Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
практикум математика часть 2.pdf
Скачиваний:
98
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
3.83 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

 

 

1

2π

 

1

 

2π

 

 

A9 =

∫0 (cos9ϕ)2 dϕ =

 

∫0

 

(1 + cos18ϕ)dϕ =1.

π

2π

 

 

 

1

2π

 

 

1

 

2π

 

Bn =

 

∫0

f (ϕ)sin nϕdϕ =

 

 

∫0

cos9ϕsin nϕdϕ = 0 .

π

Rn

π

 

Таким образом, решение (5.14) имеет вид u(r,ϕ) = r9 cos9ϕ . ®

5.3. Задания на контрольную работу

Задание 1. Найти общее решение уравнения

1.1. uxy = 4yux ;

1.6. uxy = 2xuy ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. uxy

=

 

uy

 

;

1.7. uxy

=

2ux

;

 

y

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. uxy

=

ux

;

1.8. u

 

=

2uy

 

;

2

 

 

x2

 

 

 

 

y

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

1.4. uxy = 6x2uy ;

1.9. uxy = 3y2ux ;

 

 

 

1.5. uxy

= −12 y3ux ;

1.10. uxy = 8x3uy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Определить тип уравнения

2.1.

2.6.

uxx + 4uxy + 4uyy −ux − 2uy = 0 ;

uxx − 4uxy + 4uyy + 3ux − 6uy = 0 ;

 

 

2.2.

2.7.

uxx − 2uxy + uyy + 2ux − 2uy = 0 ;

9uxx + 6uxy + uyy −9ux −3uy = 0 ;

 

 

2.3.

2.8.

uxx + 6uxy + 9uyy + ux + 3uy = 0 ;

uxx +8uxy +16uyy −ux − 4uy = 0 ;

 

 

2.4.

2.9.

 

 

215

 

uxx − 6uxy + 9uyy − 2ux + 6uy = 0;

 

 

 

uxx − 2uxy + uyy + 4ux − 4uy = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5.

 

 

 

 

 

 

 

2.10.

 

 

 

uxx + 2uxy + uyy −3ux −3uy = 0 ;

 

 

 

16uxx +8uxy + uyy −8ux − 2uy = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3. Решить задачу для

волнового уравнения методом Даламбера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. utt = 64uxx ,

 

 

 

 

 

 

 

3.6. utt = 49uxx ,

 

 

 

u(x,0) = 2sinπ x, ut (x,0) =8π sinπ x ;

 

 

 

u(x,0) = x2 , u (x,0) =sin8x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. utt = 9uxx ,

 

 

 

 

 

 

 

3.7. utt =81uxx ,

 

 

 

u(x,0) = 7 −5x,

ut (x,0) =12π sin 4π x ;

 

 

 

u(x,0) = 4x + 5,

ut (x,0) = cos8x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. utt = 36uxx ,

 

 

 

 

 

 

 

3.8. utt =100uxx ,

 

 

 

u(x,0) = x(2 − x),

u (x,0) = e−x ;

 

 

 

 

u(x,0) = 4cos 2πx, ut (x,0) = 2π cosπx

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. utt = 4uxx ,

 

 

 

 

 

 

 

3.9. utt =121uxx ,

 

 

 

u(x,0) = 4sin 2π x,

ut (x,0) =12π cos 2π x

 

u(x,0) =5 + 2x,

u (x,0) =12ex ;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5. utt = 25uxx ,

 

 

 

 

 

 

 

3.10. utt =144uxx ,

 

 

 

u(x,0) = ex ,

u (x,0) = 4x ;

 

 

 

 

u(x,0) =6cos4πx,

ut (x,0) =12π sin 4πx

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. Решить задачу для

уравнения теплопроводности методом

 

 

Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1. ut

= uxx ,

0 < x < 2, 0 < t < ∞,

 

 

 

 

 

 

 

x2 ,

0 ≤ x ≤1,

u(0,t) = u(2,t) = 0.

