скаляр

−

∂F

∂Fy

∂F

div F =

z .

∂x

∂y

∂z

163

Дивергенция преобразует векторное поле в скалярное. Физический смысл дивергенции раскрывает формула Остроградского. При V→0, S→0 (область V и ограничивающая её поверхность S стягиваются в точку) получаем

	−	− −
Vlim→0	∫∫∫div FdV = lims→0	∫∫F n ds .
	V	S

−

div F в точке (пусть точка M) есть величина постоянная (дивергенция, как сумма частных производных, аналогична производной функции одной переменной в точке – если существует, то равна числу). Тогда:

V →0	−	−	∫∫∫V			−	S →0	− −
V →0	∫∫∫V	V →0	∫∫∫V			V →0	S →0	∫∫S
lim	div FdV = div F (M ) lim		dV = div F(M ) limV = lim					F n dS .
				−	−
		−		∫∫F n ds
		div F (M ) = lim		S		.
		div F (M ) = lim		V		.
			S →0	V
			V →0

Физический смысл дивергенции: дивергенция векторного поля в точке есть отнесенный к единице объёма поток этого поля через бесконечно малую замкнутую поверхность окружающую данную точку.

−

С другой стороны, если вектор F - скорость жидкости, то поток векторного поля есть объем жидкости, протекающей через бесконечно малую замкнутую поверхность в единицу времени. В то же время для точечного источника мощность источника есть объем жидкости, выделяемый в единицу времени. Иначе, для точечного источника мощность источника и поток векторного поля совпадают.

Тогда дивергенция векторного поля в точке есть удельная мощность источника в точке.

•	−	, в точке М источник (исток) поля		−
•	Если div F (M ) > 0	, в точке М источник (исток) поля		F .
•	−	, в точке М поглотитель (сток)	−
•	Если div F (M ) < 0	, в точке М поглотитель (сток)	F .

164

•		−
	Если div F (M ) = 0 , в точке М нет ни истока, ни стока.
Распространяя эти понятия на область V, ограниченную поверхностью
S, имеем:
•	при	−
		div F > 0 внутри области V истоки мощнее стоков, из нее
вытекает больше жидкости, чем втекает;
•	при	−
		div F < 0 наоборот – в области V истоки слабее стоков, в неё
втекает больше жидкости, чем вытекает;
•	при	−
		div F = 0 истоки и стоки в области V имеют равные мощности

и компенсируют друг друга, или их там нет совсем. Количество втекающей в область V жидкости равно количеству вытекающей.

−	−	называют соленоидальным.
Если div F = 0 , векторное поле	F	называют соленоидальным.
Пример: поле скоростей жидкости (газа) при отсутствии истоков и
		−	−	- вектор
стоков, магнитное поле электрического тока - div B = 0 всегда, где			B	- вектор

магнитной индукции (в природе не существуют точечные источники магнитного поля электрического тока).

Ротором

(вихрем)

векторного

поля

− −

−

называется вектор

F = F x (x, y, z) i+ F y (x, y, z)

j+ Fz (x, y, z) k

∂Fz

∂F

∂Fx

∂Fz

∂F

∂Fx

∂

k .

rotF =

−

j +

∂x ∂y ∂z

∂y

∂z

∂x

∂y

Ротор (вихрь) преобразует векторное поле в другое векторное поле.

Геометрический смысл ротора раскрывает формула Стокса.

Выразим скалярное произведение векторов

через проекцию

rotF

одного вектора на другой:

n = Пр

rotF

= rotn F .

Устремим

σ → 0,γ → 0

(контур γ сжимается в точку М).

γ →M

∫

−

σ →0 ∫∫

σ →0

∫∫

M σ →0

lim

F dl = lim

rotF

nds = lim

rot

Fds = (rot

)

lim

ds = (rot

)

limσ.

165

−

в точке М.

Здесь ( rotn F ) M - число – проекция вектора

rotF

на вектор n

−

(rotnF)M

−

∫F dl

( rotn F ) M = lim r

σ →0

rotF

γ →M

Геометрический смысл вектора

(рис.3.39):

rotF

точке

М проекция

ротора

поля

−

на

любое

−

равна циркуляции

векторного поля

направление n

Рис. 3.39

−

по

бесконечно

малому

контуру,

перпендикулярному к

−

n , отнесенной к единице площади, охватываемой этим

контуром.

Физический смысл ротора можно рассмотреть на примере

вращательного движения твердого тела.

При

вращении

твердого

тела

вектор

линейной

скорости

−

V по

−

, тогда вектор rotV

будет совпадать с

направлению совпадает с вектором dl

вектором

−

n . Линейная скорость равна (рис.3.40):

V = −ωy i

+ωx j, где ω - модуль

вектора угловой скорости рад

			i	j
			∂	∂
rotV	=

			∂x	∂y

		−ωy		ωx

∂

∂z

	∂		∂	−	−
		ωx +

=	∂x		∂y	ωy k = 2ωk.
	∂x		∂y

Физический смысл ротора: ротор линейной скорости вращательного

y	движения твердого	тела равен удвоенному вектору
V	угловой скорости.
	угловой скорости.
	И вообще, если	−
x	И вообще, если	rotF ≠ 0 , то вектор F	участвует
	во вращении. Если rotF = 0 , вращения нет,		а векторное

−

поле F называется потенциальным. Это поле имеет

Рис. 3.40

потенциал ϕ (скалярное поле)

166

Потенциальное векторное поле		−	и его потенциал – скалярное поле
		F
связаны соотношением:	∂ϕ i+		∂ϕ j+	∂ϕ k .
F = gradϕ =
−		−	−	−
	∂x		∂y	∂z

Проверка потенциальности поля градиентов не сложная:

rot(

ϕ)=

∂

grad

rotF

∂x

∂y

∂z

∂ϕ

∂x

∂y

∂z

∂2ϕ

∂2ϕ −

∂2ϕ

∂2ϕ −

∂2ϕ

∂2ϕ −

−

∂y∂z

∂z∂x

∂x∂y

k = 0.

∂z∂y

∂x∂z

∂y∂x

На основании формулы Стокса			− −		−

		∫F dl = ∫∫rotF			n ds , при условии rotF	= 0
		r		σ
криволинейный интеграл II рода	−	−	становиться независимым от выбора
	∫F dl

кривой интегрирования АВ:

−−

∫F dl

∂ϕ −

∂ϕ − −

−

∫

∂ϕ

∫

dx +

dy +

dz =

∂x

∂y

∂z

k dx i

+ dy j+ dz k =

∂x

∂y

∂z

	=•	• Под	интегралом	находится		полный		дифференциал
	=•	• Под	интегралом	находится		полный		дифференциал
dϕ •	• = ∫dϕ = ϕ(B) −ϕ( A) .


	AB
	Это свойство потенциального				векторного		поля	используют для
						−	−
нахождения потенциала по формуле					ϕ(x, y, z) =	∫F dl . При этом выбирают

M0M

самую простую в интересах расчёта ломанную М0М (см. рис. 3.24, формула

(3.10).

−	− x	y	z
ϕ(x, y, z) = ∫F dl = ∫Fx (x, y0 , z0 )dx + ∫Fx (x, y, z0 )dy + ∫Fx (x, y, z)dz .
M 0 M	x0	y0	z0
Примером потенциального		векторного	поля	является поле	−
Примером потенциального		векторного	поля	является поле	E
напряженностей	электростатического поля		в	изотропной	среде.

Потенциалом такого поля является электрический потенциал ϕ.

167

− −	∫dϕ = ϕ(B) −ϕ( A) =U AB , где UАВ – электрическое напряжение
∫E dl =
AB	AB

между точками АВ.

