- •Красноярск 2006
- •Предисловие
- •1. Неопределенный и определенный интегралы
- •1.1. Определение неопределенного интеграла. Методы интегрирования
- •Решение:
- •Применяя указанные формулы, получим
- •1.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
- •Понятие определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:
- •Метод замены переменной в определенных интегралах
- •Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Параметрические функции
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление площади поверхности вращения
- •Объем тела вращения
- •1.3 Несобственные интегралы
- •2.3 Задания на контрольную работу
- •3.1.Общая методология интегралов
- •3.2. Двойной интеграл
- •Правила вычисления двойного интеграла в полярной системе координат
- •3.3. Тройной интеграл
- •3. 4. Криволинейные интегралы
- •3.5. Поверхностные интегралы
- •7. Элементы теории поля
- •Понятие функции комплексного переменного
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Производная ФКП. Условия Коши-Римана
- •Интегрирование ФКП
- •Ряд Лорана
- •Особые точки
- •Вычеты
- •Преобразование Лапласа
- •4.2.Решение типовых примеров и задач
- •4.3.Задания на контрольную работу
- •5.1.1.Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
- •5.1.2.Начальные и краевые условия
- •5.1.3.Уравнение колебаний струны
- •5.1.4.Уравнение теплопроводности
- •5.1.5.Уравнение Лапласа
- •5.2. Решение типовых примеров и задач
- •5.3. Задания на контрольную работу
- •10. Ряды
- •Задание 2. Найти область сходимости рядов:
- •Практикум по математике
- •4.1.Краткие сведения из теории
- •Комплексные числа
разделим на n произвольных, необязательно равных, частей:
a=x0 < x1 < ... < xn=b.
В этом случае говорят, что произведено разбиение отрезка [a,b]. На каждом участке разбиения [xi–1, xi] возьмем произвольную точку ξi и вычислим значение функции f(x) в этих точках. Если умножить полученные значения функции f(ξi) на длину соответствующего участка xi = xi–xi–1 и просуммировать , то получим
n
Sn = ∑ f (ξi ) xi ,
i=1
которая называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b].
Обозначим через
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b]
называется предел последовательности интегральных сумм
|
|
n |
lim Sn = lim |
∑ f (ξi ) xi |
|
n→∞ |
x→0 |
i=1 |
|
|
если он существует, т.е. конечен и не зависит от способа разбиения отрезка
[a,b] и от выбора точек ξi на соответствующих участках и обозначается
b |
|
n |
∫ f (x)dx = lim |
∑ f (ξi ) xi . |
|
a |
x→0 i=1 |
Здесь число a называется нижним пределом, число b называется
верхним пределом интеграла.
Свойства определенного интеграла
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
1. |
C f |
1 |
(x) + C |
2 |
f |
2 |
(x) dx = C |
∫ |
f |
1 |
(x)dx + C |
2 ∫ |
f |
2 |
(x)dx . |
||
|
∫ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
b |
c |
a |
|
|
|
3. ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
|
|
|||
a |
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
4. Если функция |
f(x) – четная, |
то |
∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx , |
||
|
|
|
|
−a |
0 |
|
|
|
|
a |
|
если функция f(x) – нечетная, |
то |
∫ |
f (x)dx =0 . |
−a
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:
b
∫ f (x)dx = F(x) ba = F(b) − F(a) .
a
Пример. Вычислить интеграл
π/ 4
∫sin 2x dx .
0
Решение.
π / 4 |
1 cos 2x |
|
/ 4 = − 1 |
cos |
π − cos0 |
|
= 1 . |
|
∫ sin 2x dx = − |
π0 |
|||||||
0 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод замены переменной в определенных интегралах |
||||||||
Теорема. Если функция |
f(x) непрерывна на отрезке |
|
[a,b], а функция |
|||||
x=ϕ(t) дифференцируема на отрезке |
[t1,t2], |
где |
a=ϕ(t1) |
|
и b=ϕ(t2), то |
|||
имеет место формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
t2 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx =∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt . |
|
|
||||||
a |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
Пример. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
ex −1 dx . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Сделаем |
замену |
|
ex −1 = t . |
|
Тогда |
|
x = ln(1 + t2 ) и |
||||||||||
dx = 2tdt/(1+t2). |
Поскольку при |
|
x=0 |
t=0 и при |
x=ln2 |
|
t=1, то получим |
|||||||||||
ln 2 |
|
|
|
|
t = ex − 1, |
x = 0 t = 0 |
|
1 |
2t2 |
2dt = |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
ex −1 |
dx = |
x = ln(1 + t |
2 ), |
x = ln 2 t = 1 |
= ∫ |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
dx = 2t |
dt |
|
|
|
|
|
0 |
t |
+ 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 2∫ 1 |
− |
|
|
|
|
|
dt |
= 2(t − arctgt) |
|
= 2 − |
|
. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
|
|||||||||||
|
0 |
|
1 |
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то имеет место формула:
b |
b |
∫udv = uv ba − ∫vdu .
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Вычислить интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫xe−xdx , |
|
|
б) ∫ln2 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Воспользуемся формулой интегрирования по частям, для |
|||||||||||
этого положим |
u=x, dv=e–xdx, откуда |
du=dx, v=–e–x. Тогда |
|
|
||||||||
1 |
|
u = x |
du = dx |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
e − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫xe−xdx = |
= −x e−x |
|
+ ∫e−x dx = −e−1 − e−x |
|
= |
. |
||||||
|
|
|||||||||||
dv = e−xdx v = −e−x |
|
0 |
|
0 |
e |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Применяя формулу интегрирования по частям, получим
20