Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум математика часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

3.5.Поверхностные интегралы

Взависимости от величины (функции, поля), которая интегрируется по ограниченному куску гладкой кривой поверхности существуют два рода поверхностных интегралов.

При интегрировании скалярной величины (поля) – поверхностный интеграл I рода.

При интегрировании векторной величины (поля) – поверхностный интеграл II рода.

3.5.1.Поверхностный интеграл I рода

3.5.1.1.Определение

	z		Поверхностным интегралом I		рода
	zi		от скалярной функции ѓ(x,y,z) по
	σ	Si	ограниченному куску гладкой (кусочно-
			гладкой) поверхности σ называется
		yi	предел интегральной суммы
		y	n
xi	σxy	xi yi	n→∞lim ∑ f (xi , yi , zi )	Si = ∫∫ f (x, y, z)dS,	где
x	σxy		max Si →0 i=1	σ
x			ѓ(x,y,z) – ограниченная непрерывная
			ѓ(x,y,z) – ограниченная непрерывная
			скалярная функция (поле),
		Рис. 3.27	определённая на ограниченном куске
гладкой поверхности σ (рис.3.27),			Si – площадь i-ой элементарной площадки,

на которые разбит весь кусок поверхности σ, (i=1,n), n – количество элементарных площадок,

ѓ(xi,yi,zi) – значение функции в точке (xi,yi,zi) принадлежащей элементарной площадке Si.

100

Если ѓ(x,y,z) – поверхностная плотность распределения вещества [кг/м3], то ѓ(xi,yi,zi) Si - масса элементарного кусочка поверхности σ, интегральная сумма – приближённое значение, а её предел – точное значение массы всего куска поверхности σ.

Физический смысл поверхностного интеграла I рода – это есть масса куска кривой поверхности σ.

С помощью этого интеграла можно посчитать массу пустой цистерны, обшивки ракеты, корпуса подводной лодки и т. п.

3.5.1.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода.

	z	ni	γ	Расчёт	сводится	к вычислению
		ni	γ	двойного	интеграла.	Общеизвестно,
			Si	двойного	интеграла.	Общеизвестно,
			Si	что двойной интеграл вычисляется по
				что двойной интеграл вычисляется по
				плоской области D. Значит нужен
				переход от куска кривой поверхности
			y	σ к плоской области D. Этот переход
			xi	осуществляется через проекцию σ на
x		γ	yi	осуществляется через проекцию σ на
x		γ	yi	любую из координатных плоскостей,
				любую из координатных плоскостей,
	Рис. 3.28			лишь бы выполнялось условие

однозначности проектирования.Чтобы осуществить этот выбор нужно обязательно иметь чертёж задачи.

Пусть поверхность σ однозначно проектируется на плоскость Z = 0 и эта проекция есть область σxy (рис. 3.27). Тогда каждая из элементарных площадок Si будет иметь проекцию на плоскость Z = 0 в виде xi yi (рис. 3.28).

101

Элементарная площадка Si – кусочек плоскости изменяющей свою ориентацию от точки к точке по поверхности σ, площадка xi yi – тоже кусочек плоскости, но с постоянной ориентацией, так как лежит на самой плоскости Z = 0. Их площади связаны соотношением:

xi yi = cosγ, где γ - угол между их плоскостями.

Но угол γ, это угол между единичным нормальным вектором ni

площадки Si и осью Oz (рис. 3.28), являющейся нормальным вектором площадки xi yi .

Напомним, если гладкая двухсторонняя поверхность σ задана уравнением Z = Z(x,y) или φ(x,y,z) = Z-Z(x,y) = 0, то единичный нормальный вектор к такой поверхности определяется как

gradϕ

ϕx'

ϕy

ϕz'

n = ±

= ±

i +

j +

gradϕ

(ϕx' )2 +(ϕy' )2 +(ϕz' )2

(ϕx' )2 +(ϕy' )2 +(ϕz'

−Zx'

−Zy

=±(cosαi +cosβ j

+cosγk),

= ±

i +

j +

1+(Z '

)2 +(Z '

1+(Z '

+(Z '

1+(Z

+(Z '

где cosα ,cos β ,cosγ	- направляющие косинусы.					(3.11)
Поверхностный интеграл I рода, определяющий массу поверхности, не
зависит от направления вектора			, поэтому знаки ± опускаем.
		n
Откуда cosγ =	1			и xi yi = cosγ Si ,	xi yi
					Si = cosγ	,
	1+ (Z x' )2 +(Z y' )2

При переходе от интегральной суммы к её пределу имеем:

dxdy = cosγ dS,	dS = dxdy	, dS = 1+(Zx'	)2	+(Z y' )2 dxdy .	(3.12)
	cosγ

Таким образом, если функция ѓ(x,y,z) задана на поверхности σ, которая описывается уравнением Z = Z(x,y), и поверхность σ однозначно

102

проектируется на плоскость Z = 0, то поверхностный интеграл I рода вычисляется:

∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y, z(x, y))			dxdy	= ∫∫ f (x, y, z(x, y)) 1 + (Z x' )2 + (Z y' )2 dxdy.		(3.13)
			cosγ
σ	σ			σ	xy
		xy

Если поверхность σ однозначно проектируется на другие координатные плоскости, например, на X = 0, то уравнение поверхности σ задаётся в виде

X=X(y,z) и те же рассуждения приводят к формулам: dydz = cosαdS, dS = cosdydzα ,

dS = 1 + (x'y )2	+ (xz' )2 dydz ,
∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x(y, z), y, z)			dydz	=∫∫ f (x(y, z), y, z) 1+ (x'y )2 + (xz' )2 dydz . (3.14)
∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x(y, z), y, z)			cosα	=∫∫ f (x(y, z), y, z) 1+ (x'y )2 + (xz' )2 dydz . (3.14)
σ	σ	yz	cosα	σ	yz
		yz			yz

Если расчёт привязать к плоскости Y = 0, то уравнение σ есть Y=Y(x,z)

∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y(x, z), z)			dxdz	=∫∫ f (x, y(x, z), z) 1+ ( yx' )2 + ( yz' )2 dxdz (3.15)
∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y(x, z), z)			cos β	=∫∫ f (x, y(x, z), z) 1+ ( yx' )2 + ( yz' )2 dxdz (3.15)
σ	σ	xz	cos β	σ	xz
		xz			xz

Если проекции σ на координатные плоскости представляют собой фигуры, ограниченные окружностью или эллипсом, то расчёт поверхностного интеграла I рода (формулы (3.13),(3.14),(3.15)) удобнее проводить в полярной системе координат (см. расчёт двойного интеграла в полярной системе координат).

3.5.1.3.Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

1.Вычисление массы материальной поверхности с поверхностной плотностью распределения массы ѓ(x,y,z).

m = ∫∫ f (x, y, z)dS .

2. Вычисление площади поверхности σ (если ѓ(x,y,z) = 1).

S = ∫∫dS .

103

3. Вычисление координат центра масс Xc, Yc, Zc материальной

поверхности σ: xc =

myz

∫∫xf (x, y, z)dS

, yc =

∫∫yf (x, y, z)dS

zc =

∫∫zf (x, y, z)dS

где myz, mxz, mxy – статические моменты материальной поверхности σ относительно координатных плоскостей.

4. Вычисление моментов инерции Ix, Iy, Iz, Io относительно осей Оx,Оy,Оz и начала координат материальной поверхности σ.

I x = ∫∫(y2 + z2 )f (x, y, z)dS, I y = ∫∫(x2 + z2 )f (x, y, z)dS, I z = ∫∫(x2 + y2 )f (x, y, z)dS,

σ σ σ

I0 = ∫∫(x2 + y2 + z2 )f (x, y, z)dS .

При расчётах перечисленных величин следует пользоваться формулами

(3.13, 3.14, 3.15).

3.5.1.4. Типовой пример решения поверхностных интегралов I рода

Пример. Вычислить массу, координаты центра масс и моменты инерции относительно координатных осей и начала координат материальной оболочки, которая представляет собой полую тонкостенную конструкцию, выполненную из композитного материала с поверхностной плотностью γ (x, y, z) [кгм2 ]. Оболочка имеет вид тела, ограниченного поверхностями S1, S2.

γ (x, y, z)= x2 , S1 : z = 2 − 12 (x2 + y2 ), S2 : z = 0.

Решение. Оболочка имеет вид тела – рис. 3.29, где S1 – “крыша”, S2 – основание.

104

	z		Масса оболочки
	z		m = ∫∫γ (x, y, z)dS	= ∫∫x2 dS1 +∫∫x2 dS2 ,
		S1	m = ∫∫γ (x, y, z)dS	= ∫∫x2 dS1 +∫∫x2 dS2 ,
	2	S1	s	S1		S2
			s	S1		S2
				1 (x2	+ y2 ),
			S1 : z = 2 −	1 (x2	+ y2 ),
-2	S2	2	y	2
-2	S2	2	y	(Z ' )2	+(Z '	)2 dxdy =
			dS = 1+	(Z ' )2	+(Z '	)2 dxdy =	1+ x2	+ y2 dxdy.
	x		1	x	y
	x

Рис. 3.29	S2 : z = 0 , dS2 = 1+(Zx' )2 +(Z y' )2 dxdy = dxdy.

2												•				1+ r 2 = t 2 ,t = 1+ r 2 , r = 0,t =1,																						•
												•																										•

∫r		3		1+ r			2		dr		=																											=
∫r				1+ r					dr		=			• r			2	= t			2		−1,2/rdr = 2/tdt, r								= 2,t =					5 •		=
0														• r				= t					−1,2/rdr = 2/tdt, r								= 2,t =					5 •
= ∫5(t 2 −1)ttdt = ∫5(t 4 −t 2 )dt = (t 5
																												− t3 )		5	= 1	(25				5 −1) −					1 (5			5 −1) =			10			5 +			2	.
																												− t3 )			= 1	(25				5 −1) −					1 (5			5 −1) =				3		5 +		15		.
		1												1											5				3	1	5										3							3				15
			2					2π					2						2				3		2				10				2		2π				2					10				2		2π1		+ cos 2ϕ
∫∫x				dS1		=			∫cos						ϕdϕ∫r									1+ r			dr =				5 +				∫cos					ϕdϕ			=			5 +				∫						dϕ =
∫∫x				dS1		=			∫cos						ϕdϕ∫r									1+ r			dr =			3	5 +		15		∫cos					ϕdϕ			=		3	5 +		15		∫		2				dϕ =
S									0										0											3			15		0										3			15		0		2
1
=	10				5 +					2				1		ϕ +			1							2π		=	10		5 +		2
	10									2				1					1							2π			10				2
																						sin 2ϕ												π.
			3											2					4			sin 2ϕ										15		π.
			3						15					2					4								0		3			15
∫∫		x2 dS2				=			∫∫		x2 dxdy=•											x = r cosϕ, r = 2,														•	=	2πcos2				ϕdϕ			2 r3dr =2π						1+ cos 2ϕ				dϕ		r 4	2	=
																						x = r cosϕ, r = 2,														•															1+ cos 2ϕ						r 4
																						• dxdy = rdrdϕ,0 ≤ϕ ≤ 2π•
																						• dxdy = rdrdϕ,0 ≤ϕ ≤ 2π•																∫							∫				∫			2				4		0
S2									S2									2π																				0							0			0
S2									S2																													0							0			0
=				1		+	1													= 4π.
	4				ϕ					sin 2ϕ
	4			2	ϕ		4			sin 2ϕ
				2			4											0
				10							2													10					62
m =							5 +							π				+ 4π =									5 +			π ≈ 36,401Ед.массы,
m =					3		5 +				15			π				+ 4π =									5 +		15	π ≈ 36,401Ед.массы,
					3						15													3					15

координаты центра масс xc, yc, zc.

105

∫∫xγ (x, y, z)dS

∫∫x3dS

∫∫x3dS1 + ∫∫x3dS2

∫∫x3dS1 =∫∫x3

1 + x2 + y2 dxdy =•

x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,

•

= ∫∫r3 cos3 ϕ 1 + r 2 rdrdϕ =

•

y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ

•

2π

∫cos3 ϕdϕ∫r 4

1+ r 2 dr=

∫r 4

1+ r 2 dr = A

= A ∫(1−sin2 ϕ)d sinϕ =

• 0

•

sin

2π

= 0.

A sinϕ −

2π

sin

2π

∫∫x

dS2 = ∫∫x

dxdy = ∫cos

ϕdϕ∫r

dr = ∫(1−sin

ϕ)d sinϕ

= 0.

sinϕ −

∫∫yγ (x, y, z)dS

∫∫yx2 dS

∫∫yx2 dS1 + ∫∫yx2 dS2

yc =

∫∫yx2 dS1 =∫∫yx2

1+ x2 + y2 dxdy =•

x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,

•

y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ

•

2π

•

= ∫∫r sinϕr 2 cos2 ϕ

1+ r 2 rdrdϕ = ∫sinϕ cos2 ϕdϕ∫r 4

1+ r 2 dr=

∫r 4 1+ r 2 dr = A

• 0

•

= A2∫πcos2 ϕd(−cosϕ) =− A

cos3 ϕ

2π

= −

(1−1)= 0.

∫∫yx2 dS2 = ∫∫yx2 dxdy =

2∫πsinϕ cos2 ϕdϕ∫2 r 4 dr = −

cos3 ϕ

2π

= 0

∫∫zγ (x, y, z)dS

∫∫zx2 dS

∫∫zx2 dS1 + ∫∫zx2 dS2

zc =

∫∫

zx2 dS = / z = 2 −

(x2 + y2 ) / =

∫∫

(2 −

(x2 + y2 ))x2

1+ x2 + y2 dxdy =

=•

• x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,•

•

= ∫∫

(2 −

r 2 )r 2

cos2

ϕ 1+ r 2 rdrdϕ =

y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ

2π

∫cos2 ϕdϕ∫(2r3 −

r5 )

1+ r 2 dr.

∫2 r3

1+ r 2 dr =

(см. раньше).

106

2																	•		1+ r 2 = t 2 ,t = 1+ r 2 , r = 0,t =1,																																		•				5					5	(t 6 − 2t 4 +t)dt =
2																	•		1+ r 2 = t 2 ,t = 1+ r 2 , r = 0,t =1,																																		•				5					5
∫r5					1+ r 2 dr=														• r				2		= t			2		−1,2/rdr = 2/tdt, r = 2,t =																					5 •				= ∫(t 2 −1)ttdt = ∫
0																			• r						= t					−1,2/rdr = 2/tdt, r = 2,t =																					5 •						1				1
																																																						(5				−1)=
				7				2		5				t			3						5					1														2										1									125					5		1		2		1
=		t					−	2	t	5		+		t											=			1								5 −1) −						2						5 −1)			+	1									125			−10 +		5	−	1	+	2	−	1	=
																														(125														(25													5			5
			7					5							3													7		(125												5		(25								3					5			5	7							7		5		3
			7					5							3						1							7														5										3									7					3		7		5		3
=		200						5	−			8						.
=		21						5	−		105							.
		21									105
					2							2π								2							2						3			1		5							2
∫∫zx						dS1			=				∫cos									ϕdϕ∫									2r			−			r				1+ r					dr =
∫∫zx						dS1			=				∫cos									ϕdϕ∫									2r			−		2	r				1+ r					dr =
S												0															0									2
1
		2π1+ cos 2ϕ																							10											2			1			200									8
= ∫														dϕ						2												5 +						−										5 −								=
= ∫								2						dϕ						2							3					5 +			15			−	2					21				5 −		105						=
		0						2																			3								15				2					21						105
=		20							+			4				−			100										+			4			ϕ			+		sin 2ϕ							2π		=					20			−	100	+	4	+			4		40					32
		20										4							100													4			ϕ					sin 2ϕ							2π							20				100		4				4		40					32
								5																			5																								5														π =				5 +				π.
				3				5			15									21							5					105					2						4								5			3						15		105			π =				5 +		105		π.
				3							15									21												105					2						4					0						3				21		15		105				21					105
∫∫zx2 dS2 =•													• z = 0•											• = 0. .


S2
					40												32
										5 +													π								200					5 +		32						15				1	100				5 +16
							21			5 +					105								π
							21								105
z		=																								=																				=												≈ 0,394ед.длины.
z		=			10												62									=																				=												≈ 0,394ед.длины.
	c				10												62															50			5 +62								105					7		25			5 +31
										5 +												π																					105					7
								3		5 +							15					π
								3									15

Моменты инерции Ix, Iy, Iz, Io.

I x = ∫∫(y 2 + z 2 )γ (x, y, z)dS = ∫∫(y2 + z 2 )x2 dS1 + ∫∫(y2 + z 2 )x2 dS2 .