−

Обратим внимание на то, что потенциальное векторное поле F полностью определяется одной скалярной функцией ϕ(x, y, z) , тогда как в общем случае необходимо задать три скалярные функции

Fx (x, y, z), Fy (x, y, z), Fz (x, y, z).

3.6.2. Операции II порядка

Если поля, получаемые в результате операций I порядка подвергнуть ещё раз операциям I порядка, то имеют место пять операций II порядка:

1. div gradϕ , 2. divrotF , 3. graddivF , 4. rot gradϕ , 5. rotrotF .

В 3.6.1. уже показано, что rot gradϕ = 0. Это значит, что поле градиентов всегда потенциальное.

Не трудно показать, что divrotF = 0. Действительно:

∂

−

∂

−

∂

−

divrotF =

rotx

rot y F +

rotz

∂x

∂y

∂z

∂

∂F

∂Fy

∂

∂F

∂

∂Fy

−

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

=∂2 Fz − ∂2 Fy + ∂2 Fx − ∂2 Fz + ∂2 Fy − ∂2 Fx ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y

− ∂∂Fx = y

= 0.

Это значит, что поле вихрей всегда соленоидально.

Из операций II порядка выделим первую, имеющую большое значение.

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

divgradϕ =

grad

ϕ +

grad

ϕ +

grad

ϕ =

∂x

∂y

∂z

∂z ∂z

∂x ∂x ∂y

∂y

∂2ϕ

∂x2

∂y

∂z 2

168

Данная операция преобразует скалярное поле ϕ в векторное поле


		ϕ , а затем опять в скалярное полеdiv				ϕ .	Векторное поле		ϕ
	grad			grad				grad
является промежуточным.
		Особое место занимает условие div			ϕ = 0 .		Это условие называется
			grad
уравнением Лапласа.

Скалярное поле ϕ, удовлетворяющее уравнению Лапласа называется гармоническим.

Это условие показывает, что градиент гармоничного поля есть соленоидальное поле. Но градиент любого скалярного поля всегда потенциальный. Значит векторное поле, образованное градиентом гармонического поля является одновременно и потенциальным, и соленоидальным и такое векторное поле называется Лапласовым.

И наоборот, если векторное поле Лапласово, т.е. потенциальное и соленоидальное, то его потенциал является гармоническим скалярным полем

(функцией).
Важная роль гармонических								полей в физике следует	из таких
примеров:
							−
1.	Если	grad			ϕ = F - векторное поле сил тяготения гравитационного
поля, то ϕ - ньютонов потенциал сил тяготения.
2.	Если						−
2.	Если			grad			ϕ =V - поле	скоростей установившегося	движения
однородной жидкости или газа, то ϕ - потенциал скоростей.
							−
3.	Если		grad			ϕ = E - поле напряженностей электрического поля в
однородной и изотропной среде, то ϕ - потенциал электрического поля.
4.	В случае стационарного распределения тепла в однородной и

изотропной среде гармоническая функция ϕ является просто температурой среды.

169

Операции I и II порядка очень удобно производить, пользуясь символикой Гамильтона, которая достаточно подробно описана в литературе и здесь не приводится.

Остальные операции II порядка менее востребованы. Приведем только их аналитические выражения.

∂

− −

∂

− −

∂

− −

∂2 F

∂2 Fy

∂2 F

−

graddivF =

(div F ) i+

(div F ) j

(div F ) k =

∂x

∂y

∂z

∂x

∂x∂y

∂x∂z

∂2 F

∂2 Fy

∂2 F

−

∂2 F

∂2 Fy

∂2 F

−

k .

