- •Красноярск 2006
- •Предисловие
- •1. Неопределенный и определенный интегралы
- •1.1. Определение неопределенного интеграла. Методы интегрирования
- •Решение:
- •Применяя указанные формулы, получим
- •1.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
- •Понятие определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:
- •Метод замены переменной в определенных интегралах
- •Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Параметрические функции
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление площади поверхности вращения
- •Объем тела вращения
- •1.3 Несобственные интегралы
- •2.3 Задания на контрольную работу
- •3.1.Общая методология интегралов
- •3.2. Двойной интеграл
- •Правила вычисления двойного интеграла в полярной системе координат
- •3.3. Тройной интеграл
- •3. 4. Криволинейные интегралы
- •3.5. Поверхностные интегралы
- •7. Элементы теории поля
- •Понятие функции комплексного переменного
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Производная ФКП. Условия Коши-Римана
- •Интегрирование ФКП
- •Ряд Лорана
- •Особые точки
- •Вычеты
- •Преобразование Лапласа
- •4.2.Решение типовых примеров и задач
- •4.3.Задания на контрольную работу
- •5.1.1.Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
- •5.1.2.Начальные и краевые условия
- •5.1.3.Уравнение колебаний струны
- •5.1.4.Уравнение теплопроводности
- •5.1.5.Уравнение Лапласа
- •5.2. Решение типовых примеров и задач
- •5.3. Задания на контрольную работу
- •10. Ряды
- •Задание 2. Найти область сходимости рядов:
- •Практикум по математике
- •4.1.Краткие сведения из теории
- •Комплексные числа
Задание 2. Найти область сходимости рядов:
|
∞ |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
1. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
(x − 3)n |
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(n |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
−6 x + |
13) |
n |
|||||||||
|
n=1 |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
n=1 n(x |
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
а) ∑ |
(n − |
2) |
|
(x + 3)2n |
|
б) ∑ |
82 sin3n x |
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
2n + 3 |
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(−1)n |
|
|
|
n |
|
|
∞ |
|
|
|
1 n |
n |
|
|
|
||||
|
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
|
|
|
|
|
(x − 4) |
|
|
б) ∑ 1 |
+ |
3 x−1 |
|
|||||||||
(n + 1)5 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(x −1n) |
2n |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(x2 |
− 4x + 6 )n |
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
n9 |
|
|
|
|
|
∑n +n 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. а) ∑∞ (−1)n (n + 1) (x +7)n
n=1 (n + 3)2 2n−1
6.а) ∑∞ (−12n)n−1 (x − 2)2n=
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x − 5) |
2n+1 |
|
|||||
7. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
||
|
n=1 |
n + 8 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
8. |
а) ∑ |
(x −6) |
|
|
|
|
|
||
(n + 2)3 |
n |
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
(x + 5) |
n |
|
|
|
|
||
9. |
а) ∑ |
|
|
|
|
||||
(2n |
−1)4 |
n |
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(x |
−7) |
2n−1 |
|
||||
10. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|||
(2n |
2 |
|
|
|
|
n |
|||
|
n=1 |
− 5n)4 |
|
||||||
∞
б) ∑8n n2 sin3n x
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 5x + 10) |
n |
||||
n=1 n(x |
|
|
|
|||||||||
∞ |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ∑ |
|
|
|
|
sin2n (2x) |
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
n |
|
(x + e) |
|
|||||
б) ∑ln |
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
n + e |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x2 −6 x + 12)n |
|
||||||||||
б) ∑ |
|
|
|
4 |
n |
(n |
2 |
+ 1) |
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
3 |
n |
tg2n x |
|
|
|||||||
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,1 |
0,1 |
1. ∫ e−6 x2 dx |
2. ∫sin(100x2 )dx |
0 |
0 |
253
|
0 |
,1 |
1 |
− e |
−2x |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
x |
|
|||||||
3. ∫ |
|
|
dx |
|
1 ln |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ e−3x2 dx |
|
|
|
6. |
∫ sin(25x2 )dx |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
1 −xe−x dx |
||||||||
7. |
∫ cos(4x2 )dx |
8. |
∫ |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
,4 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
10. ∫3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
9. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
0 |
|
64 + x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 4. С помощью рядов решить дифференциальное уравнение.
1. y/ + y2 =1 + x ; y(0) =1
3.y/ − y3 = x2 ; y(1) =1
5.y/ = x2 + 2 y2 ; y(0) =1
7. y// = (y/ )2 + xy ;
y(0) = 4 ; y/ (0) = −2
9. y// = (2x −1) y −1; y(0) =0 ; y/ (0) =1
2. |
xy// + y/ |
+ xy =0 ; |
|
y(0) =1; |
y/ (0) =0 |
4. |
y// = x + y2 ; |
|
|
y(0) =1; |
y/ (0) =1 |
6.y/ = x2 y + y3 ; y(0) =1
8.y// − xy =0 ;
y(0) =1; |
y/ (0) =1 |
10.y/ = x − 1y ; y(0) =1
254
Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье.