∫∫(y			2	+ z				2		)x		2	dS1 = ∫∫								2		+			2 −		1		(x	2	+ y			2			2					2		1+ x					2		+ y				2	dxdy =
∫∫(y				+ z						)x			dS1 = ∫∫					y					+			2 −		2		(x		+ y					)		x						1+ x							+ y					dxdy =
S																	S											2
1																	1
•		x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																											•							2		sin		2		ϕ +										1	r		2			2		2	cos			2	ϕ 1+ r		2	rdrdϕ =
•		x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																											•							2				2												1			2			2		2				2			2
=				y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ •																										= ∫∫ r																	2 −					2							r
	•			y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ •																												S																				2
																							1										1
= ∫∫ r					2		sin				2	ϕ + 4 − 2r							2						r		r	2		cos		2	1			1+ r				2		rdrdϕ =
= ∫∫ r							sin					ϕ + 4 − 2r								+					r		r			cos			ϕ			1+ r						rdrdϕ =
																										4
S																							4
1					sin						ϕ cos						1+ r							drdϕ +						∫∫cos					ϕ 4r									− 2r									r					1+ r					drdϕ =
= ∫∫r				5	sin				2		ϕ cos				2	ϕ	1+ r					2		drdϕ +						∫∫cos				2	ϕ 4r						3			− 2r				5	+		1		r	7				1+ r				2	drdϕ =
				5					2						2							2												2							3							5			1			7								2
S1																														S1																					4
S1																														S1
2π						2	ϕsin						2				2	5			1+ r					2	dr			2π				2	ϕdϕ				2					4r		3	− 2r					5	+			1		r	7		1		+ r		2	dr.
= ∫cos							ϕsin							ϕdϕ∫r							1+ r						dr	+ ∫cos							ϕdϕ				∫					4r			− 2r						+			4		r			1		+ r			dr.
0																	0													0									0																	4
∫2 r3			1+ r 2 dr										= 10				5 +				2			,			∫2 r5			1+ r 2 dr =										200							5		−			8			.
∫2 r3			1+ r 2 dr										= 10				5 +			15				,			∫2 r5			1+ r 2 dr =																	5		−	105					.
0														3						15							0														21									105

107

∫2 r 7 1+ r 2 dr =•																				1+ r 2 = t 2 , r = 0,t =1,																																						•		= ∫5(t 2 −1)3 t 2 dt = ∫5(t8 −3t 6 +3t 4 −t 2 )dt =
∫2 r 7 1+ r 2 dr =•																				1+ r 2 = t 2 , r = 0,t =1,																																						•		= ∫5(t 2 −1)3 t 2 dt = ∫5(t8 −3t 6 +3t 4 −t 2 )dt =
0																					• 2/rdr = 2/tdt, r = 2,t =																																		5 •									1																			1
			9					3			7							5		5				t		3							5							1			(625								5 −1)−							3			(125								5 −1)+									3		(25					5 −1)							1		(5				5 −1)=
			9																							3							5
=	t					−				t			+						t			−														=																																																							−
=		9				−		7		t			+					5	t			−			3											=				9																		7																				5													−	3
		9						7										5							3						1									9																		7																				5														3
=				625							−			375							+15 −										5				−					1		+		3				−		3		+		1		=		1840										5 +						16
		5																																																																												.
		5						9										7													3									9				7						5				3					63														315					.
								9										7													3									9				7						5				3					63														315
2π				2								2								2			5											2									200														8				2π				1							2										200												8		1						2π1−cos4ϕ
∫cos						ϕsin							ϕdϕ∫r														1+ r									dr =																	5 −										∫				sin						2ϕdϕ =															5 −														∫							dϕ =
∫cos						ϕsin							ϕdϕ∫r														1+ r									dr =										21							5 −			105							∫		4		sin						2ϕdϕ =											21				5 −				105							4			∫			2				dϕ =
0																				0																										21										105							0		4																			21								105							4		0				2
	200																8					1										sin					ϕ						2π						200												8							π
	200																8					1										sin					ϕ						2π						200												8							π
=									5		−												ϕ						−																=											5		−													.
=		21							5		−												ϕ						−					4											=						21					5		−		105								4			.
		21												105								8												4									0								21									105								4
2π					2							2							3									5					1							7											2
∫cos						ϕdϕ∫											4r					−	2r							+							r							1+ r								dr =
∫cos						ϕdϕ∫											4r					−	2r							+			4				r							1+ r								dr =
0												0																					4
	2π	1+ cos 2ϕ																							10																		2								200															8								1			1840												16
= ∫																		dϕ			4														5 +												−			2								5 −														+													5 +										=
= ∫								2										dϕ			4								3						5 +						15						−			2			21					5 −						105								+		4					63						5 +			315							=
	0							2																					3												15												21											105										4					63									315
						40								400									1840															8							16									4					1											sin 2ϕ									2π					100											220
						40								400									1840															8							16									4					1											sin 2ϕ									2π					100											220
=			5								−										+													+								+									+											ϕ +																				=									5		+									π.
=			5					3			−					21					+		252											+				15				+		105							+		315									ϕ +											2									=									5		+		315							π.
								3								21							252															15						105									315						2														2							0				63											315
∫∫(y			2			+ z				2	)x			2		dS1							200																				8					π						100													220																		50					100										2				220
																						=														5 −																+									5				+								π =									5					+								−								+				π	=
																						=					21									5 −						105								4		+				63					5				+		315						π =									5			21		+				63				−		105						+	315			π	=
S																											21															105								4						63											315																		21						63						105							315
1
=	250								5			+			214
=		63							5			+			315						π.
		63													315
			2						2				2														2																	1						2					2				2				2										•			x		= r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																												•
																																																											2														•																																	•

∫∫(x					+ z )x dS2																= ∫∫ y												+							2		−				(x						+ y				)					x dxdy=																																													=
																																																																														y = r sinϕ,dxdy = rdrdϕ
																																												2
S2																							S2																					2																															•																													•
S2																							S2												2																																								•																													•
							2					2														1					2				2						2							2
= ∫∫							2	sin				2	ϕ +								2 −					1				r	2										2		cos					2	ϕrdrdϕ =
= ∫∫			r					sin					ϕ +								2 −					2				r							r						cos						ϕrdrdϕ =
	S2																									2
∫∫r5 sin2 ϕcos2 ϕdrdϕ + ∫∫cos2 ϕ																																														4r3 −2r5 +														1 r7 drdϕ =
S2																																S2																												4
S2																																S2
	2π						2									2							2				5									2π								2								2 3												5					1 7												π r6					2									4					r6				r	8		2		16
	2π						2									2							2				5									2π								2								2 3												5					1 7												π r6					2									4					r6				r	8		2		16
= ∫sin								ϕcos										ϕdϕ∫r dr + ∫cos																											ϕdϕ∫									4r				−2r								+						r			dr =														+π							−							+				=			π.

																																																																					4												4				6								r								3								3
	0																						0														0															0																	4												4				6	0															3			32			0		3
I x =			250																214														16											250													1894												≈ 46,766 ед. момента инерции.
													5 +											π +															π			=											5 +											π
							63						5 +						315					π +										3					π			=				63							5 +					315						π
							63												315															3												63												315
I y = ∫∫(x2 + z 2 )x2 dS = ∫∫(x2 + z 2 )x2 dS1 + ∫∫(x2 + z 2 )x2 dS2 .
					S																										S1																										S2

108

∫∫(x					+ z						)x																								+					2		−		1				(x							+ y							)		2								1+ x							+ y					dxdy =					x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ																≤ 2π,	=
																																																																2																									x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ																≤ 2π,
			2							2				2		dS1 = ∫∫ x																2																				2								2				x				2									2					2
			2							2				2																		2																				2								2								2									2					2
S																							S																					2																																														y = r sinϕ,dxdy = rdrdϕ
	1																								1												2
= ∫∫						2							2														1						2				2					2									2													2
			r					cos							ϕ +					2		−								r									r				cos										ϕ					1+ r							rdrdϕ =
			r					cos							ϕ +					2		−					2			r									r				cos										ϕ					1+ r							rdrdϕ =
	S																										2
		1						cos												4 −2r																						r						cos										ϕ 1+ r											drdϕ =
= ∫∫			r			2		cos					2		ϕ +					4 −2r									2				+			1			r		4	r				3		cos							2			ϕ 1+ r									2		drdϕ =
						2							2																2							1					4					3									2												2
	S																																			4
		1				cos							ϕ 1+ r												drdϕ + ∫∫cos																									ϕ						4r					−2r												r						1+r						drdϕ =
= ∫∫r				5		cos					4		ϕ 1+ r									2			drdϕ + ∫∫cos																						2			ϕ						4r			3		−2r					5		+			1		r	7					1+r					2	drdϕ =
				5							4											2																									2												3							5					1			7										2
	S1																																							S1																															4
	S1																																							S1
	•	2π							4											2π 1+cos2ϕ 2																																		1				2π																				1+cos4ϕ																•
	•	2π							4											2π 1+cos2ϕ 2																																		1				2π																				1+cos4ϕ																•
		∫cos								ϕdϕ =										∫																					dϕ										=							∫ 1+ 2cos2ϕ																	+													=
		∫cos								ϕdϕ =										∫											2										dϕ										=			4				∫ 1+ 2cos2ϕ																	+						2							=
=		0																		0											2																							4				0																							2													=
=		0																		0																																						0																																				=
			1 2π							3																				1																											1 3																					1									2ο			3
						∫						+ 2cos2ϕ															+							cos4ϕ									dϕ =																				ϕ +sin 2ϕ												+					sin 4ϕ								=				π•
		• 4				∫				2		+ 2cos2ϕ															+			2				cos4ϕ									dϕ =																		2		ϕ +sin 2ϕ												+			8		sin 4ϕ								=		4		π•
		• 4				0				2																				2																											4				2																	8									0			4
	200																8			3												100																		220																					50					100									2			220								550						202
=										5 −														π +																		5 +																π				=					5							+									−				+					π		=						5 +					π.
=		21								5 −					105						4			π +											63							5 +								315								π				=					5					7		+				63					−		35		+	315				π		=			63			5 +					π.
		21													105						4														63															315																						7						63							35			315									63					315
∫∫(x			2		+ z					2	)x			2		dS2				= ∫∫													2		+ 2							−			1				(x				2			+ y					2	)		2					2	dxdy=								•		x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																						•
																																																																2														•		x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																						•
																												x																																					x																																						=

S																								S																				2																																				•	y			= r sinϕ,dxdy = rdrdϕ																	•
	2																									2											2
= ∫∫						2							2														1						2				2					2									2													= ∫∫r								5						4									∫∫cos				2				3				5		1			7
			r					cos							ϕ +					2		−								r									r				cos										ϕrdrdϕ																				cos						ϕdrdϕ +													ϕ		4r			−2r			+			r		drdϕ =
			r					cos							ϕ +					2		−					2			r									r				cos										ϕrdrdϕ																				cos						ϕdrdϕ +													ϕ		4r			−2r			+	4		r		drdϕ =
	S2																										2																																								S2																				S2														4
	S2																																																																		S2																				S2
	2π						4								2			5									2π									2								2 3																			5			1 7														3 r6						2						4		r6				r8		2			32
	2π						4								2			5									2π									2								2 3																			5			1 7														3 r6						2						4		r6				r8		2			32
= ∫cos									ϕdϕ∫r dr + ∫cos																													ϕdϕ∫												4r							−2r							+					r			dr =									π						+π						−			+					=				π.

																																																																		4																							r					3				32					3
	0														0												0																	0																						4														4 6						0								3				32		0			3
			550																202																32											550																		3562
I y		=												5 +											π						+									π		=																	5 +												π ≈ 96,853 ед. момента инерции.
I y		=				63								5 +					315						π						+					3				π		=								63									5 +					315							π ≈ 96,853 ед. момента инерции.
						63													315																	3														63														315

I z = ∫∫(x2 + y2 )x2 dS = ∫∫(x2 + y2 )x2 dS1 + ∫∫(x2 + y2 )x2 dS2 .

∫∫(x2 + y2 )x2 dS1 = ∫∫(x2 + y2 )x2

1+ x2 + y2 dxdy=•

x = r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,

2π

• y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ •

200

= ∫∫r

cos

1+ r

rdrdϕ = ∫cos

ϕdϕ∫r

1+ r

dr =

5 −

π.

105

∫∫(x2 + y2 )x2 dS2 = ∫∫(x2 + y2 )x2 dxdy = ∫∫r 2 r 2 cos2 ϕrdrdϕ =2∫πcos2 ϕdϕ∫2 r5 dϕ = π

S 2

•

r 6	2	32
	=		π.
6	=	3	π.
6	0	3

200			8		32	200			1112		ед. момента инерции.
I z =		5 −		π +		π =		5 +		π ≈100,174
	21		105		3		21		105

109

Io = ∫∫(x2 + y 2 + z 2 )x2 dS = ∫∫(x2 + y2 + z 2 )x2 dS1 + ∫∫(x2 + y2 + z 2 )x2 dS2

	∫∫(x				2		+ y				2		+ z				2	)x				2		dS1 = ∫∫															2	+ y						2	+								1			(x		2		+ y							2					2					2		1+ x				2	+ y				2	dxdy =
	∫∫(x						+ y						+ z					)x						dS1 = ∫∫												x				+ y							+		2 −						2			(x				+ y								)					x						1+ x					+ y					dxdy =
	S																															S																							2
	1																																1
		•			x		= r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																																						•										2						2		−			1				r		2		2						2	cos			2	ϕ			1		+ r		2	rdrdϕ =
		•			x		= r cosϕ, r = 2,0 ≤ϕ ≤ 2π,																																						•										2											1						2		2						2				2								2
	=						y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ																																								= ∫∫ r										+									2											r
			•				y = r sinϕ, dxdy = rdrdϕ																																				•						S																	2
																				1					7																								1							2π																		2													1
	= ∫∫									3					5																		2													2			1														2																	3			5							7				2
							4r			3	− r				5		+						r										2		ϕ				1+ r							2	drdϕ =																2														4r			3	− r		5		+				r	7			1+ r	2	dr	=
							4r				− r						+			4			r			cos									ϕ				1+ r								drdϕ =										∫cos								ϕdϕ∫												4r				− r				+		4		r				1+ r		dr	=
		S																		4																																					0																	0													4
			1
	= π						10													2							200																	8								1 1840																						16
				4										5 +												−												5 −										+																		5 +															=
				4						3				5 +				15								−			21									5 −										+			4							63								5 +							315								=
										3								15											21														105								4							63															315
									40						200										460											8							8						4										700																	196
	π				5							−									+											+							+								+									=														5				+							π.
	π				5					3		−			21						+					63						+			15				+		105						+		315							=					63									5				+		315					π.
										3					21											63									15						105								315												63															315
		2						2					2				2																		2							2									1						2						2					2							2
∫∫(x			+ y							+ z					)x			dS2								= ∫∫					x							+ y						+ 2					−					(x					+ y						)						x					dxdy =
∫∫(x			+ y							+ z					)x			dS2								= ∫∫					x							+ y						+ 2					−		2			(x					+ y						)						x					dxdy =
S	2																										S		2																						2
	2
														1									2																																														1
= ∫∫				2		+						−		1		r		2									2	cos						2		ϕrdrdϕ = ∫∫																				3			− r			5		+					1			r		7							2	ϕdrdϕ =
= ∫∫		r				+			2			−		2		r									r			cos								ϕrdrdϕ = ∫∫															4r								− r					+					4			r			cos							ϕdrdϕ =
	S2													2																																			S2																				4
	2π				2							2 3														5				1 7																			4				r 6							r8							2							40
	2π				2							2 3														5				1 7																			4				r 6							r8							2							40
= ∫cos						ϕdϕ∫									4r						− r											r					dr					= π																												=								π.
																											+																							−								+
																											+		4																		r			−			6					+		32															3
	0											0																	4																								6							32							0								3
	Io		=				700							5 +					196										+			40										700								5 +						4396
	Io		=					63						5 +				315								π			+				3				π =									63				5 +							315						π ≈121,83 ед. момента инерции.
								63										315															3													63											315

3.5.1.5. Задание на контрольную работу

Вычислить массу, координаты центра масс и моменты инерции относительно координатных осей и начала координат материальной оболочки, которая представляет собой полую тонкостенную конструкцию, выполненную из композитного материала с поверхностной плотностью

γ (x, y, z)	кг		. Оболочка имеет вид тела, ограниченного поверхностями S1, S2,
	3
м
S3.
1.		γ (x, y, z)= x2 + y2 , S1 : z = x2 + y2 +1, S2 : z = 5 .

110

2.	γ (x, y, z)= z2 ,	S1 : y2 + z2 = x2 , S2 : x = 2.
3.

4.γ (x, y, z)= x2 + y2 , S1 : z = 16 − x2 − y2 , S2 : z = 0.

5.γ (x, y, z)= x2 + y2 , S1 : 4(x2 + y2 −1)+ z = 0, S2 : z = 0.

6.	γ (x, y, z)= 1+ 2(x2 + y2 ), S1 : x2 + y2 − z = −1, S2 : z = 2, z > 0.

7.γ (x, y, z)= y2 , S1 : x2 + z2 = 19 y2 , S2 : y = 3, y > 0.

8.γ (x, y, z)= z, S1 : z = 14 (x2 + y2 ), S2 : z =1.

9.γ (x, y, z)= y2 , S1 :1− z = x2 + y2 , S2 : z = 0.

10.γ (x, y, z)= z 2 , S1 : x2 + y2 = 4, S2 : y = −2, S3 : y = 2.

3.5.2.Поверхностный интеграл II рода

3.5.2.1.Определение

Поверхностный интеграл II рода от векторной функции (поля) F (x, y, z)

по ограниченному куску гладкой двухсторонней поверхности называется предел интегральной суммы:

n
n→∞lim ∑		(xi , yi , zi )		i	Si = ∫∫		(x, y, z)
	F		n			F		ndSi , где
max S →0 i=1					σ

F (x, y, z) = Fx (x, y, z)i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z)k - векторная функция (поле)

определённая на ограниченном куске гладкой двухсторонней поверхности σ

(рис. 3.30),

Si – площадь i-ой элементарной площадки, на которые разбит весь кусок поверхности σ, ( i =1, n ). Элемент Si, как бесконечно малый участок кривой поверхности σ, можно с точностью до малых высшего порядка считать плоским,

111

		F	σzy	dy	n	–		количество
z			σzy	dz			элементарных
		ni					элементарных
		ni			площадок,
					площадок,
dz		Si	σ		F(xi , yi , zi )		-	значение
dz		Si			функции		F в точке
σxz dx					функции		F в точке
					(xi,yi,zi), принадлежащей
				y	элементарной площадке
				y	Si,
x		σxy dy dx			ni -			единичный
x					нормальный			вектор к
		Рис. 3.30			поверхности σ в точке
		Рис. 3.30			(xi,yi,zi).
					(xi,yi,zi).
Скалярное произведение векторов ( F(xi , yi , zi )ni ) есть высота цилиндра с
основанием Si (рис. 3.30),
F(xi , yi , zi )n Si		- объём указанного цилиндра.
Если F (x, y, z)		- скорость жидкости, протекающей через поверхность σ,
то F(xi , yi , zi )ni	Si -	количество жидкости, протекающей через элементарную
площадку Si	в единицу времени м3			или расход жидкости, ещё проще –
			с

поток жидкости. Тогда интегральная сумма – приближенное значение, а её предел – точное значение потока вектора F через всю поверхность.

Физический смысл поверхностного интеграла II рода – это есть количество жидкости, протекающей в единицу времени (расход, поток) через поверхность σ в направлении вектора n . Поэтому поверхностный интеграл II рода называют потоком векторного поля F через поверхность σ.

П = ∫∫F ndS .

112

Скалярное произведение векторов ( Fn ) образует скалярную функцию f (x, y, z) и тогда поверхностный интеграл II рода преобразуется в

поверхностный интеграл I рода.

3.5.2.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода

При определении потока вектора F через поверхность σ как правило задают: вектор F , поверхность σ (уравнение) и сторону двухсторонней поверхности. σ, через которую проходит поток. Последнее условие обычно кратко формулируется направлением единичного нормального вектора n к внутренней или внешней стороне поверхности σ: нормаль внутренняя или внешняя. От этого условия зависит знак потока вектора F , что отличает поверхностный интеграл II рода от поверхностного интеграла I рода.

Расчёт потока вектора сводится к вычислению двойного интеграла. Пусть векторное поле F = Fx (x, y, z)i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z)k. Поверхность

σ задана уравнением z = z(x, y) или ϕ(x, y, z)= z − z(x, y) = 0 .

Требуется найти поток П вектора F через поверхность σ, нормаль внешняя (внутренняя).

Воспользуемся формулами (3.11), приведёнными в 3.5.1.2, для единичного нормального вектора n к поверхности σ:

n= ± gradgradϕ = ±(cosαi + cos β j + cosγ k)

атакже формулами (3.12-3.15),устанавливающие связь направляющих косинусов cosα, cosβ, cosγ вектора n с элементами интегрирования dx, dy, dz, dS:

dxdy = cosγdS , dydz = cosαdS , dxdz = cos βdS .

(3.16)

Тогда поток П вектора F равен:

113

П = ∫∫F ndS = ∫∫(Fx (x, y, z)i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z)k)(±)(cosαi + cos β j + cosγ k)dS =

σσ

=±∫∫Fx (x, y, z) cosαdS + Fy (x, y, z) cos βdS + Fz (x, y, z) cosγdS =

= ±∫∫Fx (x, y, z)dydz + Fy (x, y, z)dxdz + Fz (x, y, z)dxdy.

По последнему виду интеграла поток вектора ещё называют поверхностным интегралом по координатам.

При расчёте потока вектора эту формулу нужно понимать так:


	∫∫Fx (x, y, z)dydz +∫∫Fy (x, y, z)dxdz + ∫∫Fz (x, y, z)dxdy			(3.17)

П = ∫∫F ndS = ±
σ	σ yz	σxz	σxy

Здесь σyz, σxz, σxy есть проекции поверхности σ на соответствующие координатные плоскости (рис. 3.30). Обязательным условием применения формулы (3.17) для расчёта потока вектора является однозначность проектирования поверхности σ на координатные плоскости.

Если это условие нарушается, нужно поверхность σ разделить на куски σ1, σ2,…σm, удовлетворяющие этому условию и расчёт потока вектора производить по каждому из этих кусков поверхности, а затем суммировать (см. введение, общее свойство 3).

Например, для расчёта потока вектора через поверхность S1 (рис. 3.29) по формуле (3.17) нужно данную поверхность разделить на 4 части (по октантам) и в каждой из них вычислить три двойных интеграла, т.е. всего требуется вычислить 12 интегралов.

При этом необходимо правильно выбрать знак + или – перед интегралом.

Ниже приводится формула, позволяющая, например, для данного случая (рис. 3.29) рассчитать поток вектора только по одному двойному

интегралу.
Перепишем формулы (3.16) в следующем виде:
dS =	dydz	, dS =	dxdz	, dS = dxdy .	(3.18)
	cosα		cos β
				cosγ

114

Подставим формулы (3.18) в общую формулу для потока вектора:

dydz

∫∫F n

cosα

σ yz

dxdz

(3.19)

П = ∫∫F ndS = ∫∫F n

cos β

σxz

dxdy

∫∫F n

cosγ

σxy

Это и есть необходимые для расчёта формулы.

Замечание. Элемент интегрирования dS есть площадь бесконечномалой элементарной площадки, которая всегда положительная. Чтобы сохранить это обстоятельство в расчётной формуле при замене dS на соответствующие элементы интегрирования dx, dy, dz (положительные бесконечно-малые длины) и направляющие косинусы cosα, cosβ, cosγ по формулам (3.18), данные косинусы должны быть взяты по модулю.

Правила расчёта потока вектора

• По условиям задачи построить чертёж (рисунок) поверхности σ и по нему определить координатную плоскость, на которую поверхность σ проектируется однозначно. Этим самым выбирается одна из трёх формул (3.19) и область интегрирования сформированного в дальнейшем двойного интеграла.

Если поверхность σ однозначно проектируется на несколько координатных плоскостей, то от выбора одной из них может зависеть эффективность (простота) расчёта. Иногда могут встретиться случаи, когда неудачный выбор координатной плоскости приводит к неберущемуся интегралу, а удачный выбор разрешает все проблемы.

•По заданному уравнению поверхности σ найти единичный,

нормальный вектор n к этой поверхности по формуле (3.11).

115

Здесь же определяются конкретные значения для направляющих косинусов, которые могут быть как числами, так и аналитическими выражениями.

• Определить знак + или – для единичного, нормального вектора n , найденного по формуле (3.11). Для чего:

По условию задачи (нормаль внешняя или внутренняя) на рисунке построить вектор n ;

По рисунку определить знак того направляющего косинуса, который находится в выбранной формуле (3.19). Угол (α, β или γ) этого

косинуса будет острым или тупым и сохраняться при перемещении вектора n по всей поверхности σ, а значит и знак этого косинуса будет сохраняться по всей этой поверхности;

Выбрать знак + или – перед аналитическим выражением вектора n (3.11) таким, чтобы знак направляющего косинуса, определённого в предыдущем пункте, совпадал со знаком этого косинуса в формуле для n .

•Подставить значения F и n в формулу (3.19), произвести скалярное перемножение этих векторов, привести интеграл к двойному интегралу и рассчитать его. Если в подынтегральном выражении встречается переменная, не участвующая в интегрировании, то её нужно выразить через переменные интегрирования, используя уравнение поверхности σ. При необходимости двойной интеграл можно вычислить в полярной системе координат.

3.5.2.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода

Поверхностный интеграл II рода непосредственно применяется для вычисления потока вектора, о чём говорилось в 3.5.2.1. В тоже время, в формулах Остроградского-Гаусса и Стокса он нашёл применение как в самом анализе, так и в его приложениях, в частности, в теории поля.

116

Отступая от традиционного изложения пособия, когда теоретические сведения давались в кратком виде, автор посчитал, что формулы Остроградского-Гаусса и Стокса необходимо дать в более развернутом виде, то есть доказать их, тем более, что в современной литературе эти доказательства несколько сокращены, недосказаны, а порой и непонятны студентам.

Ниже автор делает попытку доказать эти формулы с учетом этих обстоятельств.

Формула Остроградского-Гаусса (1828 г.)

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом II рода по замкнутому контуру и двойным интегралом по плоской области, ограниченной этим контуром.

Аналогично связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью, устанавливает формула Остроградского-Гаусса.

Рис. 3.31

117

Пусть в пространстве задана трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью δ, проецирующаяся на плоскость xOy в выпуклую (правильную) двухмерную область D (рис 3.31),

Положим, что δ= δ1+ δ 2+ δ3, где поверхность δ1:Z=f1(x;y), δ2:Z=f2(x;y),

δ3:Z=f3(x;y), причем поверхность δ3- цилиндр, образующая которой параллельна оси Оz.

В подынтегральное выражение поверхностного интеграла II рода

					_	_
				П= ∫∫F n ds входит векторная функция (поле)
				δ
				_		_		_	_
				F =	Fx (x, y, z) i + Fy (x, y, z) j+ Fz (x, y, z) k .
	Формально (без всяких объяснений и причин) преобразуем тройной
интеграл по области					V от функции ∂Fz (x, y, z)				к двойному интегралу по
							∂z
проекции D.
∫∫∫∂Fz (x, y, z)				dxdydz =∙│∙		выделим внутренний интеграл по z ∙│∙=
V	∂z
= ∫∫(	f ( x	, y)	∂Fz (x, y, z)dz)dxdy = ∙│∙ подынтегральное выражение внутреннего
= ∫∫(	2 ∫
D f1 ( x, y)				∂z
интеграла есть частный дифференциал функции Fz (x, y, z) по z∙│∙=
	f ( x, y)
= ∫∫(	2 ∫d z F (x, y, z))dxdy = ∫∫(Fz (x, y, z)						ff12((xx,,yy)) )dxdy =
= ∫∫(	2 ∫d z F (x, y, z))dxdy = ∫∫(Fz (x, y, z)						ff12((xx,,yy)) )dxdy =
D f1 ( x, y)						D
∫∫[Fz (x, y, f2 (x, y) − Fz (x, y, f1 (x, y))]dxdy =
D
∫∫[Fz (x, y, f2 (x, y))]dxdy − ∫∫[Fz (x, y, f1 (x, y))]dxdy =
D					D
=∙│∙Заменим область интегрирования D на соответствующие кривые
поверхности δ1 и δ 2∙│∙ =
	= ∫∫Fz (x, y, z)dxdy − ∫∫Fz (x, y, z)dxdy =
		δ2				δ1
=∙│∙	воспользуемся одной из формул (3.16)							dxdy = cos γds = cos(n, Oz)ds .Угол γ
есть угол между осью Оz и единичным нормальным вектором к
соответствующей кривой поверхности ∙│∙ =
	= ∫∫Fz (x, y, z) cos(n2 ,Oz)ds − ∫∫Fz (x, y, z) cos(n1,Oz)ds =
		δ2				δ1

118

=∙│∙ заметим что угол (n2 ,Oz) острый, значит его косинус положительный, и данное слагаемое знак не меняет по всей поверхности δ2 . Угол (n1 ,Oz) тупой, значит его косинус отрицательный, и второе слагаемое меняет знак.

Прибавим к этой сумме 0= ∫∫Fz (x, y, z) cos (n3 ,Oz)ds Этот 0 получается в

δ3

результате того, что угол (n3 ,Oz) - прямой всюду, а значит cos (n3 ,Oz) = 0 ∙│∙=

= ∫∫Fz (x, y, z) cos(n2 ,Oz)ds + ∫∫Fz (x, y, z) cos(n1,Oz)ds + ∫∫Fz (x, y, z) cos(n3 , z)ds =

δ2 δ1 δ3

=∙│∙ данная сумма означает интегрирование одной и той же функции

Fz (x, y, z) по замкнутой поверхности δ = δ1 +δ2 +δ3					∙│∙= ∫∫Fz (x, y, z) cos(		,Oz)ds.
Fz (x, y, z) по замкнутой поверхности δ = δ1 +δ2 +δ3					∙│∙= ∫∫Fz (x, y, z) cos(	n	,Oz)ds.
					δ
Итак ∫∫∫∂Fz (x, y, z)		= ∫∫Fz (x,y, z) cos(		,Oz)ds..
Итак ∫∫∫∂Fz (x, y, z)		= ∫∫Fz (x,y, z) cos(	n	,Oz)ds..
V	∂z	δ

Рассуждая аналогичным образом можно придти к формулам:


∫∫∫∂Fx (x, y, z)dxdydz = ∫∫Fx (x, y, z) cos(						,Ox)ds
				n
V	∂x	δ
∫∫∫	∂Fy (x, y, z)	dxdydz = ∫∫Fy (x, y, z) cos(			,Oy)ds .
			n
	∂y
V		δ

Складываем левые и правые части полученных формул.

∫∫∫(	∂F (x, y, z)	+	∂Fy (x,	y, z)	+	∂F (x, y, z)	)dxdydz =
	x					z
			∂y
V	∂x					∂z

= ∫∫[Fx cos(n,Ox) + Fy cos(n,Oy) + Fz cos(n,Oz)]ds .

Это развернутая формула Остроградского-Гаусса. Её можно переписать, автоматически понимая, что координаты векторной функции (поля) F есть скалярные функции трех переменных:

	∂F	∂Fy		∂F
∫∫∫(	x +		+	z )dxdydz = ∫∫Fxdydz + Fy dxdz + Fz dxdy .
∫∫∫(	x +	∂y	+	z )dxdydz = ∫∫Fxdydz + Fy dxdz + Fz dxdy .
V	∂x	∂y		∂z	δ

Здесь учтены формулы (3.16).

Видно, что в правой части сосредоточен поверхностный интеграл II родапоток вектора F через всю замкнутую поверхность δ.

119

Если

левой

части

формулы

выражение

∂F

∂Fy

∂F

= divF обозначить как

дивергенция

векторного

поля

F ,

то

∂y

∂x

∂z

формулу Остроградского-Гаусса можно записать сокращенно:

∫∫∫divF

= ∫∫Fnds .

Прокомментируем формулу Остроградского-Гаусса.

Формула

применяется при условии, что

векторная функция(поле)

должна быть непрерывна вместе с

= Fx (x, y, z)i

+ Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z)k

частными

производными первого

порядка от координатных функций в

пространственной области V, ограниченной замкнутой поверхностью δ.

Тогда тройной

интеграл от

дивергенции

векторного

поля

по

некоторому объему равен потоку вектораF через замкнутую поверхность, ограничивающую данный объем.

Формула Стокса (1854 г.)

Рис. 3.32

Пусть в трехмерном пространстве задан кусок непрерывной кривой поверхности δ, описываемой формулой z = z(x, y) . С – кривая,

120

ограничивающая поверхность δ. D = δxy – проекция поверхности δ на

плоскость xOy.

Г- проекция кривой С на плоскость xOy (рис 3.32) .

Прежде

чем

заставить

циркулировать

вектор

формулу

= Fx (x, y, z)i

+ Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z)k по контуру С и доказывать

Стокса, приведем два необходимых для этой цели предварительных сведения.

Сведение 1. В дифференциальном исчислении функции нескольких переменных существует формула полной производной.

Если θ =θ(x(t), y(t), z(t)), то θt' =

dθ

∂θ

∂θ dy

∂θ

∂x dt

∂y dt

∂z dt

Здесь используем частный случай формулы полной производной.

Если Fz = Fz (x, y, z) = Fz (x, y, z(x, y)), где x,y-

независимые переменные, а z

зависит

от

,y,

т.к. это уравнение

поверхности (z=z(x y)), то

(F )'

∂Fz

∂z =

z x

∂x

∂y dx

∂z ∂x

∙

= 0 -x,y- независимые переменные

∙

= │∙

=1;

│∙ =

∂Fz

∂z .

∂z

∂x

Аналогичные рассуждения относятся к другим функциям.

Fy = Fy (x, y, z); (Fy )'x =

∂Fy

∂z

∂Fy

∂z

;

∂x dx

∂y dx

∂z ∂x

∂x

∂z

∂x

Fx = Fx (x, y, z); (Fx )'y =

∂Fx

∂z

∂Fx

∂z

;

∂x dy

∂y dy

∂z ∂y

∂y

∂z ∂y

Fz = Fz (x, y, z(x, y)); (Fz )'y =

∂Fz

∂z

∂Fz

∂z

∂z ∂y

∂x dy

∂y dy

∂z ∂y

∂y

Обозначим все четыре необходимые в будущем формулы одной звездочкой.

Сведение 2. Уравнение поверхности Z=z(x,y) можно переписать в виде φ(x,y,z) =z-z(x,y)=0. Тогда можно определить единичный нормальный вектор

121

к этой поверхности как	n = ±	gradϕ		. Знак перед дробью выбираем +,
		/ gradϕ	/

используя направление циркуляции вектора по контуру С как показано на рисунке (3.32) , направление вектора n от внешней стороны поверхности δ и правило правого винта.

− ∂z

−

∂z

gradϕ

ϕx' i

+ϕy'

+ϕz' k

∂y

n =

∂x

i +

j +

k =

/ gradϕ

/ gradϕ /

/ gradϕ

/ gradϕ /

= cos(n,Ox)i

+ cos(n,Oy) j + cos(n,Oz)k .

Тогда направляющие косинусы будут выражаться:

∂z

−

∂z

− ∂x

cos(n,Ox) =

cos(n,Oy) =

∂y

cos(n,Oz) =

/ gradϕ /

С другой стороны, воспользуемся

еще

раз

формулами (3.16)

dxdy = cos γds = cos(n,Oz)ds ,

dydz = cosαds = cos(n, Ox)ds , dxdz = cos βds = cos(n, Oy)ds .

Откуда cos(n,Ox) =

dydz

, cos(n,Oy) =

dxdz

, cos(n,Oz) =

dxdy

Приравняем правые части для соответствующих равных левых частей:

−

∂z

−

∂z

dxdz

∂x

dydz

;

∂y

;

dxdy

/ gradϕ /

Последнее уравнение дает значение / gradϕ / = dxdyds , которое подставим

	∂z			−	∂z
	− ∂x					=	dxdz
в оставшиеся два уравнения:	− ∂x	= dydz	;		∂y	=	dxdz	; откуда
	ds	ds		ds			ds
	dxdy			dxdy

− ∂∂xz = dxdz , − ∂∂yz = dydz ** .

Обозначим эти необходимые формулы двумя звездочками ** .

Доказательство формулы Стокса.

122

Рассмотрим циркуляцию вектора

по контуру С:

Ц= ∫

Fdl = ∫ Fx (x, y, z)dx + Fy (x, y, z)dy + Fz (x, y, z)dz =

∙

∂z

По данной замене переменной z на переменные

│∙z = z(x, y); dz =

∂x dx

∂y

x и y

осуществляется переход циркуляции вектора

по плоскому контуру

Г∙│∙

= ∫Fx [x, y, f (x, y)]dx + Fy [x, y, f (x, y)]dy + Fz [x, y, f (x, y)](∂z dx +

∂z dy) =

∂x

∂y

∫[Fx (x, y, f (x, y)) + Fz

(x, y, f (x, y))

∂z]dx +[Fy (x, y, f (x, y)) + Fz (x, y, f (x, y))

∂z]dy =

∂x

∂Q

∂P)dxdy .

∂y

=∙│∙Напомним формулу Грина: ∫Pdx + Qdy = ∫∫(

−

∂x

∂y

Используем формулу Грина в интересах доказательства формулы

Стокса∙│∙ =

= ∫∫[(Fy (x, y, f (x, y)) + Fz (x, y, f (x, y))

∂z )'x −(Fx (x, y, f (x, y)) +

∂y

+F (x, y, f (x, y))

∂z )' ]dxdy =

∂x y

=∙│∙При дифференцировании функций Fx , Fy , Fz воспользуемся

формулами * ∙│∙ =

= ∫∫D (

∂Fy

∂Fy ∂z

∂F ∂z

∂F ∂z ∂z

∂2 z

∂F

−

∂F ∂z

∂F ∂z ∂z

∂x +

∂z ∂x

+ ∂x ∂y

+ ∂z ∂x ∂y

+ Fz ∂x∂y

− ∂y

∂z ∂y

− ∂y ∂x

− ∂z

∂x ∂y −

∂2 z

∂F

∂Fy

∂z

∂F

∂z

∂Fy

∂F

∙

− Fz

)dxdy

= ∫∫[(

z −

)(−

) +(

x −

z )(−

) +(

−

x )]dxdy = =

│∙ По

∂x∂y

∂z

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

формулам **, заменим частные производные на соответствующие отношения дифференциалов, при этом интегрирование по плоской области D нужно заменить на интегрирование по кривой области δ, т.к. появляется третья переменная z∙│∙ =

= ∫∫[(

∂F

∂Fy

∂F

∂Fy

∂F

)]dxdy

z −

)

x −

z )

−

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂F

∂Fy

∂F

∂Fy

∂F

= ∫∫(

−

)dydz +

(

−

z )dxdz + (

−

x )dxdy .

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

123

Получили развернутую формулу Стокса:

		∂F	∂Fy		∂F	∂F	∂Fy		∂F
∫Fx dx + Fy dy + Fz dz = ∫∫(		z −		)dydz + (	x −	z )dxdz + (		−	x )dxdy .
∫Fx dx + Fy dy + Fz dz = ∫∫(		z −	∂z	)dydz + (	x −	z )dxdz + (	∂x	−	x )dxdy .
c	δ	∂y	∂z		∂z	∂x	∂x		∂y

Ее можно записать в сокращенном виде.

Слеваизвестная развернутая формула циркуляции вектораF ,которую

сокращенно можно записать: Ц= ∫Fdl .

Интеграл справа можно представить как поток пока еще неопределенного вектора по поверхности δ.

Рассмотрим специальный вектор, называемый ротор (вихрь) вектора

, обозначаемый

сокращенном виде rotF

и представляемый

определителем III порядка:.

∂

, где первая строка определителя есть единичные

rotF

∂x

∂y

∂z

орты i ; j : k ; вторая строка – символические частные производные, в которых указано по какой переменной производится дифференцирование, без указания какая функция дифференцируется; третья строкакоординатные функции трех переменных исходного вектора(векторной функции, поля). Получить развернутую формулу rotF можно по правилу расчета определителя III порядка по элементам первой строки, при этом в соответствующих минорах второго порядка, вместо соответствующих диагональных произведений, нужно произвести частное дифференцирование соответствующей координатной функции вектора F (подставить в числитель частной производной недостающую функцию для дифференцирования).

124

Например, для обычного минора:

a11; a12

= a

− a a

;

a21; a22

∂

;

∂

∂F

∂Fy

для нашего минора:

∂y

∂z

−

∂y

∂z

Fy ; Fz

∂

;

∂

;

∂

;

∂

∂y

∂z

∂x

∂y

rotF

∂z

∂x

k =∙│∙во

втором

слагаемом

∂x ∂y ∂z

F ; F

Fz ; Fx

F ; F

∂F

∂Fy

∂F

∂Fy

∂F

∙

)i + (

учтен знак минора

│∙= (

−

) j

+ (

−

)k .

