Понятие функции комплексного переменного

Говорят, что на множестве E комплексной плоскости задана функция комплексного переменного (ФКП), если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества E некоторое комплексное число. Множест-

во E будем называть множеством значений независимой переменной. Символически указанное соответствие записывают в виде: w = f (z) .

Если z и w записать в алгебраической форме: z = x +iy, w = u +iv , то

замечаем, что действительная u = Re f (z) и мнимая v = Im f (z) части функ-

Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Комплексное число w0≠∞ называется пределом функции f(z) в точке z0,

если для любого ε>0 можно указать такое δ>0, что для всех точек z, удовлетворяющих неравенству | z − z0 |< δ, выполняется неравенство | f (z) − w0 |< ε.

В этом случае пишут

181

Для того чтобы в точке z0=x0+iy0 существовал предел функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в точке (x0,y0) существовали пределы двух функций действительных переменных u(x, y) = Re f (z) и v(x, y) = Im f (z) ;

при этом

где w0=u0+iv0.

Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если она определена

в точке z0 и в некоторой её окрестности и предел lim f (z) не только сущест-

z→z0

вует, но и равен значению функции f(z) в точке z0:

Производная ФКП. Условия Коши-Римана

Производной ФКП w=f(z) в точке z0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке области, на-

зывается дифференцируемой в области.

Для ФКП справедливы правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, степени, сложнойфункции, обратнойфункции:

182

Очевидно, что между дифференцируемостью ФКП и дифференцируемостью её действительной и мнимой частями, как функций двух действительных переменных существует тесная связь.

Теорема. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные её действительной u(x, y) = Re f (z) и

v(x, y) = Im f (z) мнимой частями и выполняются условия Коши-Римана1

Таким образом, если ФКП дифференцируема, то вычисление её производной равносильно вычислению частных производных по x или y, т.е. справедливы следующие равенства:

Из теоремы следуют правила исследования функции на дифференцируемость.

1 или условия Даламбера-Эйлера.

183

1)Для заданной функции f(z) найти действительную и мнимую части: u=Ref(z), v=Imf(z).

2)Найти частные производные функций u(x,y), v(x,y).

3)Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия Коши-Римана выполняются и частные производные непрерывны, принадлежат области, где функция дифференцируема.

4)Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из формул (4.16).

Определения производной и дифференциала ФКП дословно совпадают

сопределениями тех же понятий для функции действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы и формулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на ФКП.

Правила дифференцирования основных элементарных ФКП также сохраняются. Так, легко проверить, что

(zm )′ = mzm−1 , (sin z)′ = cos z и т.д.

Функцию f(z), определённую в окрестности точки z0 , называют

аналитической2 в этой точке, если f(z) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0. Функцию, аналитическую в каждой точке области D , называют аналитической в этой области.

Интегрирование ФКП

Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в точке z0 и концом в точке z определена некоторая непрерывная функция f(z).

Разобьем кривую L на n частей (элементарных дуг) в направлении от z0

к z точками z0, z1, …, zn-1. В каждой «элементарной дуге» zk−1zk (k =1,2,K,n)

2 а также голоморфной или регулярной.

184

Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного переменного.

1. ∫dz = z − z0 ;

L

2. ∫( f1(z) ± f2 (z))dz = ∫f1(z)dz ± ∫f2 (z)dz ;

L L L

3. ∫af (z)dz = a∫f (z)dz , где a – комплексное число;

L L

4. ∫f (z)dz = −∫f (z)dz , т.е. при перемене направления пути интегри-

рования интеграл меняет свой знак на противоположный;

пути L равен сумме интегралов по его частям L1 и L2.

Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному мно-

185

жеству. Область D называется односвязной, если её граница является связным множеством, в противном случае область называется многосвязной. Область D будет односвязной, если любой замкнутый контур можно непрерывно деформировать (стянуть) в точку, не выходя за пределы этой области.

представляет собой двухсвязную область (рис.4.4).

Теорема (Коши). Если функция f (z) аналитична в односвязной об-

ласти D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю, то есть:

∫ f (z)dz = 0 .

L

Теорема. Пусть f (z) аналитична в замкнутой односвязной области

D и L – граница области D . Тогда:

где z0 – любая точка внутри области D , а интегрирование по контуру L

проводится в положительном направлении.

Интеграл называется интегралом Коши, а формула называется интегральной формулой Коши. Формула Коши является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значе-

186