∂x∂y

∂y

∂y∂z

∂x∂z

∂y∂z

∂z

∂

−

∂

−

∂

−

∂

−

∂

−

∂

−

rotrotF =

rot

−

rot

−

rot

F j+

rot

−

rot

F k

∂y

∂z

∂x

∂y

∂

−

∂y 2

−

∂z 2

∂x 2

−

∂x 2

x i

∂x∂y

∂x∂z

∂

−

∂z 2

∂x 2

∂x∂y

∂y 2

∂y∂z

∂y 2

∂

−

∂x 2

−

∂y 2

∂z 2

−

∂z 2

z k

∂x∂z

∂y∂z

∂

∂F

∂Fy

∂F

∂2 F

−

i−

∂x ∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂

∂F

∂Fy

∂F

∂2 Fy

−

2 +

∂y

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂

∂F

∂Fy

∂F

∂2 F

−

∂

2 F

∂2 F

−

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

= graddivF −

∂x

∂y

∂z

∂2 Fy

−

∂2 F

∂

2 F

∂2 F

−

2 +

∂x

∂y

∂z

k .

3.6.3. Типовые примеры решения задач по теории поля

Пример 1. В каком направлении скалярное поле ϕ изменяется с наибольшей интенсивностью (скоростью) при переходе через точку А? Чему равна эта

170

скорость? Найти точки, в которых поле ϕ стационарно.

ϕ = x3 − 2x2 y + xy 2 + 43 y3 −16 y , А(1;-3).

Решение. Наибольшая скорость изменения поля ϕ в точке А будет в направлении градиента этого поля в точке А.

−

grad

ϕ = ϕx i

+ϕy

j = (3x2

− 4xy + y 2 ) i

+ (−2x2

+ 2xy + 4 y 2

−16) j .

−

grad

A = (3 −4(−3) +(−3)2 ) i

+(−2

+ 2(−3)

+ 4(−3)2 −16) j = 24 i

12 j .

Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения поля ϕ в точке А численно равна модулю градиента этого поля в точке А.

grad

= 2412 +122 = 720 =12 5.

Поле ϕ

будет стационарно в тех точках, для которых

ϕ = 0 , или

grad

ϕx' = 0 , ϕ''y = 0 .

= 3x

− 4xy + y

= 0,

ϕx

= −2x2 + 2xy + 4 y 2 −16 = 0.

ϕ'

Разделив обе части первого уравнения на x2 ≠ 0, получим:

3 − 4	y	+ (	y	)2	= 0 . Пусть	y	= t , тогда t2	- 4t + 3 = 0, t1 =1,t2 = 3 , или
	x					x
			x

y1 = x1 , y2 = 3x2 .

Исходная система распадается на две простейшие системы:

y1 = x1,

−2x12 + 2x1 y1 + 4 y12 =16.

− 2x2	+ 2x2				+ 4x2 =16, x2			= 4, x = 2, y					= 2, x			3	= −2, y		3	= −2.
1		1			1		1,3	1				1				3			3
		y2 = 3x2 ,											2										2		,	2	=16 , x2		2	,
											−		2x2	+ 2x2 3x2					+ 4(3x2 )					=16		40x2,4		=
							+ 4 y22 =16.				−		2x2	+ 2x2 3x2					+ 4(3x2 )					=16		40x2,4		=	5
		− 2x22 + 2x2 y2					+ 4 y22 =16.																						5
y2 = 3			2	,	x4 = −	2	, y4 = −3		2	.
y2 = 3		5		,	x4 = −		, y4 = −3		5	.
		5			5				5
		В точках (2;2), (-2;-2), (									2	;3		2	),		(-	2	;-3		2	) поле ϕ стационарно.
		В точках (2;2), (-2;-2), (							5			;3		5	),		(-	5	;-3		5	) поле ϕ стационарно.
									5					5				5			5

171

Пример 2. Вычислить электрическое напряжение U между точками А и

−

В электростатического поля напряженностью Е двумя способами:

а) непосредственным вычислением криволинейного интеграла II рода, по заданному пути интегрирования γ , представляющего собой ломаную

АСВ, где АС-кривая линия, СВ – отрезок прямой;

б) с помощью электрических потенциалов ϕ, предварительно

−

исследовав поле Е на потенциальность и определив сам потенциал ϕ.

−

;

− 2x +1,

0 ≤ x ≤ 3, А(0;1), С(3;4), В(4;0).