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

Единичный

нормальный

вектор

n к

поверхности

δ равен:

+ cos(n,Oy)

+ cos(n,Oz)k

n = cos(n,Ox)i

Умножим левую и правую часть на ds:

nds = cos(n,Ox)dsi

+ cos(n,Oy)dsj

+ cos(n,Oz)dsk

По формулам 3.16 :

dxdy = cos(n,Oz)ds ,

dydz = cos(n,Ox)ds ,

dxdz = cos(n, Oy)ds .

Тогда вектор nds = dydzi + dxdzj + dxdyk .

Если осуществить скалярное произведение векторов:

∂F

∂Fy

∂F

∂Fy

∂F

rotF

nds =[ (

−

)i + (

−

) j + (

−

)k ]

∂z

∂x

∂y

∂x

∂y

[ dydzi

+ dxdzj

+ dxdyk

∂Fy

= (

∂F

∂Fy

∂F

)dxdy , то получим

−

)dydz + (

−

)dxdz + (

−

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

подынтегральное выражение правой части развернутой формулы Стокса, а сама правая часть есть поток ротора вектора F через поверхность δ.

125

В сокращенном виде формула Стокса выглядит так:

Ц= ∫ Fdl = ∫∫rotFnds .

c δ

Циркуляция вектора F вдоль контура равна потоку ротора данного вектора через поверхность, натянутую на этот контур.

3.5.2.4. Типовые примеры решения поверхностных интегралов II рода

Пример 1. Вычислить поток векторного поля F через кривую поверхность тела V, заданного ограничивающими его поверхностями, нормаль внешняя.

F = 3xi −2 y j + zk ,

V : x2 + z2 = y2 , y =1, y = 4 .

σxz

Решение. Кривая поверхность тела

V (рис. 3.33) есть боковая поверхность

усечённого конуса σ. Она однозначно

проектируется на плоскость y = 0 в виде

Рис. 3.33

кольца. По формуле (3.19) определяем

расчётную формулу:

П = ∫∫F n

dxdz .

σxz

cos β

По формуле (3.11) определяем единичный нормальный вектор n

к поверхности σ:

x2 + z2

= y2 , y =

x2 + z2 ,ϕ = y −

x2 + z2 = 0, dradϕ = dϕ i + dϕ

j + dϕ k =

= −

2/ x

i + j

−

k, gradϕ =

+1+

2(x2 + z 2 )

= 2.

x2 + z2

+ z2

+ z

x2 + z2

126


	gradϕ					x					1			z
n = ±	gradϕ					x				i +	1	j +		z				k
			= ±	−															.
		ϕ			2(x	2	+ z	2	)		2		2(x	2	+ z	2	)
		ϕ				2		2			2			2		2
	grad

Выбираем знак «-» для вектора

. В формуле (3.19) для данного

случая стоит cosβ. В формуле (3.11) он имеет конкретное значение: cosβ=

со знаком «+» . Но на рисунке 3.33 вектор

и ось Oy составляют тупой угол,

значит cos β

отрицательный. Чтобы привести cosβ

в формуле (3.11) в

соответствие с рис.3.33, вектор

нужно взять со знаком «-».

Окончательно: n =

i −

j +

2(x2 + z 2 )

2(x2 + z2 )

Формируем расчётный интеграл.

dxdz

П = ∫∫F ndS = ∫∫F n

= ∫∫(3xi −

2 y j + zk )

i −

j +

2/(x

)

2/(x

)

σxz

cos β

σxz

+ z

= σ∫∫xz

+ 2 y +

dxdz =

σ∫∫xz

+ 2

+ z

dxdz =

(x2 + z2 )

2(x

+ z

) + z

+3z

= ∫∫

+ z

dxdz = ∫∫

+ z

dxdz =

σxz

= ∙│∙ σ xz −есть кольцо: внутренняя окружность r1 = 1, внешняя окружность

r2= 4. Перейдём к полярным координатам: x = rcosφ, z = rsinφ, 0≤φ≤2π, 1≤r≤4,

dxdy == rdrdφ ∙│∙ =

4 r 2 (2 cos2 ϕ + 3)

2π

4 5r 2 cos2 ϕ +3r 2 sin 2 ϕ

2π

= ∫ dϕ∫

rdr = ∫ dϕ∫

rdr

r 2 cos

2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ

2π

+ cos 2ϕ

2π

−

= ∫

(2 cos2 ϕ + 3)dϕ∫r

2 dr = ∫

+3 dϕ

= ∫

(4 + cos 2ϕ)dϕ

2π

504

4ϕ

sin 2ϕ

4ϕ

π.

Пример 2. Даны векторное поле F и плоскость p, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть σ – основание

127

пирамиды, принадлежащее плоскости p, λ – контур ограничивающий σ.

Вычислить:

а) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды

в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно;

б) тот же поток с использованием формулы Остроградского;

в) циркуляцию

векторного

поля

по замкнутому контуру λ

непосредственно;

г) ту же циркуляцию – с использованием формулы Стокса.

F = (2z-3x-4y) j , p = 4z-3x-4y-4 = 0.

Решение.

C 1

2а) Поток векторного

поля

F через

nABC

полную поверхность пирамиды V (рис. 3.34),

имеющей 4 грани равен сумме потоков через

nAOC

nBOC

эти грани:

nAOB

П = ∫∫F ndS =

∫∫

+ ∫∫ + ∫∫ + ∫∫

DBC

AOC

AOB

BOC

Рис. 3.34

∫∫ FnABC dS =∙│∙ поверхность

АВС однозначно проектируется на все

ABC

координатные плоскости, поэтому можно выбрать любую из трёх формул

(3.19). Пусть dS = cosdxdyγ

∙│∙ =

= ∫∫

F n ABC

dxdy

∙

n ABC = ±

grad p

−3i −4 j + 4k

cosγ

│∙

grad p

= ±

+ 4

Выбираем знак «+»

AOB

3 + 4

в формуле для

n ABC , так как в этом случае cosγ =

> 0

в формуле и cosγ

- острый ).

также >0 в соответствии с рис.3. 34 ( угол γ = nABC Oz

∙

nABC = − 41 i −

41 j +

41 k

│∙ =

128

																								3								4											4								dxdy																													4					dx4dy
																								3								4											4								dxdy																													4					dx4dy
= ∫∫ (2z −3x − 4 y)j																					−							i −							j +													k										= ∫∫ (2z −3x −																4 y) −																			=
= ∫∫ (2z −3x − 4 y)j																					−			41				i −				41			j +								41					k							4			= ∫∫ (2z −3x −																4 y) −						41								4					=
		AOB																																																					4				ΔΑΟΒ																													4
		AOB																																																					41				ΔΑΟΒ																													41
																																																							41																																	41
						=			∫∫			(3x + 4 y −2z)dxdy = •																						• уравнение плоскости																																				ABC : z =									4 + 3x + 4 y													•		• =
																																																																															4 + 3x + 4 y

								ΔΑΟΒ																																																																													4
	ΔΑΟΒ∫∫																				3																								3
=	ΔΑΟΒ∫∫																				4		x + y																ΔΑΟΒ∫∫ 2												x			+ 2 y				−	2
=						3x + 4 y −2											1+						x + y						dxdy =																						x			+ 2 y				−	2	dxdy =
=		•	• AB : y =										−3x −4							, AO : y = 0•												•				0									0				3						x + 2 y −2														0				3					xy + y				2									0		=
																																																																																											0


																																= ∫ dx ∫																																dy = ∫ dx																				−2 y
																4																			−		4						−3x−4										2																−	4			2																	−3x			−4
																																																																																											4
																																					3								4																									3																					4
																																					3								4																									3
	0					3								−3x				−	4								−3x −4 2																										−3x −4
=		∫					x			0 −												+0 −														−							2			0			−										dx =
=						2	x			0 −						4						+0 −									4					−							2			0			−						4				dx =
						2										4															4																								4
	−4		3
			3
	0					9			2			3					9				2			3								3																					0		9				2			3															9 x3						3			2								0
	0					9			2			3					9				2			3								3																					0		9				2			3															9 x3						3			2								0
=							x			+				x −						x		−				x −1−							x −2								dx =																	x		−					x −3				dx =											−					x		−3x							=
=						8	x			+		2		x −			16			x		−		2		x −1−						2	x −2								dx =																	x		−		2			x −3				dx =							16 3				−			4		x		−3x							=
	−4∫/ 3					8						2					16							2								2																		−4∫/ 3 16												2														16 3							4											−4 / 3
	3								64						3						16											4										20
=				0 +									−			0			−				−3								0 −					= −										.
=	16			0 +									−			0			−		9		−3								0 −	3				= −							9			.
	16								27						4						9											3											9
							∫∫						AOC dS = •											AOC проектируется сам на себя, поэтому
											F	n	AOC dS = •									•		AOC проектируется сам на себя, поэтому
																						•
						AOC
						dS =						dxdz						, n					=				, cos β =1
																																						∙│ =
																									j											•
																									j
												cos β								AOC																						∙
												cos β								AOC
						= ∫∫ (2z −3x −4 y)																								jdxdz = ∫∫ (2z −3x −4 y)dxdz = •																																					• y = 0, AC : z =														4 +3x								•		=
																																																																																									•
																									j
																									j
								AOC																											AOC																																																		4			•
								AOC				4+3x																							AOC																																																		4
							0					4+3x																			0						2															4+3x						0			4 +3x									2						4 +3x
														4		(2z			−3x)dz =														(				2										)														4 +3x															4 +3x
														4
							∫			dx			∫																		∫	dx			z					−3xz										0				4 =				∫													−3x																	=
										dx																						dx			z					−3xz														4 =											4						−3x					4								dx				=
						−4 / 3								0															−4 / 3																												−4 / 3								4											4
						−4 / 3								0															−4 / 3																												−4 / 3
							0							3					27				2										3							2					9							3				0			4					3				16					9 43							4
							0							3					27				2										3							2					9							3				0			4					3				16					9 43							4
										1		−				x	−					x		dx = x −													x					−							x									=			−					−					−							3 =					.
										1		−		2		x	−		16			x		dx = x −									4				x					−		16					x									=	3		−					−					−							3 =		3			.
						−4∫/ 3								2					16														4											16												−4 / 3			3					4					9				16 3							3
					nAOB ds = •													AOB проектируется сам на себя,																																															AOB = −										,cosγ = −1∙│∙ =
																																																															n									k
∫∫ F																•
∫∫ F																•
AOB

∫∫(2z − 3x − 4 y)j (− k )ds = 0

AOB

∫∫

BOC dS = • •

BOC =

• • =

∫∫(2z − 3x − 4 y)

dS = 0

BOC

129

			П = ∫∫									nS = −				20	+		4		= −				8		.
										F						20			4						8
										F								3						9
														9				3						9
		2б) по формуле Остроградского: П = ∫∫
		2б) по формуле Остроградского: П = ∫∫																																																F	nds = ∫∫∫divFdV.
																																														σ											V
												divF			= ∂Fx +						∂Fy					+			∂Fz						= 0 +							∂			(2z −3x −4 y) +O = −4.
																					∂Fy								∂Fz													∂
																						∂y								∂z												∂y
																∂x						∂y								∂z												∂y
																							0							0					1+		3		x+y														0						0					1+	3	x+y
																																					3
																																					4
																																					4
П = ∫∫∫(−4)dv = −4∫∫∫dxdydz = −4 ∫																										dx				∫				dy				∫					dz = −4 ∫ dx																∫		dyz			4				=
	ν												V									−4		3					−	3	x−1						0															−	4	3			−	3		x−1				0
= −4 ∫0		dx ∫0									3 x + y)dy = −4 ∫0																			4		3 xy +								y2						0												4
								(1+															dx( y +																				)									=



	−43				3						4											4										4									2					3			x−1
				−		x−1															−																									−
																																															4
					4																	3																									4
					4																	3
= −4 ∫0		(3 x +1+ 3 x(												3 x +1) −				1		(−		3 x −1)2 )dx = −4 ∫0																							(			3 x +1+								9				x2	+		3 x −				9	x2 − 3 x −				1)dx =
= −4 ∫0		(3 x +1+ 3 x(												3 x +1) −						(−		3 x −1)2 )dx = −4 ∫0																							(			3 x +1+												x2	+		3 x −					x2 − 3 x −				1)dx =
	−4 3		4						4 4									2 4																								−4 3						4								16							4				32			4		2
0		1		3					9									1					3									3						0														1			4			3				16					3		64		8
0																																						0
−4 ∫ (													2															2							3
			+				x +					x		)dx = −4(						x +						x			+						x	)								= −4												+				−				+						= −			.
		2	+	4			x +		32			x		)dx = −4(				2		x +			8			x			+		32				x	)								= −4								2			3	+				−			9	+			32		27	= −	9		.
−4	3	2		4					32									2					8								32								−4 3													2			3			8					9				32		27		9
		Ответы 2а и 2б совпали.
		2в)						Циркуляция											вектора																				вдоль													контура-треугольника																					ABC
		2в)						Циркуляция											вектора														F						вдоль													контура-треугольника																					ABC

(рис.3.34) непосредственно вычисляется:

Ц = ∫F dl = ∫F dl = ∫F dl + ∫F dl + ∫F dl.

l ABCA AB BC CA

∫

•

= (2z −3x − 4y)

= dxi

+ dyj

+ dzk

•

= ∫(2z −3x −4 y)j (dxi + dyj + dzk )=

= ∫(2z −3x − 4 y)dy=•			• AB : 3x + 4 y + 4 = 0, z = 0•	• =
= ∫(2z −3x − 4 y)dy=•			• AB : 3x + 4 y + 4 = 0, z = 0•	• =
AB
= −∫14dy = 4 y	−1	= −4.
= −∫14dy = 4 y	−1	= −4.
0	0

130

∫			= ∫(2z −3x −4 y)dy=•	•BC : z − y −1 = 0, x = 0•	• =
		dl
	F
BC			BC

= ∫0 (2( y +1) − 4 y)dy = ∫0 (2 − 2 y)dy =(2 y − y2 )					0	= −(−2 −1) = 3.
−1			−1		−1
∫			= ∫(2z −3x −4 y)dy=•	•CA : 4x −3x −4 = 0, y = 0, dy = 0•			• = 0
		dl
	F
CA			CA

Ц = Fdl = −4 + 3 = −1.

2г) По формуле Стокса: Ц = ∫l F dl = ∫∫rotFndS.

λσ

∂

= −

∂

(2z − 3x − 4 y)

+ 0

∂

(2z − 3x − 4 y)

= −2

− 3

rotF

∂x

∂y

∂z

∂x

2z − 3x − 4 y

В формуле Стокса направление циркуляции вектора F и направление вектора n должны соответствовать правилу винта. В нашем случае вектор n должен быть по внешней нормали. Натянутая на контур λ поверхность есть плоский АВС.

Ц = ∫∫

nds =

nABC ds = •

• Воспользуемся случаем 2а:

ds =

dxdy

rotF

∫∫ rotF

cosγ

ABC

•

dxdy

nABC

= −

i −

k•

∫∫ (−2i

−3k )

−

i −

j +

AOB

= ∫∫

∫∫

dxdy =

•

• AB : y = −

−1, AO : y = 0•

•

dy =

−

dxdy = −

= −

∫

AOB 4

AOB

−4 3

−

−1

3 0

3 3

= −

dxy

= −

x +1 dx = −

+ x

= −

−

= −1.

2 −∫4 3

−

x−1

2 −∫4 3 4

−4 3

2 8

Ответы 2в и 2г совпали.

131

z			Пример 3. Поверхность тела образована
1 C			цилиндрическим параболоидом P и координатными
			плоскостями. Найти:
0		B	а)	циркуляцию			вектора	F	вдоль	контура,
	1	y
A			образованного			пересечением			цилиндрического

x1			параболоида		с	координатными			плоскостями
Рис. 3.35
			непосредственно;

б) ту же циркуляцию – с помощью формулы Стокса;
в)	поток векторного			поля	F	через	полную	поверхность		тела в

направлении внешней нормали непосредственно; г) тот же поток с помощью формулы Остроградского.

F = (5x + y 2 − 2z)i + (x −3y − z 2 )j + (x2 + 2 y − z)k .

p : y 2 =1 − x − z.

Решение. а) Непосредственным образом циркуляция вектора F по полученному контуру (рис.3.35) равна:

Ц = ∫Fdl = ∫Fdl = ∫Fdl + ∫Fdl + ∫Fdl .

ABCA

∫

Fdl = ∫[(5x + y 2

− 2z)i

+ (x − 3y − z 2 )

+ (x2 + 2 y − z)k

](dxi

+ dyj

+ dzk

∫(5x + y 2 − 2z)dx + (x − 3y − z 2 )dy + (x2 + 2 y − z)dz =

132

=•		• z = 0, dz = 0, AB : x =1 − y 2 , dx = −2 ydy •																									•			= ∫1 [5(1 − y 2 )+ y 2 ](− 2 y)dy + (1 − y 2																											− 3y)dy =
=•																											•																														− 3y)dy =

																																0
1																				1																							13						1									1
1											3						2			1								2							3								13				2		1			3				4		1
= ∫		(−10 y +						8y				+1 − y						− 3y)dy =∫(1 −13y − y													+ 8y					)dy			= y −							y		−			y		+ 2 y							=
= ∫		(−10 y +						8y				+1 − y						− 3y)dy =∫(1 −13y − y													+ 8y					)dy			= y −				2			y		−	3		y		+ 2 y							=
0																				0																							2						3									0
=1 −			13		−		1	+ 2				= −	23			.
=1 −					−			+ 2				= −				.
		2			3									6
∫							(5x + y 2 − 2z)dx + (x − 3y − z 2 )dy +																				(x2						+ 2 y − z)dz =
∫	Fdl = ∫						(5x + y 2 − 2z)dx + (x − 3y − z 2 )dy +																				(x2						+ 2 y − z)dz =
BC					BC																										= ∫1 [− 3y − (1 − y 2 )2 ]dy + (2 y −1 + y 2 )(− 2 y)dy =
=•		• x = 0, dx = 0, BC : z =1 − y 2 , dz = −2 ydy •																									•
=•																											•

																																0
= ∫1 [− 3y −1 + 2 y 2 − y 4 − 4 y 2 + 2 y − 2 y3 ]dy = ∫1 (−1 − y − 2 y 2 − 2 y3 − y 4 )dy =
0																										0
1										2				3					4		1		2		2					3				1			4		1		5			1					1			2			1		1				43
1										2				3					4		1		2		2					3				1			4		1		5			1					1			2			1		1				43
= ∫		(1 + y + 2 y										+ 2 y			+ y					)dy = y +		y		+			y					+			y			+		y				=1 +							+			+		+			=				.
= ∫		(1 + y + 2 y										+ 2 y			+ y					)dy = y +	2	y		+	3		y					+		2	y			+	5	y				=1 +					2		+	3		+	2	+	5		=		15		.
0																					2				3									2					5					0					2			3			2		5				15
					∫				= ∫(5x + y 2											− 2z)dx + (x − 3y − z 2 )dy + (x2																		+ 2 y − z)dz =



						Fdl
				CA								CA
				=•			• y = 0, dy = 0, CA : z =1 − x, dz = −dx •																										• = ∫1 [5x − 2(1 − x)]dx + (x2 −1 + x)(− dx)=
				=•

																																			0
					1										2					1									2													2			1			3		1								1				5
					1										2					1									2													2			1			3		1								1				5
				= ∫			(7x − 2 − x										+1			− x)dx = ∫(−1 + x − x											)dx =					− x +				3x				−			x				= −1 + 3 −									=			.
				= ∫			(7x − 2 − x										+1			− x)dx = ∫(−1 + x − x											)dx =					− x +				3x				−	3		x				= −1 + 3 −							3		=		3	.
					0															0																									3					0								3				3

Ц = ∫Fdl = − 236 + 1543 + 53 = 3021 .

