Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:практикум математика часть 2.pdf
∫R(x,
a2 − x2 )dx, ∫R(x,
a2 + x2 )dx, ∫R(x,
x2 − a2 )dx.
сводятся к интегралам от рациональной функции относительно sint и cost, если применить соответственно подстановки:
x= asint или x = acost,
x= atg t или x = actgt,
x = asect или x = acosect.
Найти интеграл:
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
(1 + x2 ) 1 + x2 |
|||||||||
|
|
Положим x = tgt, тогда |
dx = |
|
dt |
|
. |
|
|
||||||
|
|
2 |
t |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
= ∫costdt = sin t + C. |
|||
(1 |
+ x2 ) 1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(1 + tg2t) 1 + tg2t |
|||||||||||||
Выразим sint через заданную переменную x:
sin t = tgt cost = |
tgt |
= |
tgt |
= |
x |
. |
sect |
1 + tg2t |
|
||||
|
|
|
1 + x2 |
|||
Следовательно:
∫ |
dx |
= |
x |
+ C. |
(1 + x2 ) 1 + x2 |
1 + x2 |
1.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Понятие определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Этот отрезок
17