1. |
f (x) = |
|
x + 2 |
|
|
; |
(−π;π) |
2. |
f (x) = x2 + 1 ; |
(−π;π) |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
f (x) = eax ; |
(−l;l) |
4. |
f (x) = 5x −1 ; |
(−5;5) |
||||||||||||||
5. |
f (x) = 3 − |
|
x |
|
; |
(−5;5) |
6. |
f (x) = x − |
|
x |
|
; |
(−1;1) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
f (x) = |
|
1 − x |
|
; |
(−π;π) |
8. |
f (x) = 3 − x ; |
(−π;π) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
9. |
f (x) = x −1; |
(−1;1) |
10. |
f (x) = x2 + 2 ; |
(−2;2) |
||||||||||||||
255
7. Контрольные работы
Контрольная работа №6
Интегральное исчисление функции одной переменной
Задание |
на |
|
|
|
|
контрольную |
Задание 1 |
Задание 2 |
Задание 3 |
Задание.4 |
|
работу 1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа №7 |
|
|
|
||
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задание на контрольную Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 работу 2.3
Контрольная работа №8
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
Задания |
на |
|
контрольную работу |
|
|
|
|
|
3.2.5 |
|
Задание 1 |
|
|
|
256
3.3.5 |
Задание 1 |
3.4.1.5Задание 1
3.4.2.5Задание 1
3.5.2.5 |
Задание 1 |
Задание 2 |
|
|
Задание 3 |
3.6.3 |
Задание2 |
Замечание. Данная тема весьма скупо описана в литературе, особенно в отношении практических примеров и задач. Автор попытался устранить этот недостаток и приводит достаточно большое количество примеров. Некоторые из них оригинальные и непростые. Такое разнообразие примеров избыточное, но позволяет преподавателю подобрать задания в контрольной работе так, чтобы они наиболее полно соответствовали бы той или иной специальности. Выше дан самый простой вариант контрольной работы.
Контрольная работа №9 Теория функции комплексной переменной. Операционное исчисление
Задание на контрольную Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 работу 4.3
Контрольная работа №10 Уравнения математической физики
Задание на контрольную Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 работу 5.3
257
Контрольная работа №11 Ряды
Задание на контрольную Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 работу 6.4
258
Литература
1.Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии* М.: Наука, 1972. 272 с.
2.Гаврилов В. Р., Иванова Е. Е., Морозова В. Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: Учебник для вузов/ Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко: М., Издательство МГТУ им. М. Э.
Баумана, 2001. 492 с.
3.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты).* М.: Высш. шк., 1994. 206 с.
4.Мышкис А. Д. Лекции по высшей математики, М.: наука, 1969. 640
с.
5.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. В 2 т. Т.2 М.: Наука, 1985. 560 с.
6.Сборник задач по математике для втузов. 4.2. Специальные разделы математического анализа/ под. ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1986, 368с.
7.Фихтенгальц Г. М. Основы математического анализа (2). СПб.:
Лань, 2001, 464с.
8.Сизов С.Н. Галькова Е.А. Ряды. Типовые расчеты. Учебное пособие. Красноярск,КФ СГУПС,2001
9.Свитачев А.И.,Высщая математика. Неопределенный интеграл. Уч. пособие.Красноярск, КФ ИрГУПС. 2003.
10.Свитачев А.И.,Сизов С.Н.,Галькова Е.А.,Пашковская О.В.,Белобородова Т.В. под ред. Свитачева А.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие для вузов. В2-х ч.Ч.I.. Красноярск,КФ ИрГУПС, 2003.
259
11.Сизов С.Н. Математический практикум по кратным, криволинейным, поверхностным интегралам и элементам теории поля. Учебное пособие для вузов. Красноярск, КФ ИрГУПС, 2004.
12.Сизов С.Н.,Свитачев А.И.,Пашковская О.В.,Галькова Г.А. под ред. Сизова С.Н.Практикум по математике в 3-х частях. Часть I.Учебное пособие для заочников. Красноярск,КФ ИрГУПС,2005.
13.Пашковская О.В.,Новоселов О.В.Элементы теории комплексного переменного. Учебное пособие. Красноярск, КФ ИрГУПС. 2005.
14.Селиверстова И.Ф.,Галькова Е.А. Основы операционного исчисления. Учебное пособие. Красноярск. КФ Ир ГУПС. 2006.
Содержание |
Стр. |
Предисловие |
3 |
1. Неопределенный и определенный интегралы |
4 |
1.1. Определение неопределенного интеграла. |
|
Методы интегрирования |
4 |
1.2 Определенный интеграл и его приложения |
17 |
1.3. Несобственные интегралы |
30 |
1.4. Задания на контрольную работу |
31 |
2. Дифференциальные уравнения |
37 |
2.1. Краткие сведения из теории |
37 |
2.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
37 |
2.1.2. Дифференциальные уравнения, допускающие |
37 |
понижение порядка. |
|
2.1.3. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами |
38 |
2.1.4. Система дифференциальных уравнений |
40 |
2.2. Решение типовых примеров и задач |
42 |
2.3. Задание на контрольную работу |
49 |
260
3. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. |
|
Элементы теории поля |
54 |
3.1. Общая методология интегралов |
54 |
3.2. Двойной интеграл |
56 |
3.2.1. Определение |
56 |
3.2.2. Вычисление двойного интеграла |
57 |
3.2.3. Некоторые приложения двойного интеграла |
62 |
3.2.4. Типовые примеры решения двойного интеграла |
63 |
3.2.5. Задание на контрольную работу |
66 |
3.3. Тройной интеграл |
69 |
3.3.1. Определение |
69 |
3.3.2. Вычисление тройного интеграла |
69 |
3.3.3. Некоторые приложения тройных интегралов |
74 |
3.3.4. Типовые примеры решения тройных интегралов |
75 |
3.3.5. Задания на контрольную работу |
80 |
3.4. Криволинейные интегралы |
82 |
3.4.1. Криволинейный интеграл I рода |
82 |
3.4.1.1. Определение |
82 |
3.4.1.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода |
83 |
3.4.1.3. Некоторые приложения криволинейного |
|
интеграла I рода |
84 |
3.4.1.4. Типовые примеры решения криволинейных |
85 |
интегралов I рода |
|
3.4.1.5. Задания на контрольную работу |
87 |
3.4.2. Криволинейный интеграл II рода |
88 |
3.4.2.1. Определение |
88 |
3.4.2.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода |
90 |
3.4.2.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода |
93 |
261
3.4.2.4. Типовые примеры решения криволинейного |
|
интеграла II рода |
93 |
3.4.2.5. Задания на контрольную работу |
96 |
3.5. Поверхностные интегралы |
99 |
3.5.1. Поверхностный интеграл I рода |
99 |
3.5.1.1. Определение |
99 |
3.5.1.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода |
100 |
3.5.1.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода |
102 |
3.5.1.4. Типовые примеры решения поверхностного |
|
интеграла I рода |
103 |
3.5.1.5.Задания на контрольную работу |
109 |
3.5.2. Поверхностный интеграл II рода |
110 |
3.5.2.1. . Определение |
110 |
3.5.2.2. . Вычисление поверхностного интеграла II рода |
111 |
3.5.2.3. . Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода |
115 |
3.5.2.4. Типовые примеры решения поверхностного |
|
интеграла II рода |
124 |
3.5.2.5. Задания на контрольную работу |
158 |
3.6. Элементы теории поля |
163 |
3.6.1. Операции I порядка |
163 |
3.6.2. Операции II порядка |
168 |
3.6.3. Типовые примеры решения задач по теории поля |
170 |
3.6.4. Задания на контрольную работу по теме |
|
«Элементы теории поля» |
175 |
4. Элементы теории функции комплексного переменного. |
|
Операционное исчисление |
179 |
4.1. Краткие сведения из теории |
179 |
4.2. Решение типовых примеров и задач |
193 |
262
4.3. Задание на контрольную работу |
202 |
5. Уравнения математической физики |
206 |
5.1. Краткие сведения из теории |
206 |
5.1.1. Классификация линейных дифференциальнных |
|
уравнений в частных производных второго порядка |
206 |
5.1.2. Начальные и краевые условия |
208 |
5.1.3. Уравнения колебаний струны |
209 |
5.1.4. Уравнения теплопроводности |
209 |
5.1.5. Уравнение Лапласа |
210 |
5.2. Решение типовых примеров и задач |
212 |
5.3. Задания на контрольную работу |
215 |
6. Ряды |
219 |
6.1. Числовые ряды |
219 |
6.1.1. Краткие сведения из теории |
219 |
6.1.2. Исследование числовых рядов |
221 |
6.2. Функциональные ряды |
228 |
6.2.1.Краткие сведения из теории |
228 |
6.2.2. Решение типовых примеров с использованием |
|
функциональных рядов |
231 |
6.3. Ряды Фурье и интегралы Фурье |
239 |
6.3.1. Краткие сведения из теории |
239 |
6.3.2. Решение типовых примеров с использованием |
|
рядов и интегралов Фурье |
242 |
6.4. Задание на контрольную работу |
249 |
7. Контрольные работы |
256 |
Литература |
259 |
Содержание |
260 |
263