б) По формуле Стокса циркуляция вектора равна:

Ц = ∫Fdl = ∫∫rotFndS.

Поверхность σ однозначно проектируется на все три координатные плоскости, поэтому можно для расчета вектора выбрать любую из трех формул (3.19). При этом расчет потока вектора будет значительно проще, если проектировать σ на плоскости z = 0 или x = 0 и этот расчет усложняется, если проектировать σ на плоскость y = 0.

Пусть поверхность σ спроектирована на плоскость x = 0. Тогда:

Ц = ∫

dydz

Fdl = ∫∫rotFndS = ∫∫rotFn

cosα

σ yz

133

∂

rotF =

= (2

+ 2z)i − (2

+ 2x)j + (1 − 2 y)k .

∂x

∂y

∂z

5x + y 2 − 2z x − 3y − z 2 x2 + 2 y − z

Поверхность σ

- это

поверхность цилиндра

y 2 =1 − x − z. Найдем

единичный нормальный вектор к этой поверхности.

grad

ϕ = x + y 2 + z −1, n = ±

= ±

+ 2 yj + k

grad

2 + 4 y 2

Циркуляция вектора

происходит по контуру ABCA (рис.3.35), на

который натянута поверхность σ . Направление циркуляции вектора F по правилу винта связано с направлением вектора n к поверхности σ . В данном случае это внешняя нормаль, которая составляет острые углы со всеми координатными осями. Направляющие косинусы положительные. В формуле для n все направляющие косинусы также положительные. Значит знак единичного нормального вектора n должен быть «+».

							dydz																									i + 2 y			j	+		k				dydz

														∫∫[(2 + 2z)i − (2 + 2x)j + (1 − 2 y)k]
Ц = ∫∫rotFn												=																																				=
						cosα																											2 +		4 y		2						1
																																					2
σ yz														BJC
σ yz														BJC																											2 + 4 y2
																																									2 + 4 y2
= ∫∫(2 + 2z − 4 y − 4xy +1 − 2 y)dydz=•																								•σ : x =1 − z − y 2 , BC : z =1 − y2																		•		•	=
																																												•	=

BOC
1	1−y	2																					1		1−y2
= ∫dy ∫		[3 + 2z − 6 y − 4 y(1 − z − y2 )]dz =∫dy																								∫(3 + 2z −10 y + 4 yz + 4 y3 )dz =
0	0																						0		0
= ∫1 dy[(3 −10 y + 4 y3 )z + z 2 + 2 yz 2 ]																						1−y2	=
0																						0
= ∫1 [(3 −10 y +10 y3 )(1 − y 2 )+1 − 2 y2 + y4 + 2 y − 4 y3 + 2 y5 ]dy =
0
= ∫1 (3 −10 y + 4 y3 −3y 2 +10 y3 − 4 y5 +1 − 2 y 2 + y 4 + 2 y − 4 y3 + 2 y5 )dy =
0
1																													5				5				1						1				1
1								2						3			4			5							2		5		3		5		4		1			5			1			6	1
= ∫(4 −8y −5y									+10 y						+ y				− 2 y		)dy = 4 y				− 4 y			−		y		+		y		+			y		−				y		=
= ∫(4 −8y −5y									+10 y						+ y				− 2 y		)dy = 4 y				− 4 y			−	3	y		+	2	y		+	5		y		−		3		y		=
0																													3				2				5						3				0
= 4 −	4 −		5	+	5			+		1	−		1	=		21		.
= 4 −	4 −			+	2			+	5		−	3		=		30		.
		3			2				5			3				30

Как и следовало ожидать, результаты совпали.

134

в) Поток векторного поля F через полную поверхность тела:

П = ∫∫F ndS = ∫∫ F ndS + ∫∫F ndS + ∫∫ F ndS + ∫∫F ndS.

ABC

AOB

BOC

AOC

i + 2 y

grad

∫∫FnABC dS.

p : y

=1− x − z,ϕ = x + y

+ z −1, nABC = ±

= ±

gradϕ

2 + 4 y

ABC

Выбираем перед формулой для nABC знак «+», т.к. вектор nABC с

любой координатной осью составляет острый угол, а значит, любой направляющий косинус – положительный. Поверхность АВС однозначно проектируется на любую координатную плоскость. Поэтому можно выбрать

любую из трёх расчётных формул (3.19). Но формула для				cos β =	2 y
					+ 4 y2
				2
сложнее, чем для cosα = cosγ =	1	,	что в дальнейшем приведёт к
	+ 4 y2
2

«осложнениям» в расчёте потока вектора. Выбираем проекцию поверхности АВС на плоскость z = 0 и это будет плоская область АОВ.

135

∫∫

nABC dS = ∫∫

nABC

dxdy

cosγ

ABC

AOB

i + 2y

dxdy

= ∫∫[(5x + y − 2z)i + (x − 3y − z )j + (x + 2y − z)k]

2 + 4y

AOB

2 + 4y2

= ∫∫(5x + y 2

+ 2y − z)dxdy=•

− 2z + 2xy − 6y2

− 2yz2

+ x2

• z =1 − x − y2

•

• =

= AOB∫∫[5x + 2y − 5y2 + 2xy −3(1 − x − y 2 )− 2y(1 − x − y2 )2 + x2 ]dxdy =

=AOB∫∫(5x + 2y − 5y2 + x2 + 2xy − 3 + 3x + 3y2 − 2y − 2yx2 − 2y5 + 4xy + 4y3 − 4xy3 )dxdy =

AOB

11−y2

•AB : x =1 − y2 • • = ∫dy ∫(− 3 + 8x + x2 − 2y 2 + 6xy − 2yx2 + 4y3 − 4xy3 − 2y5 )dx =

												0				0
1							2				3					5		1−y2				2				1		3				2		2
1							2				3					5		1−y2				2				1		3				2		2
= ∫dy (−3 − 2y								+	4y			−		2y			)x		+	4x			+				x		+		3x		y −
= ∫dy (−3 − 2y								+	4y			−		2y			)x		+	4x			+			3	x		+		3x		y −	3
0																			0							3								3
																													1

1	(− 3 − 2y 2					+ 4y3 − 2y5 )(1 − y2 )+ 4(1 − y2 )2 +																								(1 − y2 )3				+
1	(− 3 − 2y 2					+ 4y3 − 2y5 )(1 − y2 )+ 4(1 − y2 )2 +																								(1 − y2 )3				+
= ∫			3	(1 − y			2	2																					3
0			3				2	2
	− 2y							)
1		−3 − 2y			2	+ 4y			3	− 2y				5	+ 3y			2	+ 2y	4	− 4y				5	+ 2y				7	+ 4 −8y				2
					2				3					5				2		4					5					7					2
= ∫						3 + 3y5 −							2	y + 2y3 − 2y5									2	y7 − 2y3 + 4y5
0 + 3y − 6y													2								+		2											−
0 + 3y − 6y												3									+		3											−
												3											3

− 2x

1−y2

3y(1 − y2 )2 −

y(1 − y2 )3

−

dy =

+ 4y4 +

− y2 + y 4 −

y6 +

dy =

2y7

	1			4						7														2							3					4							5					1					6					2					7
= ∫								+							y		−			8y					−		2y					+ 7 y						− y							−						y			+							y			dy =
= ∫								+							y		−			8y					−		2y					+ 7 y						− y							−						y			+							y			dy =
	0			3						3																																						3										3
=				4			y +			7					y		2			−		8			y	3	−			1		y	4	+		7			y		5		−				1		y		6		−				1				y	7		+		1		y		8		1		=
				4						7							2					8				3				1			4			7					5						1				6						1					7				1				8		1

				3						6												3								2						5											6									21										12
				3						6												3								2						5											6									21										12						0
=		4			+			7	−				8			−			1			+			7		−		1		−		1		+			1				=			253					.
=	3				+			6	−			3				−			2			+			5		−		6		−		21		+		12					=								.
	3							6				3							2						5				6				21				12							420																																													](−
∫∫						nAOBdS=•														• nAOB = −												, z =0 •								•		= ∫∫[(5x + y2																			− 2z)i + (x −3y − z 2 )																		+ (x2				+ 2y − z)								)dxdy =
			F																												k																																															j										k		k
			F

AOB																																												AOB
																																																						1						1−y2															1					1							1−y2
										2																		•																		2			•					1						1−y2							2								1							3					1−y2
										2																		•																		2			•																		2															3
= ∫∫(− x														− 2y)dxdy=																• AB: x =1 − y																	•					= ∫dy ∫(− x																− 2y)dx =∫dy											−		x		− 2yx				=
= ∫∫(− x														− 2y)dxdy=																• AB: x =1 − y																	•					= ∫dy ∫(− x																− 2y)dx =∫dy											−	3	x		− 2yx				=
		AOB																																																				0							0														0					3							0
	1							1										2	3												2							1						1											2									4				6								3
= ∫				−					(1			− y							)			2y(1 − y										)dy = ∫								−							(1		−3y									+3y							− y				)− 2y + 2y								dy =
= ∫				−				3	(1			− y							)			2y(1 − y										)dy = ∫								−				3			(1		−3y									+3y							− y				)− 2y + 2y								dy =
	0							3																														0						3
	1							1																			1																														1							1						1					1									1			1
	1							1								2							4				1				6												3														1							1			3			1			5		1			7			2			1		4	1
= ∫				−					+ y									− y							+				y			− 2y + 2y												dy =										−					y +							y		−			y			+		y			− y			+			y		=
= ∫				−				3	+ y									− y							+		3		y			− 2y + 2y												dy =										−			3		y +					3		y		−		5	y			+	21	y			− y			+		2	y		=
	0							3																			3																														3							3						5					21									2			0
= −					1		+		1		−					1		+			1				−1 +					1		= −			137					.

					3				3						5															2
					3				3						5				21											2					210

136

∫∫

nBOC dS =•

• nBOC

= −i, x = 0 •

• =

BOC

= ∫∫[(5x + y 2 −2z)i +(x −3y − z 2 )

+(x 2 + 2 y − z)

](−i)dydz =

BOC

1−y2

1−y

= ∫∫(2z − y 2 )dydz=•

• BC : z =1− y 2

•

= ∫dy

∫(2z − y 2 )dz =∫dy(z 2 − y 2 z)

BOC

= ∫1 [(1− y 2 )2 − y 2 (1− y 2 )]dy = ∫1 (1−2 y 2 + y 4 − y 2 + y 4 )dy = ∫1 (1−3y 3 + 2 y 4 )dy =

= y − y

=1−1+

∫∫

nAOC dS=•

• nAOC = −

, y = 0 •

•

= ∫∫[(5x + y2 − 2z)i + (x − 3y − z 2 )

+ (x2

+ 2y − z)

](−

)dxdz =

AOC

					2								•							•		1					1−x					2					1	1		3		1−x
					2								•							•												2						1		3
= ∫∫(z						− x)dxdz=								• AC		: z =1		− x •			= ∫dx ∫								(z				− x)dz =∫dx						z		− xz	=
= ∫∫(z						− x)dxdz=								• AC		: z =1		− x •			= ∫dx ∫								(z				− x)dz =∫dx					3	z		− xz	=
	AOC																					0						0									0	3				0
	1		1						3								1	1					2					1			3					2		1		1			2
= ∫				(1		− x)				− x(1 − x) dx = ∫									− x		+ x				−					x			− x + x				dx = ∫				− 2x	+ 2x		−
= ∫			3	(1		− x)				− x(1 − x) dx = ∫								3	− x		+ x				−			3		x			− x + x				dx = ∫			3	− 2x	+ 2x		−
	0		3														0	3										3										0		3
	1		x − x				2			2	x	3		1	y	4	1	1				2						1						1
	1						2			2		3		1		4	1	1				2						1						1
=								+					−				=		−1		+			−						= −					.
=		3						+		3			−	12			=	3	−1		+	3		−		12				= −				12	.
		3								3				12			0	3				3				12								12

П = 420253 − 137210 + 52 −121 = 112420 = 154 .

г) Определим тот же поток по формуле Остроградского:

div

∂

(5x + y2 −

2z)+

∂

(x −3y − z2 )+

∂

(x2 + 2 y − z)= 5 −3 −1 =1.

∂x

∂y

∂z

1− y 2

1−x− y 2

1− y 2

1−x− y

1− y 2

П = ∫∫∫dV = ∫dy ∫dx ∫dz = ∫dy ∫dxz

= ∫dy ∫(1 − x − y2 )dx =

13 x3 dx =

П = ∫∫∫divFdV.

	1							1		2				2				1− y 2				1						2		1			2	2			2						2
= ∫dy x −									x			− y			x							= ∫		1	− y				−		(1	− y		) − y				(1		− y				) dy =
= ∫dy x −								2	x			− y			x							= ∫		1	− y				−	2	(1	− y		) − y				(1		− y				) dy =
	0							2											0			0								2
	1					2			1				2				1				4		2			4					1	1			2		1				4				1		1		3		1		5	1
	1					2			1				2				1				4		2			4					1	1			2		1				4				1		1		3		1		5	1
= ∫ 1			− y					−			+ y			−						y		− y		+ y			dy			= ∫			− y			+			y			dy =				y −		y		+		y		=
= ∫ 1			− y					−	2		+ y			−			2			y		− y		+ y			dy			= ∫			− y			+	2		y			dy =			2	y −	3	y		+	10	y		=
	0								2								2														0	2					2								2		3				10			0
=	1	−		1	+			1	=			8		=			4			.
=	2	−	3		+		10		=			30		=		15				.
	2		3				10					30				15

Ответы потоков через полную поверхность совпали.

137

Пример 4. Даны векторное поле F

две

поверхности,

образующие

пространственное

тело

z = 2y

ограниченное

замкнутой

поверхностью

σ .

z = x2+ y2

Вычислить: а) поток векторного поля

через

полную поверхность σ

тела (нормаль внешняя); б)

тот

же

поток

–

использованием

формулы

Остроградского;

в)

циркуляцию

вектора

по

замкнутому

контуруγ ,

образованного

при

Рис. 3.36

пересечении данных поверхностей; г) ту же

циркуляцию – с использованием формулы Стокса

F = (3x − y − z)i + 3yj + 2zk ,

σ1 : z = x2 + y2 ,σ2 : z = 2 y.

Решение.

4а) Поток векторного поля F

через полную поверхность σ

равен сумме потоков через обе поверхности:

П = ∫∫FndS = ∫∫Fn1dS + ∫∫Fn2 dS,

σ1

σ2

где σ1 - поверхность z = x2 + y2, или ϕ1 = x2 + y2 − z = 0 - параболоид вращения ,

σ2 - поверхность z = 2y, или ϕ2 = 2 y − z = 0 - плоскость (рис. 3.36). Обе поверхности однозначно проектируются на плоскость z = 0. Поэтому оба

потока через σ1 и σ2

вычислим по одной и той же формуле (3.19), у которой

ds =

dxdy

cosγ

dxdy

•

grad

2xi

+ 2 yj

− k

. Для

выбираем

∫∫Fn1ds = ∫∫

Fn1

• n1

= ±

cosγ

gradϕ1

+ 4 y

σ1

σxy

знак

«+».

Это

приводит

соответствие

знак

cosγ = −

< 0 ,определяемого по формуле для n , со знаком того

+ 4 y2

4x2

жеcos γ < 0 ,

определяемого

по

рис.3.36.

На

рис.3.36

видно,

что по всей

поверхности

угол

( n ^ Oz) = γ -тупой,

значит

cos γ < 0

•

• =

138

dxdy

2xi

+ 2 yj

− k

= ∫∫ (3x − y − z)i + 3yj + 2zk

σxy

+ 4 y

4x2 + 4 y2

− z)2x + 6y

−

− 2xy − 2xz + 6y

− 2z)dxdy =

•

• z = x

•

= ∫∫ (3x − y

2z dxdy = ∫∫(6x

+ y •

σчн

− 2xy − 2x(x

+ y

) + 6 y

σxy

+ y

))dxdy =

∫∫ 4(x

+ y

) − 2xy −

2x(x

+ y

) dxdy =

= ∫∫(6x

− 2(x

σxy

При

пересечении

поверхностей

образуется

кривая –

σ1

σ 2

пространственный эллипс (рис.3.36), проекция которой на плоскость z=0 есть

окружность. Это значит, что обе поверхности σ1 и σ 2 имеют одну и ту же проекцию σ xy в виде круга.

Выведем уравнение этой окружности:

z = x2 + y 2 , z = 2 y, x2 + y 2 = 2 y, x2 + (y −1)2 =1

Это уравнение окружности, смещенной вправо на 1, с радиусом

равным 1.

Для

вычисления

потока поля

перейдем к полярной

системе

координат. Уравнение окружности примет вид:

x = r cosϕ, y = r sinϕ, r 2 cos2 ϕ + (r sinϕ −1)2

=1, r 2 cos2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ − 2r sinϕ +1 =1,

r 2

= 2r sinϕ, r = 2sinϕ,0 ≤ π.

Вернемся к вычислению потока вектора

через поверхность σ1 :

∫∫

= r2 , r = 2sinϕ,

ndS = ∫∫ 4(x2 + y2 )−2xy −2x (x2 + y2 ) dxdy = •• x = r cosϕ, y = r sinϕ, x2 + y2

σ1

σxy

2sinϕ

0 ≤ϕ ≤π, dxdy = rdrdϕ•

• = ∫dϕ ∫ (4r2 −2r2 cosϕ sinϕ −2r3 cosϕ)rdr =

2 sin ϕ

= ∫dϕ

∫ (4r3 − 2r3 cosϕsinϕ − 2r4 cosϕ)dr =

139

−

cosϕ sinϕ

−

cosϕ)

2 sin ϕ

ϕ −8cosϕsin

−

cosϕsin

= ∫dϕ

∫

16sin

ϕ dϕ =

− cos 2ϕ 2

dϕ −

104

(1 − 2 cos 2ϕ + cos

2ϕ)dϕ −

104

sin6 ϕ

∫16

∫sin

ϕd sinϕ = ∫4

+ cos 4ϕ

= 4

− 2 cos 2ϕ +

cos 4ϕ

ϕ −sin 2ϕ +

sin 4ϕ

1 − 2 cos 2ϕ

dϕ =

∫0

dϕ = 4

= 6π.

∫0

dxdy

•

−

grad

∫∫Fn2 ds = ∫∫Fn2

= ±

cosγ

gradϕ2

σ2

σxy

•

Для n2 выбираем знак «-» На рис.3.36 единичная нормаль n2 к поверхности

σ2 (плоскости) всюду имеет острый угол

γ =( n2 ^Oz),

а значитcosγ > 0 . В

формуле для

cosγ = −

< 0 . Чтобы устранить это несоответствие,

знак n

выбираем «-» тогда n

= −

•

dxdy

•

∫∫ (3x − y − z)

∫∫(−6 y + 2z)dxdy =

+ 3yj

+ 2zk

−

j +

•σ2 : z

= 2 y •

= ∫∫(−6y + 4 y)dxdy = ∫∫(−2 y)dxdy = •

•

Перейдем к полярным координатам.

