3.2. Двойной интеграл

точки, принадлежащей области S.i : (xi; yi) S.i , f(xi, yi) – значение функции в точке (xi, yi).

Элементарное слагаемое f(xi, yi) Si в интегральной сумме есть объём элементарного цилиндра с площадью основания Si и высотой f(xi, yi).

Интегральная сумма даст приближённое значение, а её предел – точное значение объёма тела.

Геометрический смысл двойного интеграла – это есть объём тела, ограниченного сверху («шапка») поверхностью Z = f(x,y), с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Оz, а направляющая является замкнутой кривой, ограничивающей область D, снизу – плоскостью Z = 0.

56

Если f(x, y) есть поверхностная плотность распределения массы

этого тела, интегральная сумма – приближённое значение, а её предел – точное значение массы плоского тела.

Физический смысл двойного интеграла – это есть масса плоского тела с поверхностной плотностью распределения массы f(x, y).

3.2.2. Вычисление двойного интеграла

Перепишем двойной интеграл в различных тождественных выражениях:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫[∫ f (x, y)dx]dy = ∫[∫ f (x, y)dy]dx.

D D D

Видно, что двойной интеграл вычисляется через двухкратный или повторный: сначала вычисляется внутренний (в скобках), затем внешний интеграл. При этом порядок интегрирования (внутренний интегрируется по х, внешний – по у или наоборот dydx) на результат не влияет, но может повлиять на трудность (простоту) вычислений.

Прежде чем вычислять двойной интеграл необходимо обязательно построить рисунок (чертёж) области интегрирования D. Это позволит правильно сформировать расчётный интеграл.

Пусть область D построена в прямоугольной системе координат. Определение. Область D называется правильной (выпуклой) в

направлении переменной интегрирования, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку области D параллельно оси переменной интегрирования, пересекает границы области D не более чем в 2-х точках.

Область D – правильная в направлении переменной у может быть задана в виде:

57

D = {(x, y) R2 : x [a,b], y1(x) ≤ y2(x)} , где функции у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a,b] и удовлетворяют неравенству y1(x) ≤ y2(x) , x [a,b].

Область D правильную в направлении х можно задать аналогично.

Правила вычисления двойного интеграла в прямоугольной системе координат

1.Вычисление внутреннего интеграла

•Внутренний интеграл берётся (вычисляется) по той переменной (х или у) для которой область интегрирования D правильная. Если это правило нельзя выполнить для всей области D последнюю прямыми линиями (что не обязательно) разбивают на части D1,D2,...,Dn , которые будут правильными в направлении выбранной переменной интегрирования и весь расчёт интеграла сначала производится по этим частям, а затем производится суммирование (см. введение, свойство 3).

•Пределами интегрирования внутреннего интеграла являются функции выбранной переменой интегрирования в зависимости от другой переменой. Нижний пределфункция, график которой есть граница области D при вхождении в эту область стрелки, указывающей направление возрастания выбранной переменной интегрирования. Верхний пределфункция, график которой есть граница области D при выходе указанной стрелки из области D.

•Нижний и верхний пределы интегрирования – функциидолжны быть заданы одним аналитическим выражением, характеризующим соответствующие границы области D (границы должны быть гладкими, без изломов). Если это правило не удаётся реализовать, разбивают область D на части (обычно с помощью прямых, параллельных координатным осям и проходящих через точки излома), удовлетворяющие этому правилу и дальнейший расчёт двойного интеграла производить согласно свойству 3.

58

• Вычисление внутреннего интеграла производить по известным правилам расчёта определённого интеграла, при этом переменную, не участвующую в интегрировании, считать постоянной величиной.

Результатом расчёта внутреннего интеграла является функция одной переменной, не участвующей в интегрировании.

2.Вычисление внешнего интеграла

Это обычный определённый интеграл по оставшейся переменной интегрирования, пределы которого – числа – концы проекции области D на ось оставшейся переменной интегрирования. Нижний предел – меньшее число, верхний предел – большее число.

Результат вычисления двойного интеграла – число (объём тела или массы плоской фигуры). На рис 3.2. приводятся различные варианты расчёта двойного интеграла, соответствующие перечисленным правилам.

59