E = (6x +

2 y 2 ) i+

4xy j

= x

отрезок CB 3 ≤ x ≤ 4;

Решение. 2а). Путь интегрирования от А до

C(3;4)

В (рис.3.41) имеет

точку излома С, поэтому:

−

− −

U = ∫E dl

= ∫E dl

+ ∫E dl .

A(0;1)

−

∫E dl

∫

(6x + 2 y

) i

+ 4xy j (dx i

+ dy j) =

B(4;0)

•

= ∫(6x + 2 y

)dx +

4xydy=

• y = x

− 2x +1,

Рис. 3.41

dy = (2x − 2)dx, 0 ≤ x ≤ 3 •

•

= ∫3

[6x + 2(x2

− 2x +1)2 ]dx + 4x(x2 − 2x +1)(2x − 2)dx =

∫3

(10x4

−32x3 + 36x2 −10x

+ 2)dx

= (10

− 32

+ 36

−10

+ 2x)

2 35 −8 34

+12 33 −5 32

+ 6 =123.

dy = -4dx, 3 ≤ x ≤ 4 •

• =

∫E dl = ∫(6x + 2 y 2 )dx + 4xydy=•

• CB: x −3 = x − 4 , y =16-4x,

−

4 −3

0 − 4

= ∫[6x + 2(16-4x)2 ]dx + 4x(16-4x)(-4)dx = ∫(96x2 -506x + 512)dx =

−506

= 32(4

−3 )

− 253(4

−3 ) + 512(4 −3) = −75.

+ 512x

−

U = ∫Edl =123 − 75 = 48 ед.электрического напряжения.

−

2б) Исследуем после Е на потенциальность.

172

−

∂

∂O

∂4xy −

∂(6x + 2 y 2 )

∂O

−

∂4xy

∂(6x + 2 y 2 )

−

rotE =

−

k = (4 y −

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂y

∂x

6x + 2 y 2

4xy

−

- потенциальное. Найдём его потенциал.

Векторное поле Е

ϕ = ∫Ex (x, y0 , z0 )dx + ∫Ey (x, y, z0 )dy + ∫Ez (x, y, z)dz=•

• Ez = 0; z = z0 = 0 •

• =

y 2

= ∫(6x + 2 y0 )dx + ∫

4xydy =

+ 2 y0 x

+ 4x

= 3x −3x0

+ 2 y0 x − 2 y0 x0 +

− 2xy02 = 3x2 + 2xy2 −3x02 − 2x0 y02 = 3x2 + 2xy2 + C.

Электрическое напряжение

−

= ∫dϕ = ϕ(B) −ϕ( A) .

U = ∫Edl

−

4 y) k

2xy

= 0.

2 −

AB AB

U = (3x2 + 2xy2 + C) B − (3x2 + 2xy2 + C) A = 3 42 + 2 4 0 +C −3 0 − 2 0 1 −C = 48.

ед. эл напряжения

−

Пример 3. Исследовать векторное поле F на соленоидальность и

−

потенциальность. В случае потенциальности поля F найти его потенциал.

−

x i

+ y j+ z k

(ньютоновское поле сил тяготения).

F =

(x2 + y 2 + z 2 )3

Решение.

Поле

−

= 0 .

соленоидальное, если div F

−

∂F

∂Fy

∂F

div F =

x +

, F

x =

∂x

∂y

∂z

(x2 + y 2 + z 2 )3

∂x

(x2 + y 2 + z 2 )3 − x

+ y 2 + z 2 2x

(x2 + y 2 + z 2 )

+ y 2

+ z 2 (x2

+ y 2 + z 2

−3x2 )

x2 + y 2

+ z 2 ( y 2 + z 2 − 2x2 )

(x2 + y 2

+ z 2 )3

2 + y 2 + z 2 )3

∂Fy

+ y

+ z

)