 

 

 

u(x,0) =

 

 

 

 

 

 

 

2 − x,

1 < x ≤ 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2. ut = 25uxx ,

0 < x < 5, 0 < t < ∞,

 

 

 

 

2x2 / 5, 0 ≤ x ≤ 5/ 2,

u(0,t) = u(5,t) = 0.

 

 

 

u(x,0) =

5 − x, 5 / 2 < x ≤

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. ut

=16uxx ,

0 < x < 4, 0 < t < ∞,

 

 

216

x2 / 2,

 

0 ≤ x ≤ 2,

 

u(0,t) = u(4,t) = 0.

u(x,0) =

 

 

 

 

 

4 − x,

 

2 < x ≤ 4,

 

 

 

 

4.4. ut = 4uxx ,

0 < x < 5, 0 < t < ∞,

 

2x2

/ 5, 0 ≤ x ≤ 5/ 2,

u(0,t) = u(5,t)

= 0.

u(x,0) =

 

 

 

 

 

 

5 − x, 5 / 2 < x ≤

5,

 

 

4.5. ut = uxx ,

0 < x < 3, 0 < t < ∞,

 

2x2

/ 3, 0 ≤ x ≤ 3/ 2,

u(0,t) = u(3,t)

= 0.

u(x,0) =

 

 

 

 

 

 

3 − x, 3/ 2 < x ≤

3,

 

 

4.6. ut = 25uxx ,

 

0 < x < 8, 0 < t < ∞,

 

x2 / 4,

 

0 ≤ x ≤ 4,

 

u(0,t) = u(8,t) = 0.

u(x,0) =

 

 

 

 

 

8 − x,

 

4 < x ≤8,

 

 

 

 

4.7. ut = 9uxx ,

0 < x < 2, 0 < t < ∞,

 

 

x2

,

 

0 ≤ x ≤1,

 

u(0,t) = u(2,t) = 0.

 

u(x,0) =

− x,

 

1 < x ≤ 2,

 

 

2

 

 

 

 

 

4.8. ut =16uxx ,

 

0 < x < 3, 0 < t < ∞,

 

2x2 , 0 ≤ x ≤1/ 2,

u(0,t) = u(1,t) = 0.

u(x,0) =

− x, 1/ 2 < x ≤ 3,

1

 

 

 

4.9. ut = 4uxx ,

0 < x < 4, 0 < t < ∞,

 

x2 / 2,

 

0 ≤ x ≤ 2,

 

u(0,t) = u(4,t) = 0.

u(x,0) =

 

 

 

 

 

4 − x,

 

2 < x ≤ 4,

 

 

 

 

4.10. ut = 9uxx ,

 

0 < x <10, 0 < t < ∞,

 

x2

/ 5,

0 ≤ x ≤ 5,

 

 

u(0,t) = u(10,t) = 0.

u(x,0) =

 

 

 

 

 

 

10 − x,

5 < x ≤10,

 

 

 

Задание 5. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа u=0 в круге

0≤r<1, 0≤ϕ<2π (где r,ϕ – полярные координаты), на границе которого искомая функция u(r,ϕ) имеет следующие значения:

217

5.1.u(1,ϕ) = 2sin 8ϕ;

5.2.u(1,ϕ) = 3cos 7ϕ;

5.3.u(1,ϕ) = 4sin 6ϕ;

5.4.u(1,ϕ) = 5cos 5ϕ;

5.5.u(1,ϕ) = 6sin 4ϕ;

5.6.u(1,ϕ) = 7 cos 3ϕ;

5.7.u(1,ϕ) = 8sin 2ϕ;

5.8.u(1,ϕ) = 9 cos 2ϕ;

5.9.u(1,ϕ) =10sin 3ϕ;

5.10.u(1,ϕ) =11cos 4ϕ.

218

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности