cos mxcos nx = 21 (cos(m − n)x + cos(m + n)x).
Найти интеграл
∫sin 5x cos3xdx = 21 ∫(sin(5 − 3)x + sin(5 + 3)x)dx =
=21 ∫sin 2xdx + 21 ∫sin 8xdx = −cos42x − cos168x + C.
в) Интегралы вида ∫ R( sin x,cos x)dx,
где R (sinx, cosx) – рациональная функция относительно sinx и cosx. Для нахождения данных интегралов применяют подстановку:
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− z2 |
|
|
2dz |
|
|
||||
tg |
|
|
= z, при этом |
|
sin x = |
|
|
|
|
|
|
|
, cos x = |
|
|
2 , dx = |
|
|
|
. |
||||||||||
2 |
|
|
1 + z |
2 |
|
1 |
+ z |
1 + z |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Найти интеграл |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
+ sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Применяя указанные формулы, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2dz |
|
|
|
|
|
2dz |
|
|
dz |
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
1 + z2 |
|
|
|
= ∫ |
= ∫ |
|
= |
|
||||||||||||
1 |
+ sin x + cos x |
1 + |
|
2z |
|
+ |
|
1 − z2 |
|
2 + 2z |
1 + z |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ z2 |
|
1 + z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
=ln 1 + z + C = ln 1 + tg 2x + C.
4)Интегрирование некоторых иррациональных функций а) Интегралы вида
15
|
|
|
|
|
|
m1 |
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ R(x,x n1 ,x n2 ,...)dx, |
||||
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
|
|
∫ R(x,(ax +b)n1 ,(ax +b)n2 ,...)dx, |
||||||
|
|
|
m1 |
|
|
m2 |
|
|
|
ax + b n1 |
ax + b n2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
∫R x, |
|
, |
|
|
,... dx, |
где R (x, y, z, …) – рациональная |
|||
|
cx + d cx + d |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция своих аргументов; m1, n1, m2, n2, … - целые числа; вычисляются с помощью подстановок соответственно
x = zs ,ax + b = zs , |
ax + b |
= zs , |
||||
cx + d |
||||||
|
|
|
|
|
||
m |
, |
m |
,.... |
|
||
где s – общий знаменатель дробей n1 |
2 |
|
|
|||
n |
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
||
Найти интеграл
dx
∫ 3 (x + 2)2 − x + 2
Производим подстановку x + 2 = z6, dx = 6z5dz.
∫ |
|
dx |
|
|
|
= ∫ |
6z5dz |
= 6 |
∫ |
z2 |
|
|
dz = 6 |
∫ |
|
|
z2 −1 |
+1 |
dz = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
(x + 2)2 |
− x + 2 |
z4 − z3 |
z − |
1 |
|
|
|
z −1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= 6 |
|
z + |
1 + |
1 |
|
dz = 6 |
|
z |
2 |
|
+ z |
+ ln |
|
z −1 |
|
|
+ C |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
x + 2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= 6 |
|
|
|
|
+ |
|
|
x + 2 + ln( x |
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
+ 2 −1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Интегралы вида
16