− y

+ y

+ z

2 y

Fy =

∂y

(x2 + y 2 + z 2 )3

+ y 2

+ z 2 (x2

+ y 2 + z 2

−3y 2 )

x2 + y 2

+ z 2 (x2 + z 2 − 2 y 2 )

(x2 + y 2

+ z 2 )3

(x2 + y 2 + z 2 )3

173

, ∂Fz

+ y

+ z

)

− z

+ y

+ z

Fz =

(x2 + y 2 + z 2 )3

∂z

+ y 2

+ z 2 (x2

+ y 2

+ z 2 − 3z 2 )

x2 + y 2 + z 2 (x2 + y 2 − 2z 2 )

(x2 + y 2

+ z 2 )3

(x2 + y 2 + z 2 )3

div F = x

+ y

+ z

− 2x

) +

+ y

+ z

− 2 y

) +

−

(x2 + y 2 + z 2 )3

+ y 2

+ z 2 (x2

+ y 2

− 2z 2 )

(x2 + y 2 + z 2 )3

+ y 2

+ z 2 ( y 2

+ z 2

− 2x2 + x2 + z 2

− 2 y 2 + x2 + y 2 − 2z

2 )

= 0.

(x2 + y 2 + z 2 )3

Ньютоновское поле сил тяготения – соленоидальное. Поле F потенциальное, если rotF = 0.

−

∂Fy

∂ ∂

∂

∂F

−

∂F

−

∂F

−

rotF =

(

−

) i+ (

−

)

+ (

) k

∂x ∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂Fz

− z

x 2 + y 2 + z 2 2 y

∂Fy

∂

;

∂y

+ y

+ z

)

+ y

+ z

)

∂z

∂y

+ y

+ z

)

− y

x 2 + y 2

+ z 2 2z

;

(x 2 + y 2 + z 2 )3

∂Fx

∂

− x

x 2 + y 2 + z 2 2z

∂Fz

∂

;

∂z

+ y

+ z

)

+ y

+ z

)

∂x

+ y

+ z

)

− z

x 2

+ y 2

+ z 2 2x

;

(x 2 + y 2 + z 2 )3

∂Fy

∂

− y

x 2 + y 2 + z 2 2x

∂Fx

∂

;

∂x

+ y

+ z

)

+ y

+ z

)

∂y

+ y

+ z

)

− x

x 2

+ y 2

+ z 2 2 y

(x 2 + y 2 + z 2 )3

−

rotF =

−3zy x

+ y

+ z

−

3yz x

+ y

+ z

−

3xz x

+ y

+ z

−

−3zx x

+ y

+ z

(x 2 + y 2 + z 2 )3

174

	−3yx x2 + y 2 + z 2		−3xy x2		+ y 2	+ z 2		−
+		−					k = 0 .
+	(x2 + y 2 + z 2 )3	−	(x2	+ y 2 + z		2 )3	k = 0 .
	(x2 + y 2 + z 2 )3		(x2	+ y 2 + z		2 )3

Ньютоновское поле сил тяготения – потенциальное.

−

Потенциалϕ поля F

xdx

ydy

ϕ = ∫Fx (x, y0 , z0 )dx + ∫Fy (x, y, z0 )dy + ∫Fz (x, y, z)dz = ∫

+ ∫

+ y

+ y0

+ z0 )

zdz

1 x

−

1 y

−

+ ∫

∫

+ y0

+ z0 )

2 d(x

+ y0

+ z0 ) +

∫(x

+ y

+ z0 )

2 d( y

+ x

+ z0 ) +

+ y

+ z

)

2 x0

2 y0

−

∫(x2 + y2 + z2 )

d(z2 + x2 + y2 ) = −

−

2 z0

+ y0

+ z0

+ y

+ z0

−

= −

−

x2 + y2 + z2

+ y02 + z02

x02 + y02 + z02

x2 + y2 + z02

+ y02 + z02

−

= −

+C.

x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z02

x2 + y2 + z2

x02 + y02 + z02

x2 + y2 + z2

3.6.4. Задания на контрольную работу по теме “Элементы теории поля”

Задание 1. В каком направлении скалярное поле ϕ изменяется с наибольшей интенсивностью (скоростью) при переходе через точку А? Чему равна эта скорость? Найти точки, в которых поле ϕ стационарно.

1.	ϕ = e x (x − y3 + 3y), A(2;-4) .
2.	ϕ = x3 − 4x2 y + 4 y 2 x − y3 +							1	y 2 , A(4;-2) .
2.	ϕ = x3 − 4x2 y + 4 y 2 x − y3 +						2		y 2 , A(4;-2) .
							2
3.	ϕ =	1	x3	+ xy + zx − 2x +	1	y	3 + yz - 2y +			1	z3	- 2z, A(2;-1;3) .
3.	ϕ =	3	x3	+ xy + zx − 2x +	3	y	3 + yz - 2y +			3	z3	- 2z, A(2;-1;3) .
		3			3					3
4.	ϕ =	1 x3		+ xy 2 − 5x − 4 y,		A(3;-2) .
		3
5.	ϕ = x2 + y 2 + z 2 + xy + xz + zy − 7x −8y −9z, A(2;3;-1) .

175

6.	ϕ =	2x3 −				19				x2 y +15xy 2 + 3y3 −16 y, A(-2;3) .
6.	ϕ =	2x3 −			2					x2 y +15xy 2 + 3y3 −16 y, A(-2;3) .
					2
7.	ϕ =		1	x3 y3 −16x − 2 y,										A(3;-2) .
7.	ϕ =	3		x3 y3 −16x − 2 y,										A(3;-2) .
		3
8.	ϕ = xyz +				1			x2			+	1	y 2 +	1	z 2 − 2x − 2 y − 2z,		A(2;3;4) .
8.	ϕ = xyz +				2			x2			+		y 2 +	2	z 2 − 2x − 2 y − 2z,		A(2;3;4) .
					2						2			2
9.	ϕ =		1	x3 +			1		y3		+ xy − 20x − 20 y,					A(-3;4) .
9.	ϕ =	3		x3 +					y3		+ xy − 20x − 20 y,					A(-3;4) .
		3			3
10.	ϕ = 8xy −8x3 − y3 +8ln x +8ln y,															A(2;3) .
Задание 2. Вычислить электрическое напряжение U между точками А и
																−	двумя способами:
В электростатического поля напряженностью Е																	двумя способами:

а) непосредственным вычислением криволинейного интеграла II рода по заданному пути интегрирования γ , представляющего собой ломаную

АСB, где AC – кривая линия, CB – отрезок прямой;

б)

помощью электрических

потенциалов

ϕ,

предварительно

исследовав поле

−

на потенциальность и определив сам потенциал ϕ.

−

−1, -1

≤ x

≤1,

1. E =

2xy i+ (x

+ 2) j,

γ: y =

-1;

-1 , C(1;e-1), B(-1,e +1).

отрезок CB,

-1 ≤ x ≤

cos x-1,

0 ≤ x

≤

π;

−

E =

(3 + 2 y 2 ) i

4xy j,

γ : y =

A(0;0), C

π; −

, B(π;1).

отрезок CB,

π ≤ x ≤ π;

−

ln(x-1)

≤ x ≤ e +1;

E =

y i

+ (x

− 3) j, γ: y =

+1;-1 , C(e +1;1), B(0;e).

≤ x ≤ e +1;

отрезок CB,

-1

≤ x

≤

−

arctg x,

4. E = 4xy i+ (2x +3) j,

γ : y =

-1;-

, C 3;

, B 3;-

≤ x ≤

отрезок CB,

−	−	+ (x3	−
5. E = 3x2 y i			+ y) j,
−	−	+ (x3	−
6. E = 3x2 y i			+ 2) j,

					1
ln(1-x), -e+1			≤ x ≤	1−		;
ln(1-x), -e+1			≤ x ≤	1−	e	;
γ : y =					e
			-e +1	≤ x ≤ e;
отрезок CB,			-e +1	≤ x ≤ e;
- x	2
		− 2, 0 ≤ x ≤ −ln9;
γ : y = e		− 2, 0 ≤ x ≤ −ln9;

отрезок CB, -ln9 ≤ x ≤ ln9;

	1
A 1-		;-1 , C(-e +1;1), B(e;0).
A 1-	e	;-1 , C(-e +1;1), B(e;0).
	e

A(0;-1), C(- ln9;1), B(ln9;2).

176

+1, π ≤ x

≤ 4π;

−

+ (x3

−

cos

7. E = 3x2 y i

+ 3y 2 ) j,

γ : y =

A(π;1), C(4π;2), B(π;-2).

отрезок CB, π ≤ x ≤ 4π;

−

8. E = −e−x y i+ (e−x + 2) j,

sin

, 0 ≤ x ≤ π;

A(0;0), C(π;eπ ), B(2π;-1).

γ : y =

отрезок CB, π ≤ x ≤ 2π;

- 2x-x2 , 0

≤ x ≤1+

;

−

9. E = y

+ 2xy j,

γ : y =

A(0;0), C 1

; −

, B(1;1).

отрезок CB,

1 ≤ x ≤1 +

;

				3	, 1 ≤ x	≤ 3;
−	−	−	(x-1)		, 1 ≤ x	≤ 3;
10. E = y ln x i+ x(ln x −1) j			γ : y =
							3 ≤ x	≤ e	2	;
			отрезок CB,				3 ≤ x	≤ e		;
	Задание	3. Исследовать векторное					поле	−
	Задание	3. Исследовать векторное					поле	F
потенциальность. В случае потенциальности поля										−
потенциальность. В случае потенциальности поля									F

A(1;0), C(3;8), B(e2 ;1).

на соленоидальность и

найти его потенциал.

−

sin z

3ln y −

−

F =

−

x cos z k .

1) j+ 3k .

F = ( y

+ ln y +

2x) i+ (ln x + x +

−

− −

−

F = −3

z sin(3x + y) i

−

z sin(3x +

4 + y

	−	cos(3x + y)	−
y) j+		cos(3x + y)	k .
y) j+			k .
		2 z
		2 z

−− − −

4.F = (1 − e x−y + cos x) i+ (e x−y + cos y) j+ e z k .

−

F =

2 y

sin(2x + z) i+

− 2 y cos(2x + z) j+

+ y

sin(2x + z) k .

−

(sin 2

−

F =

y − y sin 2x) i+ (x sin 2 y + cos2 x +1) j

+ k .

−

F =

i+ (sin y + 4 y3 ln(xz))j+

k .

−

(e x+y

−

+ (e x+y

−

F =

+ cos(x − y)) i

− cos(x − y) + 2) j

+ k .

−

F = −( y

+ z ) sin x i

4 y cos x +

j+ 3z

cos x k .

10.

−

F =

( y + ln(x +1)) i

+ (x +1 − e y ) j+

z k .

177

178

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.201979.36 Кб10планы семинаров Н.П.Шевченко.doc
#
01.11.20183.81 Mб146Подвижной состав. Исправленное.doc
#
12.11.2019176.64 Кб6пособие для поведния семинрских знятий.doc
#
15.02.201530.97 Mб31пособие проводнику.docx
#
15.02.201523.98 Кб22почтовобагажный вагон.docx
#
15.02.20153.83 Mб98практикум математика часть 2.pdf
#
15.02.20154.76 Mб121практикум по математике часть 3.pdf
#
15.02.2015328.84 Кб47Практич_МТТ_с_приложением_МТТ.pdf
#
15.02.2015439.81 Кб33Практическое занятие.doc
#
18.09.201934.46 Кб4Предпринимательство.docx
#
15.02.201530.21 Кб12прием док-в в общ-е (1).doc