σxy

Область интегрирования σxy -

тот же круг: r =

2sinϕ ,

0 ≤ ϕ ≤ π , y

= rsinϕ ,

dxdy = rdrdϕ •

•

2 sin ϕ

2sinϕ

1 − сos2ϕ

= −2∫dϕ

∫

r sinϕrdr = −2∫sinϕdϕ

= −

∫8sin

ϕdϕ

= −

∫

dϕ =

− 2 π∫2(1 − 2сos2ϕ + + cos2 2ϕ)dϕ = −

2 π∫(2 − 4 cos 2ϕ +

1 + cos 4ϕ)dϕ = −

2 π∫(3 − 4 cos 2ϕ + cos 4ϕ)dϕ =

3 0

= −

2 (3ϕ

− 2sin 2ϕ + 1 sin 4ϕ)

= −2π.

П = ∫∫

ndS = 6π − 2π = 4π.

4б) По формуле Остроградского: П = ∫∫

ndS = ∫∫∫divFdV.

140

div F = ∂∂x (3x − y − z) + ∂∂y 3y + ∂∂z 2z = 3 + 3 + 2 = 8.

П = ∫∫∫8dV = 8V

V
Вычисление объема	V	произведем	в цилиндрической системе
координат. Область V	(рис.3.36) снизу		ограничена	поверхностью
z = x2 + y2 = r 2 cos2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r 2		(нижний	предел	интегрирования
внутреннего интеграла), сверху - плоскостью z = 2 y = 2r sin ϕ				(верхний предел

интегрирования), область D –область интегрирования двойного интеграла –

круг - r = 2 sin ϕ,0 ≤ ϕ ≤ π.

		π	2 sin ϕ	2r sin ϕ	π	2 sin ϕ		π
V = ∫∫∫dV = ∫∫∫rdrdϕdz = ∫dϕ			∫ rdr	∫dz =∫dϕ		∫	rdr z	r22r sin ϕ = ∫dϕ
V	V	0	0	r 2	0	0		0

2 sin ϕ

∫r(2r sinϕ − r 2 )dr =

	π			2 sin ϕ		2				3	π			r 3				r 4		2 sin ϕ					π 16				4			4			π 4		4
	π			2 sin ϕ		2				3	π			r 3				r 4		2 sin ϕ					π 16				4			4			π 4		4
						(2r sinϕ − r
= ∫dϕ					∫							2sin	ϕ				−			0				= ∫				sin		ϕ − 4sin			ϕ dϕ = ∫				sin ϕdϕ =
= ∫dϕ					∫						)dr = ∫dϕ	2sin	ϕ		3		−	4		0				= ∫				sin		ϕ − 4sin			ϕ dϕ = ∫			3	sin ϕdϕ =
	0				0						0				3			4							0	3									0	3
π	4		1 − cos 2ϕ				2		1		π				2						1		π								1 + cos 4ϕ
∫							dϕ	=			∫(1 − 2 cos 2ϕ + cos					2ϕ)dϕ			=				∫ 1			− 2 cos 2ϕ +								dϕ =
∫	3				2		dϕ	=	3		∫(1 − 2 cos 2ϕ + cos					2ϕ)dϕ			=		3		∫ 1			− 2 cos 2ϕ +					2			dϕ =
0	3				2				3		0										3		0								2
	1		π	3				1				1 3									1						π		π
	1		π	3				1				1 3									1						π		π
=					− 2 cos 2ϕ +				cos 4ϕ dϕ =				ϕ −sin 2ϕ +									sin 4ϕ						=		.
=					− 2 cos 2ϕ +				cos 4ϕ dϕ =				ϕ −sin 2ϕ +									sin 4ϕ						=		.
		3 ∫0		2				2				3 2									8						0		2
		3 ∫0		2				2				3 2									8								2

П = 8V = 8 π2 = 4π.

Ответы 4а и 4б совпали.

4в) Для определения циркуляции вектора F вдоль контура, полученного в результате пересечения поверхностей σ1 и σ2 ,каковым является пространственный эллипс (рис.3.36), необходимо вывести аналитическое выражение последнего в параметрической форме.

x = r cos t, y = r sin t, z = x2	+ y 2 = r 2 , z = 2 y = 2r sin t, r = 2sin t.
Подставив значение	r = 2sin t в выражение для x,y,z получим

необходимое задание кривой интегрирования в параметрической форме.

141

x = r cos t

y = r sin t

z = 2 y =

=2sin t cost = 2sin 2t,

=2sin t sin t = 2sin 2 t,

2r sin t = r 2 = 4sin 2 t, 0 ≤ t ≤ π.

dx = 2 cos 2tdt, dy = 4sin t cos tdt, dz = 8sin t cos tdt.

Определим циркуляцию вектора F по данному контуру в направлении возрастания параметра t.

Ц = ∫F dl = ∫[(3x − y − z)i + 3y j + 2zk](dxi + dy j + dzk )= ∫(3x − y − z)dx + 2 ydy + 2zdz =

γ γ γ

= π∫[(3sin 2t − 2sin 2 t − 4sin 2 t)2 cos 2t + 3 2sin 2 t 4sin t cos t + 2 4sin 2 t 8sin t cos t]dt =

1 − cos 2t

+ cos 4t

= ∫

3sin 4t −12

cos 2t +88sin

t cos t dt = ∫ 3sin 4t − 6 cos 2t + 6

dt +

+88∫sin

td sin t =

−

cos 4t −3sin 2t

+ 3t +

sin 4t + 22sin

= 3π.

4г) По формуле Стокса: Ц = ∫

ndS.

= ∫∫rotF

−

∂

rotF

∂x

∂y

∂z

3x − y − z 3y

∂

−

3y i +

(3x − y − z) −

2z j +

−

(3x − y − z) k

= − j + k .

∂y

∂z

∂x

∂y

Здесь на контур циркуляции γ		натянуты две поверхности:
	вектора F
σ1 - параболоид вращения z = x2+y2	и σ2 - плоскость z = 2y. Очевидно, что

расчет циркуляции вектора F с помощью формулы Стокса как по одной так и по второй поверхности, приведет к одинаковому результату. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. Пусть натянутой поверхностью будет σ1 , которая однозначно проектируется на плоскость z = 0. Выбор формулы (3.19) повторяется. В 4а)

			−	− −
	−		2x i	+ 2 y j−k
определен вектор n1		= ±	2x i	+ 2 y j−k	. Ещё раз напомним, циркуляция вектора
определен вектор n1		= ±			. Ещё раз напомним, циркуляция вектора
			4x2 + 4 y2 +1
−				−
F	и направление вектора n1 должны соответствовать правилу винта. В

142

нашем случае циркуляция	−
	F происходит в сторону увеличения параметра t
		−	должен быть направлен во
(рис. 3.36), тогда соответствующий вектор n1
внутрь области V. В этом случае угол γ		−	^Oz) – острый, cosγ > 0 . В
		= ( n2
−	1	<0. Устраняем это несоответствие
выражении для n1 , cosγ = −
	4x2 + 4 y2 +1

−

выбором знака «-» для n1 , тогда:

−	−	−
n1 = . − 2 x i	− 2 y j + k .
−
4 x 2	+ 4 y 2	+ 1

−

dxdy

−

−2x i+

2 y j+ k

dxdy

Ц = ∫∫rotFn1ds = ∫∫rotFn

= ∫∫

− j

+ k

= ∫∫(2 y +1)dxdy =

σ1

σxy

cosγ

σxy

+ 4 y

σxy

4x2 + 4 y2

= •

• решаем как в 3а): r = 2sinϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π , y = rsinϕ ,

•

2 sin ϕ

dxdy = rdrdϕ •

∫dϕ

∫

(2r sinϕ +1)rdr = ∫dϕ

sinϕ +

sin

ϕ + 2sin

1 − сos2ϕ 2

1 − сos2ϕ

∫

dϕ

∫

dϕ

(1 − 2 cos 2ϕ

+ cos

∫

2ϕ) +1 − cos 2ϕ dϕ =

−

cos 2ϕ

+ cos 4ϕ

− cos 2ϕ

cos 2ϕ +

cos 4ϕ

∫0

dϕ =

3 −

dϕ =

∫0

sin 2ϕ +

sin 4ϕ

3ϕ −

= 3π.

Случай

Натянутая

поверхность

σ2 ,

как

σ1 , однозначно

проектируется на плоскость z = 0 в ту же область σxy . Так как направлению

циркуляции вектора

−

по контуру γ

соответствует вектор

−

(рис.3.36), то

−

все дальнейшие рассуждения (см. 3а) приводят к вектору n2

= −

k .

−

dxdy

2 −

− dxdy

Ц = ∫∫rotF n2 ds = ∫∫rotF n2

= ∫∫(− j + k ) −

= ∫∫3dxdy =

cosγ

143

= •

• Переход к полярным координатам – см. 3а •

•

2 sin ϕ

2sinϕ

ϕdϕ =

= 3∫dϕ ∫

rdr = 3∫dϕ

∫4sin

= 3

4 1 − сos2ϕ dϕ = 3

− 1 sin 2ϕ π

= 3π.

∫0

Ответы 4в) и 4г) совпали.

Пример 5. Дано тело, полная поверхность которого образована двумя

поверхностями II порядка σ1 и σ2 . Вычислить:

а)

поток

векторного

поля

−

поверхность

тела в

F через полную

направлении внешней нормали к её поверхности

непосредственно;

б) тот же поток – с помощью формулы

Остроградского;

в)

циркуляцию вектора

−

F по замкнутому контуру,

образованному пересечением поверхностей σ1 и σ2

непосредственно;

2 y г) ту же циркуляцию – с помощью формулы Стокса.

Рис. 3.37

−

σ1 : z = x2 + y2,σ2 : z = 4-3x2-y2.

F = (2x −3y) i

+ 4 y j− z k ,

Решение.

Тело

представляет

собой

«яйцо» (рис.3.37),

снизу

ограниченное параболоидом вращения z=x2+y2 (поверхность σ1), сверху – эллиптическим параболоидом z = 4-3x2-y2 (поверхность σ2). Кривая пересечения этих поверхностей есть «волнообразный» пространственный эллипс. В интересах дальнейших вычислений необходимо вывести формулы

−

для кривой пересечения поверхностей (контур циркуляции вектора F ) и её проекцию на плоскость z = 0.

144

Приравнивая, левые и правые части уравнений поверхностей, находим аналитическое выражение для проекции кривой пересечения на плоскость z=0.

2	2	2 2 2 2		2		y2
x	+y = 4-3x -y , 4x +2y = 4,		x		+		=1
						( 2)2

Проекция кривой пересечения на плоскость z = 0 есть эллипс. В полярной системе координат формула эллипса представляет собой:

x = r cost,

y = r sin t, r 2 cos2 t +

r 2

sin 2 t =1;

2r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t = 2 , r 2

+ r 2 cos 2 t = 2 ,

r 2 =

;

r =

+ cos2 t

+ cos 2t

1 + cos2 t

3 + cos 2t

Теперь нетрудно получить формулу для контура циркуляции вектора

−

y = r sin t

и z = x2+y2 = r2, то

F в параметрической форме. Т.к. x = r cost,

2 cost

3 + cos 2t

2sin t

≤ t ≤ 2π.

3 + cos 2t

а)

Поток вектора

−

через

полную

поверхность

тела равен:

− −

П=П1+П2= ∫∫F n1 ds +

∫∫F n2 ds .

σ1

σ2

Обе поверхности и σ1 : z = x2+y2 и σ2 : z = 4-3x2-y2 однозначно

проектируется

только на

плоскость

0. Поэтому для расчета потоков

−

− −

вектора

F П1

и П2 выбираем одну и туже формулу: П = ∫∫F n

dxdy

, где

cosγ

σ xy

плоская область интегрирования σxy одна и та же и ограничена эллипсом

r =	2	.
	3 + cos 2t

−

Определим единичный нормальный вектор n1 для поверхности σ1 : z =

x2+y2

145

2 2

grad

ϕ1

−

2x i + 2 yj − k

ϕ1 = x +y -z = 0,

=±

= ±

. .

gradϕ1

4x2 + 4 y 2 +

По условию задачи поток вектора вычисляется в направлении внешней нормали к поверхности. Для поверхности σ1 этот вектор с осью Oz составляет

тупой угол (рис.3.37 ), т.е.

cosγ –

отрицательный. Для выполнения этого

условия

выбираем

перед

формулой

для

−

знак + и тогда

cosγ = −

< 0 , что и требуется.

4x2 + 4 y 2

−

dxdy

− −

−

2x i+ 2 y j− k

П1 = ∫∫F n1 ds =

∫∫

(2x −3y) i+ 4 y j− z k

σ1

σ1xy

+ 4 y

4x2 + 4 y2 +1

= ∫∫(4x2

− 6xy +8y 2

+ z)dxdy=•

• z = x2

+ y 2

•

• = ∫∫(4x2

− 6xy +8y 2 + x2 + y 2 )dxdy =

σ1xy

=∫∫(5x2 − 6xy + 9 y2 )dxdy =

σ1xy

=• • т.к. проекция σ1xy поверхности σ1 на плоскость xOy есть область

ограниченная эллипсом, для вычисления двойного интеграла целесообразно перейти к полярным координатам: x = r cost, y = r sin t,

0 ≤ r ≤	2	,0 ≤ t ≤ 2π •		• =

	+ cos 2t
3			2
2

2π	3+cos 2t
= ∫dt	∫(5r 2 cos2

−3r 2 sin 2t)rdr = 2∫π

2π

3+cos 2t

t − 6r 2 cos t sin t + 9r 2 sin 2 t)rdr = ∫dt

∫(5r 2 + 4r 2 sin 2 t −

r 4

2π 5 + 4sin 2 t −3sin 2t

3+cos 2t

dt(5 + 4sin

t −3sin 2t)

= 4

∫

dt.

(3 + cos 2t)

Чтобы решить этот определенный интеграл нужно применить подстановку tgt = q. Пределы интегрирования при новой переменной q

совпадут, т.к. при t = 0, tg0 = 0; при t = 2π, tg2π = 0. При этом нужно учесть,

что при изменении t от 0 до 2π в точках	π	и	3	π тангенс не существует
	2		2

146

(разрыв II рода), а определенный интеграл превращается в несобственный интеграл II рода. Строгая запись решения такого интеграла становится достаточно громоздкой.

Поступим так: найдем первообразную этого интеграла в новой переменной q без учета пределов (неопределенный интеграл), вернемся к старой переменной t, восстановим пределы интегрирования и произведем подсчёт.

			4∫		5		+ 4sin 2 t −3sin 2t																										dt=				•		• tqt = q												;		dt =									dq							,	sin t =											q						,		cos t =			1		,
					5		+ 4sin 2 t −3sin 2t																														•																									dq																			q											1
										(3 + cos 2t)															2																																	1 + q								2												q			2		+1								q	2	+1
																									2																																									2															2											2

sin 2t =				2q							, cos 2t										=		1		− q2								•		•		=
				2q																			1		− q2										•

			1	+ q2																			1		+ q					2
			1	+ q2																			1		+ q					2
	5	+ 4					q2							−		3					2q
= 4∫	5	+ 4			1	+ q2								−		3		1			+ q2									dq									4∫		5(1 + q2 ) + 4q2 − 6q																													= ∫				9q2			− 6q + 5
					1	+ q2												1			+ q2									dq											5(1 + q2 ) + 4q2 − 6q																																	9q2			− 6q + 5
																																					=																														dq																					dq =
									1 − q							2				2							1 + q							2			=																4 + 2q									2			2		dq						(2			+ q						2		)	2			dq =
									1 − q							2											1 + q																							2 2			4 + 2q									2											(2			+ q								)
					3	+																																			(1 + q										)
																																																												2
									1			+ q				2																																						1 + q						2
									1			+ q																																										1 + q
= 9∫		q2 dq										− 6∫										qdq										+ 5∫								dq									.
= 9∫		2					)	2				− 6∫					(2					2					)	2				+ 5∫						(2 + q						2	)		2		.
	(2 + q						)										(2					+ q					)											(2 + q							)
		Найдем первообразную каждого интеграла
											∫						dq									= ∫							2 + q						2	+ 2				− q					2						1			∫					dq							+ ∫				2 − q						2
																	dq																2 + q							+ 2				− q							dq =				1								dq											2 − q											dq				=

													(2			+ q						2	)	2											4(2 + q							2		)		2									4						2 + q								2				(2		+ q				2		)		2
													(2			+ q							)												4(2 + q									)											4						2 + q												(2		+ q						)
													1					1															q													q										1						1											q								q
																							arctg																																											arctg																						+ C.
										=																										+																		=																					+										2
										=			4								2												2			+			∫d				2 + q								2			=		4							2										2		+		2 + q								2
													4								2												2										2 + q													4							2										2				2 + q
																			∫					qdq										=				1		∫ (2 + q2 )−2 d (2 + q 2 ) = −																																	1								+ C.
																			∫					2							)		2	=			2			∫ (2 + q2 )−2 d (2 + q 2 ) = −																															2(2 + q					2		)			+ C.
																						(2 + q									)						2																																		2(2 + q							)
		∫			q 2 dq										= ∫						q 2 + 2 − 2														dq = ∫									dq								− 2∫							dq										=
		∫	(2		+ q					2		)	2		= ∫							(2 + q							2		)		2		dq = ∫						2			+ q					2			− 2∫			(2 + q								2	)		2			=
			(2		+ q							)										(2 + q									)										2			+ q											(2 + q									)
		=		1			arctg									q						− 2					1			(			1			arctg								q				+					q				)	+ C =											1			arctg						q						−					q	+ C.
		=			2		arctg											2				− 2					4			(				2		arctg									2			+				2 + q2					)	+ C =										2		2		arctg												−		2(2 + q2 )				+ C.
					2													2									4							2											2							2 + q2																2		2											2					2(2 + q2 )

Для каждого интеграла вернемся к старой переменной t, восстановим пределы интегрирования и вычислим каждый интеграл.

147

2π		dtgt
∫		dtgt					=
∫	(2 + tg		2	t)	2		=
0	(2 + tg			t)
+	1	arctg				tgt
+	2	arctg			2
	2				2

							tgt					tgt				2π									tgt		π	−0				tgt		3	π −0


1				1															1		1						2			1			2
1				1	arctg				+								=		1		1			arctg			2		+	1	arctg				+
4				2	arctg		2		+		2 + tg			2	t		=		4		2			arctg	2				+	2	arctg	2			+
4				2			2				2 + tg				t	0			4		2				2		0			2		2	π		+0
																																	2

																	3


	2π					tgt		π		−0			tgt					π −0					tgt		2π
	2π							π									2	π −0							2π
				+				2			+						2			+									=
		3	π +0			2 + tg 2t						2	+ tg 2t				π					2 + tg 2t			3	π +0
	2							0									2	+0							2
	2							0									2								2

	1		1					π								1 π								π					1					π							=	1 2				π		=		π
=										− 0			+									−	−			+					0 −		−				+			0													.
=										− 0			+									−	−			+					0 −		−				+			0													.
	4			2				2												2				2					2					2								4 2							2 2
	4			2				2									2			2				2					2					2								4 2							2 2
2π tg td tg t																	1						2π					1		1				π	−0						1						3	π −0					1			2π


											= −													= −										2			+										2		+										=

∫0 (2 + tg					2		t)		2				2(2					+ tg			2	t)						2	(2	+ tg		2	t)						(2 + tg				2		t)							(2tg		2	t)		3
							t)						2(2					+ tg				t)	0					2	(2	+ tg			t)						(2 + tg						t)		π	+0				(2tg					3	π +0
																							0											0														+0								2		π +0
		1						1						1																				0													2									2
																																															2

= −			0 −							+ 0 +						− 0				= 0.
= −		2	0 −					2		+ 0 +				2		− 0				= 0.
		2						2						2
				2π				tg 2 td tg t														1					tg t					tg t						2π			1			2π					π
				2π				tg 2 td tg t														1					tg t					tg t						2π			1			2π					π
				∫													= (						arctg						−							)				=							=				.
				∫		(2 + tg						2		t)	2		= (			2		2	arctg					2	−	2(2 + tg				2	t)	)		0		=	2				2		=		2		.
			0			(2 + tg								t)						2		2						2		2(2 + tg					t)			0			2				2				2
				(Здесь опушены несложные пределы).
				Окончательно определяем поток П1																																		вектора									−		через поверхность σ1:
				Окончательно определяем поток П1																																		вектора									F		через поверхность σ1:
П1= 9				π				−6 0 + 5											π			=	23π		.
П1= 9								−6 0 + 5									2			2		=			.
			2														2			2		2		2

−

Определяем единичный нормальный вектор n2 для поверхности σ2 :z = 4-3x2-y2.

−

ϕ2 = 3x2 + y2 + z − 4 = 0 , n2

= ±

grad

ϕ2

= ±

6x i

+ 2 y j+ k

gradϕ2

36x2 + 4 y 2

Для поверхности

σ2

внешняя

нормаль

−

составляет с

осью

( n2 )

острый угол (рис.3.37),

т.е.

cos γ – положительный. В формуле

для

−

выбираем знак + и тогда cosγ =

тоже положительный.

36x2 + 4 y 2 +1

148

−

dxdy

−

6x i

+ 2 y j+ k

П2 = ∫∫F n2 ds =

∫∫

(2x −

3y) i

+ 4 y j− z k

σ2

σ2 xy

36x

+ 4 y

36x2 + 4 y 2

= ∫∫(12x2

−18xy + 8y 2

− z)dxdy=•

• z = 4 − 3x2 − y 2

•

σ2 xy

= ∫∫(12x2

−18xy + 8y 2

− 4 + 3x2 + y 2 )dxdy = ∫∫(15x2

−18xy + 9 y 2 − 4)dxdy =

σ2 xy

=•

• производим такой же переход к полярным координатам •

• =

2π

3+cos 2t

2π

3+cos 2t

= ∫dt

∫(15r 2 cos2 t −18r 2 cos t sin t +9r 2 sin 2 t −4)rdr = ∫dt

∫

(9r 2

+6r 2 cos 2 t −

2π

r 4

3+cos

−9r

sin 2t

−4)rdr =

dt (9 +6 cos

t −

9 sin 2t)

− 2r

∫0

2π

9 +6 cos

= ∫

t −9 sin 2t

4 −

dt.

(3 +cos 2t)

3 + cos 2t

Для вычисления этого определенного интеграла поступим таким же образом, как в предыдущем случае.

9 + 6cos

t −9sin 2t

•

∫

−

dt=

• tgt = q •

(3 + cos 2t)

+ cos 2t

9 + 6

−9

1+ q2

= ∫

1+ q2

−

1− q

+ q

1− q

+ q

9(1+ q

) + 6 −18q

qdq

−

dq = 9

−18

+15

− 4

∫

∫(2 + q2 )2

∫2

2 2

2 + q2

2(2

+ q2 )

(2 + q2 )2

∫(2

+ q2 )2

+ q2

(1+ q )

1+ q

Все интегралы вычислены ранее, кроме последнего:

∫

arctg

+ C;

2∫π

dtgt

arctg

tgt

+ q

0 2 + tg

2π

= 2π2 .

Определяем поток П2:

П2 = 9 π2 −18 0 +15 2π2 − 4 2π2 = 172 π2 .

−

Определяем поток вектора F через полную поверхность:

149

П = П1 + П2 =	23π		+	17π		=	40π		=10 2π.
	2	2		2	2		2	2

−

б)Поток вектора F через полную поверхность тела по формуле

Остроградского: П = ∫∫∫divFdV .

Определим дивергенцию вектора						−	:
Определим дивергенцию вектора					F		:	4 y + ∂ (−z) = 2 + 4 −1 = 5 .
div F = ∂Fx	+ ∂Fy	+ ∂Fz = ∂		(2x −3y) + ∂				4 y + ∂ (−z) = 2 + 4 −1 = 5 .
−
∂x	∂y	∂z	∂x			∂y			∂z

Тройной интеграл вычислим в цилиндрической системе координат:

4−3x2 −y2

−

2π

3+cos 2t

2π

3+cos 2t

4−2r 2 cos2 t −r 2

П = ∫∫∫div F dV

= 5 ∫dt

∫rdr

∫dz=•

• x = r cos t, y = r sin t •

•

= 5 ∫dt

∫rdrz

x2 +y2

r 2

2π

3+cos 2t

2π

3+cos 2t

= 5

∫dt

∫

(4 − 2r 2 cos2 t − r 2

− r 2 )rdr = 5 ∫dt

∫(4r − 2r 3 cos2 t − 2r 3 )dr =

2π

8cos

3+cos 2t

= 5 ∫dt

−

cos

t −

= 5 ∫

−

dt.

3 + cos 2t

+ cos 2t)

(3 + cos 2t)

Вычислим этот интеграл, как это делалось в а).

8cos

•

5∫

−

•tgt = q

•

+cos 2t

(3 +cos 2t)

= 5∫

1+ q

= 5∫

8(1+ q

)

−

dq =

1−q

−q

1−q

1+ q

)

4(2

+ q

)

4(2 + q

)

3 +

2(2 + q

3 +

1+ q

+ q

1+ q

= 5∫

8 + 4q2 −2 −2 −2q

dq = 5∫

2q2 + 4

dq =10∫

(2 + q2 )2

2 + q2

Воспользуемся решением этого интеграла в а).

П =10	2π	=10 2π.
	2

Как и следовало ответы а) и б) совпали.

−

в) Циркуляция вектора F по замкнутому контуру γ :

−−

Ц= ∫F dl .

150

Аналитическое выражение для контура γ

в параметрической форме:

2 cos t

+ cos 2t

(−2) sin 2t

(−2sin t)

3 + cos 2t − 2 cos t

3 + cos 2t

(−2sin t)(3 + cos 2t) + 2 cos t sin 2t

dt =

dt.

3 + cos 2t

(3 + cos 2t)3

dx =

2sin t

γ :

+ cos 2t

2 cost

3 + cos 2t − 2sin t

(−2) sin 2t

2 cos t(3 + cos 2t) + 2sin t sin 2t

dy =

3 + cos 2t

dt =

dt.

3 + cos 2t

(3 + cos 2t)3

(−4)(−2) sin 2t

8sin 2t

dz =

dt ==

dt.

+ cos 2t

(3 + cos 2t)2

+ cos 2t)2

≤ t ≤ 2π.

−

Ц = ∫Fdl

= ∫ (2x

−3y) i

+ 4 y j− z k (dx i+ dy j+ dz k)

= ∫(2x −3y)dx + 4 ydy −zdz =

=•

• переход к параметрической форме •

•

2π

2 cost

2sin t

(−2sin t)(3 + cos 2t) + 2 cos t sin 2t

−3

∫

3 + cos 2t

(3 + cos 2t)

2sin t

2 cos t(3

+ cos 2t) + 2sin t sin 2t

8sin 2t

+ 4

−

dt.

3 + cos 2t

(3 + cos 2t)

При решении этого интеграла повторим алгоритм решения в пункте а).

∫

4 cos t

(−2 sin t)(3 + cos 2t) + 2 cos t sin 2t

3 + cos 2t

(3 + cos 2t) 3

− ∫

6 sin t

(−2 sin t)(3 + cos 2t) + 2 cos t sin 2t

3 + cos 2t

(3 + cos 2t)

+ ∫

8 sin t

2 cos t(3

+ cos 2t) + 2 sin t sin 2t

3 + cos 2t

(3 + cos 2t)

−
dt +
− ∫		32 sin 2t		dt =•	• tgt = q, dt =	dq		,
		32 sin 2t				dq
	(3	+ cos 2t)	3			1 + q	2
	(3	+ cos 2t)				1 + q

sin t =

, cos t =

, sin 2t =

, cos 2t =

1 − q 2

•

1 + q 2

+ q 2

1 + q 2

1 − q

−

+ 2

+ q

1 + q

+ q

1 + q

+ q

= ∫

−

3 +

1 − q

− q

+ q

1 + q

+ q

151

							q																2q										1	− q				2								1							2q
		6					q											−					2q							3 +			1	− q							+		2			1							2q

			1			− q					2											1 + q					2						1	+ q				2							1 + q			2			1		+ q		2				dq
− ∫			1			− q																1 + q											1	+ q											1 + q						1		+ q						dq							+
− ∫		3 +			1 − q							2																								1			− g			2		3														1	+ q						2	+
																																	3	+
												2
																																										2
					1 + q																															1			+ g			2
					1 + q																															1			+ g
							q																1								1	− q			2									q						2q																							2q
		8					q										2						1						3 +		1	− q							+ 2					q						2q																			32				2q

				1		+ q 2																									1	+ q			2								1 + q 2						1	+ q				2
																																			2																			2			dq														1	+ q 2										dq
+ ∫																					1 + q 2																																				dq						− ∫								1	+ q 2										dq				=
+ ∫					1 − q							2																							1 − q						2		3													1 + q				2			− ∫								1	− q		2		3			1		+ q			2		=
		3 +			1 − q							2																													2		3													1 + q															1	− q		2					1		+ q
																																3 +																																				3 +
												2

																																									2
					1 + q																														1 + q						2																														1 + q			2
					1 + q																														1 + q																																				1 + q
= ∫	4(		−8q − 4q 3													+ 4q)dq										−∫			6(−8q 2					− 4q 4							+ 4q 2 )dq								+∫			8(8q + 4q 3										+ 4q 3 )dq										−∫		64q(1 + q 2 )dq													=
= ∫		4(2				+ q					2	)	2		(1 + q							2	)			−∫				4(2 + q							2		)	2	(1 + q				2	)			+∫				4(2			+ q			2	)	2			(1 + q					2	)		−∫			8(2 + q								2	)	3		=
		4(2				+ q						)			(1 + q								)							4(2 + q									)		(1 + q					)							4(2			+ q				)				(1 + q						)					8(2 + q									)
= ∫		− 4qdq										+ ∫							6q 2 dq									−∫			16qdq									−∫			8q(1 + q 2 )dq										= 6			∫			q 2 dq									+12∫						qdq								−
= ∫	(2			+ q			2	)		2		+ ∫					(2			+ q				2	)	2		−∫		(2		+ q			2	)	2			−∫			(2 + q				2		)	3			= 6			∫	(2		+ q						2	)	2	+12∫					(2	+ q			2	)		2		−
	(2			+ q				)									(2			+ q					)					(2		+ q				)							(2 + q						)								(2		+ q							)							(2	+ q				)
− 8∫		(q + q 3 )dq
														.
		(2 + q							2		)	3		.
		(2 + q									)

Первые два интеграла вычислены в пункте а). Вычислим последний интеграл:

∫

(q + q3 )dq

= ∫

qdq

+ ∫

q3 dq

∫(2

+ q

−3

d (2 + q

∫

q2 + 2 − 2

)

d(2

+ q

) =

(2 + q

)

+ q

)

(2 + q

)

(2 + q

)

= −

∫(2

+ q2 )−3 d (2 + q

2 ) +

∫(2 + q2 )−2 d (2 + q2 ) =

−

+ C.

)

2(2 + q

)

4(2 + q

При восстановлении переменной t и пределов интегрирования эти

интегралы сводятся к нулю (см. пункт а).

Окончательно циркуляция вектора: Ц = 6

+12 0 −8 0 = 3 2π.

г) Циркуляция вектора

по формуле Стокса:

Ц= ∫∫

rot

ndS

∂

= 3

rot

∂x

∂y

∂z

2x −3y

4 y

− z

На контур γ натянуты обе поверхности σ1 и σ2, которые однозначно

проектируются

на

плоскость

образуя

известную

область

152

интегрирования, ограниченную эллипсом. Произведём расчёт циркуляции с использованием обеих поверхностей.

2 2

grad

ϕ1

2xi + 2 y

−

Для σ1: z = x +y , φ1

= x +y -z = 0,

n1 = ±

= ±

ϕ1

4x2 + 4 y 2 +1

grad

Циркуляция вектора F по замкнутому контуру γ в сторону увеличения параметра t происходит против часовой стрелки, если смотреть на этот контур сверху (рис.3.37). Согласно правила винта единичный нормальный вектор к поверхности σ1 в этом случае направлен во внутрь (нормаль внутренняя) и должен составлять с осью Оz острый угол и cosγ>0. Это условие в формуле для n1 выполнится, если выбрать перед формулой знак «-»,

т.е. n1 = −2xi −2 y j + k .

4x2 + 4 y2 +1

− 2xi − 2 y j

+ k

dxdy

Ц= ∫∫rot F n1dS = ∫∫3k

= ∫∫3dxdy =

+ 4 y

σ1

σ1xy

4x2 + 4 y 2 +1

=•

• переход к полярной системе координат:

x = r cos t, y = sin t •

• =

2π

3+cos 2t

= 3 ∫dt

∫

rdr = 3 ∫dt

6 ∫

dt.

+ cos 2t

Методика расчёта этого интеграла такая же как в а).

∫			dt		=		•	• tg				= q, dt =						dq				;cos 2t =			1 − q2				•	•	= ∫				dq						= ∫		dq		=
			dt				•											dq							1 − q2					•					dq								dq

	3 + cos 2t															1 + q					2				1 + q			2						1 − q		2			2			4	+ 2q	2
																					2							2						1 − q		2			2					2

																																3	+				(1	+ q		)
																																3	+	1 + q		2	(1	+ q		)
																																		1 + q
=	1	∫		dq			=		1			1		arctg			q			+ C.
=	2	∫		2 + q	2		=	2			2			arctg			2			+ C.
	2			2 + q				2			2						2
1	2π			dtgt						1					tgt				2π				2π			π
1	2π			dtgt						1					tgt				2π				2π			π
	∫0					=							arctg						0		=			=			.
2		2 + tg 2t				=		2			2		arctg			2			0				2 2	=	2
2		2 + tg 2t						2			2					2							2 2		2

Циркуляция вектора: Ц = 6	π	= 3 2π.
Циркуляция вектора: Ц = 6	2	= 3 2π.
	2
Для σ2 :

153

grad

ϕ2

z = 4 −3x2 − y 2 ,ϕ2 = 3x2 + y 2 + z − 4 = 0; n2

= ±

6xi

+ 2 yj + k

gradϕ2

36x2 + 4 y 2 +1

Циркуляция вектора F по замкнутому контуру γ в сторону увеличения

параметра t определяет по правилу винта то же самое расположение вектора

на внешней стороне поверхности σ2

(нормаль внешняя), тогда угол между

и осью Oz острый,

cos γ > 0, значит в формуле для n2

нужно выбрать знак

«+».

6xi + 2 y j + k

dxdy

Ц = ∫∫rotF n2 dS = ∫∫3k

∫∫3dxdy = 3 2π,

36x

4 y

σ2

σ2 xy

36x2 + 4 y 2 +1

σ1

σ2

Рис. 3.38

σ2 образуется контур

т.к. σ1xy = σ2 xy .

Все циркуляции, определяемые разными формулами, совпали.

					−
Пример 6. Вычислить циркуляцию вектора F
вдоль	контура	γ	образованного		пересечением
кругового конуса σ1 и эллипсоида σ2:
а) непосредственно;
б)с помощью формулы Стокса.
−		−	−	−	σ1:z2=x2+y2,
F	= ( 2 x −	y ) i	+ ( x − 2 y ) j + z k		σ1:z2=x2+y2,

σ2 :z=9-3x2-6y2.

Решение. При пересечении поверхностей σ1 и

– пространственный «волнообразный» эллипс

−

(рис.3.38). Для определения циркуляции вектора F вдоль данного контура необходимо вывести аналитическую формулу этого контура в параметрической форме.

x = r cost, y = r sin t, z 2 = x 2 + y 2 = r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t = r 2 , z = r ;

Осталось выразить r через параметр t:

154

z2 = 9 −3x2 −6 y2 , r2 = 9 −3r2 cos2 t −6r2 sin2 t, r2 = 9 −3r2 −3r2 sin t,

4r 2

+ 3r 2 sin 2 t =

9, r 2 =

+ 3sin 2

− cos 2t

11 −3cos 2t

r =

11 −3cos 2t

Одновременно

это

есть

уравнение

эллипса

– проекции контура

−

на плоскость z = 0.

циркулирования вектора F

Выражения для самого контура следующие:

(−sin t)

11 −3cos 2t −

cos t 6 sin 2t

cost, dx =

2 11 −3cos 2t

dt =

−3cos 2t

11 −3cos 2t

(−sin t)(11 −3cos 2t) −3cos t sin 2t

dt.

(11 −3cos 2t)3

cos t

11 −3cos 2t

−

sin t 6 sin 2t

sin t, dy =

2 11 −3cos 2t

dt =

11 −3cos 2t

cos t(11 −3cos 2t) −3cos t sin 2t

dt.

(11 −3cos 2t)3

−

(−3) 2(−sin 2t)

, dz =

11 −3cos 2t

dt =

(−3sin 2t)

−3cos 2t

(11 −3cos 2t)3

11 −3cos 2t

0 ≤ t ≤ 2π.

−

определяется:

а) Непосредственно циркуляция вектора F

−

∫(2x

− y)dx + (x − 2 y)dy + zdz

Ц = ∫Fdl = ∫ (2x − y) i

(x − 2 y) j+ z k (dx i+ dy j

+ dz k) =

Вычисляем каждый из пяти интегралов отдельно.

	2π	18		(−sin t)(11 −3cos 2t) −3cos t sin 2t
∫xdx =	∫		cos t 18			dt.
		11 − 3cos 2t		(11 − 3cos 2t)	3
γ	0

Вычисление этого и последующих интегралов произведём таким же образом, как в предыдущем примере 5а).

155

tgt = q, dt =

, cos t =

,sin t =

, cos 2t =

− q2

,sin 2t

1 + q2

+ q2

1 + q2

+ q2

∫

18cos t

(−sin t)(11 −3cos 2t) −3cos t sin 2t

=18∫

1 + q2

−3cos 2t

(11 −3cos 2t)

11 −3

1 − q

1 + q2

1 − q

−

1 + q2

11 −3

1 + q

2 −3

+ q

+ q2

(−q)(8 +14q

) − 6q

=18∫

1 − q

1 + q2

(8 +14q2 )2 (1 + q2 )

11 −

+ q

=18∫

(−14)q(1 + q2 )

dq = −18∫

14qdq

= −9∫(8 +14q

)

−2

(8 +14q

)

(8 +14q

)(1

+ q

)

(8 +14q

)

+14q

Возвращаемся

переменной

с восстановлением

пределов

интегрирования

2π

14tgtdtgt

2π

−0

π −0

2π

−18 ∫

(8 +14tg

+14tg

14tg

π +0

= 0 −

+ 0 − 0 +

− 0 = 0.

2π

cos t(11

− 3cos 2t)

− 3sin t sin 2t

∫ ydy = ∫

sin t

dt.

− 3cos 2t

(11 − 3cos 2t)

tgt = q, dt =

, cos t =

, sin t =

, cos 2t =

− q 2

, sin 2t =

+ q 2

1 + q 2

+ q 2

1 + q 2

∫	18 sin t								cos t(11 − 3cos 2t) − 3sin t sin 2t																			dt		=18∫
∫	11	− 3cos 2t													(11 − 3cos 2t)							3						dt		=18∫
	11	− 3cos 2t													(11 − 3cos 2t)
	1								1 − q		2							q				2q
	1								1 − q									q				2q
				−		3					2			− 3									2
			11	−		3			1 + q		2			− 3			1 + q 2				+ q		2				dq
	1 + q 2								1 + q								1 + q 2			1	+ q						dq			= 18∫
																2		3									+ q		2	= 18∫
												1 − q				2									1		+ q
												1 − q
																2
							11 − 3					1 + q				2
												1 + q
= 18∫			8q(1 + q 2 )												dq = 18∫					8qdq						.
= 18∫		(8 +14q			2	)		2		(1 + q			2	)	dq = 18∫				(8	+14q			2	)	2	.
		(8 +14q				)				(1 + q				)					(8	+14q				)

1 + q 2
	1	− q 2
11 − 3	1	− q 2

	1	+ q 2
	1	+ q 2
q(8 +14q 2 −			6q 2 )	dq =
(8 +14q 2 ) 2 (1 + q 2 )				dq =
(8 +14q 2 ) 2 (1 + q 2 )

156

Такой интеграл уже решен ранее и его конечный результат равен нулю.

2π

(−3) sin 2t

dt .

∫zdz = ∫

11 − 3cos 2t

(11 −

3cos 2t)

Такие

же

вычисления

приводят

этот

интеграл

нулю.

2π

cost(11 −3cos 2t) −3sin t sin 2t

∫xdy = ∫

cost

dt.

11 −3cos 2t

(11 −3cos 2t)

Производим аналогичные действия.

∫

18cos t

cos t(11 −3cos 2t) −3sin t sin 2t

18∫

1 + q2

−3cos 2t

(11 −3cos 2t)

11 −3

1 − q

1 + q2

1 − q

−3

1 + q

1 + q2

1 + q

(8 +14q2 − 6q2 )

1 + q2

18∫

dq =

1 − q

1 + q

(8 +14q

)

(1 + q

)

11 −3

1 + q

=18∫

8(1 + q2 )

=144∫

8 +14q2

+8 −14q2

dq =

(8 +14q

)

+ q

)

+14q

)

16(8

+14q

)

8 −14q2

d (q

14)

9 ∫

8 +14q

2 + ∫

14q

)

2 dq

= 9 ∫

14(( 8)

( 14q)

)

+ ∫d

+14q

14q

arctg

14q

Возвращаемся

переменной

восстановлением

пределов

интегрирования.

	2π		dtgt							1						14tgt					tgt				2π
144 ∫			dtgt							1			arctg			14tgt					tgt
								=	9										+								=
		(8 +14tg			2	t)	2	=	9									8	+		8 +14tg		2				=
	0	(8 +14tg				t)				8 14								8			8 +14tg			t	0
													tgt				π	−0											tgt			3	π −0


		1					7													1						7						2
		1					7										2			1						7
= 9										+								+										+					+
														2																2
		4 7		arctg			4		tgt		8	+14tg		2						4 7		arctg				4	tgt		8 +14tg	2
		4 7					4				8	+14tg			t		0			4 7						4			8 +14tg		t	π	+0
																	0															2	+0
																																2

157

tgt

2π

arctg

tgt

− 0

−

+ 0 −

−

4 7

8 +

14tg

8 7

= 9

4π

9π

2π

(−sin t)(11 − 3 cos 2t) − 3 cost sin 2t

∫ ydx = ∫

sin t

dt.

− 3 cos 2t

(11 − 3 cos 2t)

Повторяем аналогичные действия

∫

18sin t

(−sint )(11 −3cos 2t) −3 cost sin 2t

=18∫

1 + q2

11 −3cos 2t

(11 −3cos 2t)

11 −3

1 − q

1 + q2

1 − q

−

−3

1 + q

2 −3

1 + q

1 + q2

q(−8q −14q

− 6q)

=18∫

1 − q

+ q

+14q

)

+ q

)

11 −3

1 + q

=18∫

(−14)q2 (1 + q2 )

dq = −18∫

14q2 dq

= −18∫

14q2 +8 −8

(8 +14q

)

(1 + q

)

+14q

)

+14q

)

dq dq dq dq

=−18 ∫8 +14q2 −8∫(8 +14q2 )2 =144∫(8 +14q2 )2 −18∫8 +14q2 =

=• • Воспользуемся решением предыдущего интеграла • • =

= 9∫

+ 9∫

8 −14q2

dq −18∫

= −9∫

+ 9∫

8 −14q2

dq.

+14q

(8 +14q

)

8 +14q

(8 +14q

)

Возвращаемся к переменной t, восстанавливаем пределы интегрирования, используем вычисления предыдущего интеграла. Не трудно видеть, что

∫ydx = −

9π

2 7

Итоговый результат циркуляции вектора

−

вдоль контура γ :

9π

18π

Ц = ∫Fdl = ∫(2x − y)dx + (x − 2 y)dy + zdz = −

−

7π.

2 7

2 7 2 7

158

cos γ > 0

б)Циркуляция вектора		−
б)Циркуляция вектора		F с помощью формулы Стокса определяется:
− −	−

Ц = ∫F dl = ∫∫rotF n ds., где σ - поверхность, натянутая на контур циркуляции.

λσ

Внашем примере на этот контур натянуты обе поверхности σ1 и σ2.

−

Определим циркуляцию вектора F в обоих случаях. Обе поверхности однозначно проектируются на плоскость z = 0 в одну и ту же область,

ограниченную эллипсом r =

. Поэтому для определения потока

11 −3cos 2t

вектора rotF выбираем формулу: ∫∫rotF n ds = ∫∫rotF n dxdy .

−

σ xy

cosγ

−

σ1 : z2 = x2+y2 ; ϕ1 = x2+y2-z2 = 0,

n1 = ± 2x i

+ 2 y j− 2z k .

−

4x2 + 4 y2 + 4z2

−

Циркуляция вектора F в сторону увеличения параметра t происходит против часовой стрелки, если смотреть на контур циркуляции сверху

−

(рис.3.38).По правилу винта этой циркуляции соответствует вектор n1 ,

направленный во внутреннюю сторону поверхности конуса σ1. Этот вектор составляет с осью Оz острый угол значит и поэтому нужно перед

−

формулой для n1 выбрать знак «-», т.е.

−

rotF = ∂ ∂x

2x − y x

n		−		−	−		−	−	−
n	= − 2x i		+ 2 y j− 2z k			= − 2x i		− 2 y j+ 2z k
−
1
1		4x2		+ 4 y2 + 4z 2			4x2 + 4 y2 + 4z 2
		4x2		+ 4 y2 + 4z 2			4x2 + 4 y2 + 4z 2

−−

j k

∂	∂	=2 к.
		−
∂y	∂z
− 2y z

159

−

− 2x i

− 2 y j+ 2z k

dxdy

= ∫∫2

dxdy =

Ц = ∫∫rotF

n ds = ∫∫2 k

σxy

+ 4 y

σ xy

4x2 + 4 y 2 + 4z 2

2π

11−3 cos 2t

= 2∫∫dxdy = 2 ∫dt

∫rdr = 2 ∫dt

11−3 cos 2t =18 ∫

dt =18

7π.

1 −3cos 2t

σ xy

Этот интеграл по известной методике определялся ранее.

σ2 : z = 9-3x2-6y2, ϕ2 = 3x2+6y2+z2-9 = 0,

−

n2 = ± 6x i

+12 y j+

2z k .

−

36x2 +144 y2 + 4z2

Для

поверхности

эллипсоида

σ2

вектор

−

n2 , соответствующий

циркуляции вектора

−

направлен во внешнюю сторону поверхности,

угол

F ,

(n2 ,

−

cos γ > 0 , знак перед

−

O z) - острый,

n2 - «+».

−

dxdy

−

6x i+12 y j+

2z k

Ц = ∫∫rotF

n ds = ∫∫2 k

= 2∫∫dxdy =

7π.

36x

+144 y

+ 4z

σxy

σ xy

36x2 +144 y 2 + 4z 2

3.5.2.5. Задания на контрольную работу.

−

Задание 1. Вычислить поток векторного поля F через кривую поверхность тела V, заданного ограничивающими его поверхностями (нормаль внешняя).

1.	−	−	−	,
	F = x 2	i+ z 2	j
2.	−		−	+		−
	F = (x	+ xy 2 ) i			( y − yx 2 ) j+
3.	−	−		−	−	,
	F = z 2 x i+ x		2 y j+ y 2 z k
4.	−		−			−	+
	F = (x +y 2		) i+ ( y + z 2 ) j

V: z 2 =1− x − y , x = 0, y = 0, z = 0.

− − , V: x2 + y2 = z2, z = 1, z = 9.

(z 3) k

V: 4z = y2, 2x – y = 0, x + y = 9, z =0.

−

(z + x2 ) k , V: x + y = 6, y = 3x , z=4y, z = 0.

160

−

− 2x j

−

V: x = y2 + z2 - 1, x = 3, x = 8.

F = 3z i

−4 y k ,

−

2 −

F = 2 y

j− x

V: x + z = 4, x = y , z = 0.

−

y = 3 - x, y = 0,z=0.

F = 4z i

+ 3x

j− 2xyz k ,

V: z = 1 - x ,

−

F = y

i+ z

V: y = 1 – x - z, x = 0, y = 0, z = 0.

−

( y − x

−

V: y

+ z

F = (x + xy) i+

) j+ (z −1) k

= x , x = 1, x = 4.

10.

−

2z – y = 0, z + y = 9, x = 0.

F = y

x i+ z

y j+ x

z k

4x = y ,

Задание 2. Даны векторное поле

−

и плоскость p, которое совместно

с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть σ - основание пирамиды, принадлежащее плоскости p, λ - контур, ограничивающийσ . Вычислить:

−

а) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды (нормаль внешняя) непосредственно;

б) тот же поток с использованием формулы Остроградского;

							−
в) циркуляцию вектора F по замкнутому контуру λ непосредственно;
г) ту же циркуляцию – с использованием формулы Стокса.
1.			= (3x − 4y + z)			, p = 2x – 3y + z – 2 = 0.
	F				i
2.		−			−
		F = (2x +3y −6z) j , p = 2y – 3x - 3z – 3 = 0.
3.		−			−		, p = 2z + 3x – y - 2 = 0.
		F = (2 y −5x +3z) k
4.		−			−		, p = x – 2y - 3z – 3 = 0.
		F = (4 y −7x −		2z) i
5.		−			−
		F = (3x +6 y −2z) j , p = y + 3x - 4z – 4 = 0.
6.		−			−
		F = (5x −2 y −		4z) k , p = z - 2y - 3x – 3 = 0.
7.		−
	F = (6z −2 y −3x) j , p = 3x + 2y – z – 2 = 0.
8.		−
	F = ( y + 2z −3x)i , p = 3y - 2z + 3x – 3 = 0.

161

9.	−	−
	F = (3y −2x −3z) k , p = 3z + 2x - 2y – 3 = 0.

−−

10.F = (5x −6 y + z) i , p = 4x - 3y + 4z – 3 = 0.

Задание 3. Поверхность тела образована цилиндрическим параболоидом Р и координатными плоскостями. Найти:

a) Циркуляцию вектора F вдоль контура, образованного пересечением цилиндрического параболоида с координатными плоскостями непосредственно;

b)Ту же циркуляцию – с помощью формулы Стокса;

c)Поток векторного поля F через полную поверхность тела в направлении внешней нормали непосредственно;

d)Тот же поток – с помощью формулы Остроградского.

= (2x − y2 +3z)i + (x − 4 y − 2z 2 )

+ (x2 − 2 y + z)

, p : y2 = 4 −4x − z, x = 0, z = 0, y ≥ 0.

= (z − x + 2 y2 )i + (3y − x + z 2 )

+ (x2 − y −3z)

, p : x2 = 4x + y + z −4, x = 0, z = 0, y = 0.

= (4 y2 +3x − z)i + (x + 2 y − z 2 )

+ (z − 2x2 −5 y)

, p : z2 = 9 −3x − y, x = 0, z ≥ 0, y = 0.

= (x − 2z + y2 )i + (3z2 − 2x + y)

+ (3y − 4z + x2 )

, p : y2 = x + 4 y + z −4, x = 0, z = 0, y = 0.

= (2z − y2 +3x)i + (y − 2z 2 + x)

+ (5z + y − x2 )

, p : x2 = 4 − 4 y − z, x ≥ 0, z = 0, y = 0.

= (y2 − 2x + z)i + (z 2 − y −3x)

+ (y + 2z −2x2 )

, p : z 2 = 3x + y +6z −9, x = 0, z = 0, y = 0.

7.F = (3x − 2 y2 + z)i + (4x − y − z 2 )j + (2x2 − y + z)k, p : y2 = 9 −3x − z, x = 0, z = 0, y ≥ 0.

8.F = (6z + 2y2 − x)i +(2 y − x +2z2 )j +(3z −4 y + x2 )k, p : x2 = 6x +3y + z −9, x = 0, z = 0, y = 0.

9.F = (3y2 −2x − z)i + (4z 2 − 2x + y)j + (y + 2x2 − z)k, p : z2 = 4 − x −4 y, x = 0, z ≥ 0, y = 0.

10. F = (x −3z +2y2 )i +(3y −4x − z2 )j +(2z −3y +2x2 )k, p : y2 =3x +6y + z −9, x = 0, z = 0, y = 0.

−

Задание 4. Даны векторное поле F и две поверхности, образующие пространственное тело V, ограниченное замкнутой поверхностью σ . Вычислить:

162

−

а) поток векторного поля F через полную (замкнутую) поверхность σ тела V (нормаль внешняя) непосредственно;

б) тот же поток – с использованием формулы Остроградского;

−

в) циркуляцию вектора F по замкнутому контуру r, образованного при пересечении данных поверхностей непосредственно;

г) ту же циркуляцию – с использованием формулы Стокса.

1.				−	−		−	−
1.				F = 6x i− 2 y j− z k , σ: z = 3 - 2(x2 + y2), z2 = x2 + y2 (z ≥ 0).
2.	−			−	+ ( y		−	−
2.	F = (3z + 2 y) i				+ ( y	+ z) j− x k , σ: x2 + z2 = 2y, y = 2.
3.	−	−		−			−
3.	F = y i+ z j+ (2x −					3y) k , σ: z = 4 - 2(x2 + y2), z = 2(x2 + y2).
4.	−	−			−			−
4.	F = x i		− (2 y − x) j+ (4z −					2 y) k , σ: x2 + y2 = z, z = 2x.
5.	−	−	+		−		−
5.	F = z i		+	(2x + 3z) j− y k , σ: x2 + z2 = y2, y = 2.
6. F = (2z − x) i− (3z + y) j− (x + 2 y) k , σ: y2 = x2 + z2, y2 = 6- 12 (x2 + y2).
	−			−			−		−
7.	−		−			−	−	, σ: z = 6 - x2 - y2, z2 = x2 + y2, (z ≥ 0).
7.	F = 4 y i			− (2x + 3y) j− z k				, σ: z = 6 - x2 - y2, z2 = x2 + y2, (z ≥ 0).
8.	−			−			−		−
8.	F = (x		− 2z) i+ ( y − 2x) j+ (z −						2 y) k , σ: z2 = x2 + y2, z2 = 18 - (x2 + y2).
9.		−			−			−	−
9.		F	= ( y + 6x) i+ 5(x + z) j−						4 y k , σ: 3z = 27 - 2(x2 + y2), z2 = x2 + y2, (z > 0).
10.		−		−		−	−	, σ:	4z = x2 + y2, z = 4.
10.		F = 2z i− (3x			− z) j		− z k	, σ:	4z = x2 + y2, z = 4.

−

Задание 5. Вычислить циркуляцию вектора F , вдоль контура γ образованного пересечением кругового конуса σ1 и эллипсоида σ2:

а) непосредственно, б) с помощью формулы Стокса.

1.	−		−	−	−		σ1:z2=x2+y2, σ2 :z2=4-x2-3y2.
	F = (x − 2 y) i			+ (3x + y) j+ 2z k ,
2.	−	−		−	−	,	σ1:x2=y2+z2, σ2 :x2=16-12y2-4z2.
	F = 4x i		− (2 y	+ z) j+ (5z	− y) k

163

3.	−		−	−		−		σ1:y2=x2+z2, σ2 :y2=9-5x2-4z2.
	F = (3x		− z) i+	2 y j− (x + 2z) k ,
4.	−		−		−	−	,	σ1:z2=2x2+2y2,	σ2 :z2=12-10x2-2y2.
	F = (5x		+ 2 y) i	+ (x −3y) j+ 3z k
5.	−	−		−		−	,	σ1:x2=4z2+4y2,	σ2 :x2=10-4y2-6z2.
	F = 7x i		+ (4z −3y) j+		(z + 4 y) k
6.	−		−	−		−	,	σ1:y2=2x2+2z2,	σ2 :y2=6-x2-5z2.
	F = (2x		−3z) i−5y j+		(3x − z) k
7.	−		−		−	−		σ1:z2=4x2+4y2,	σ2 :z2=16-4x2-12y2.
	F = (3x		+ y) i+ (2x − y) j− 4z k ,
8.	−	−		−		−	,	σ1:x2=2y2+2z2,	σ2 :x2=12-2y2-10z2.
	F = 2x i		− (3y − 2z) j+		( y +	3z) k
9.	−		−	−		−	,	σ1:y2=4x2+4z2,	σ2 :y2=4-3x2-z2.
	F = (x	+ 3z) i+		4 y j− (2x −		4z) k
10.	−		−		−	−	,	σ1:z2=x2+y2, σ2 :z2=10-4x2-6y2.
	F = (2 y		− x) i− (3x + 4 y) j+ 3z k

164

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.201979.36 Кб10планы семинаров Н.П.Шевченко.doc
#
01.11.20183.81 Mб146Подвижной состав. Исправленное.doc
#
12.11.2019176.64 Кб6пособие для поведния семинрских знятий.doc
#
15.02.201530.97 Mб31пособие проводнику.docx
#
15.02.201523.98 Кб22почтовобагажный вагон.docx
#
15.02.20153.83 Mб98практикум математика часть 2.pdf
#
15.02.20154.76 Mб121практикум по математике часть 3.pdf
#
15.02.2015328.84 Кб47Практич_МТТ_с_приложением_МТТ.pdf
#
15.02.2015439.81 Кб33Практическое занятие.doc
#
18.09.201934.46 Кб4Предпринимательство.docx
#
15.02.201530.21 Кб12прием док-в в общ-е (1).doc